Một số tính chất mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc

2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN

2.5 Một số tính chất mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc

2.5.1 Định lý

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cm và N là đa tạp phức. Giả sử tồn tại các dãy {pn} trong Ω và {rn}, rn > 0 với

lim

n→∞

rn

δΩ(pn) = 0, (2.15)

trong đó δΩ(p) = ρ(p, ∂Ω) là khoảng cách Euclide từ p đến ∂Ω thỏa mãn

{f(pn + rnζ)}, f ∈ Hol(Ω, N), hội tụ đều địa phương đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g ∈ Hol(Cm, N). Khi đó {pn} là dãy P- điểm đối với f.

Đặc biệt, nếu Ω là miền thuần nhất bị chặn trong Cm và N là compact thì

và f là ánh xạ không chuẩn tắc. Chứng minh.

Vì g là hàm khác hằng trong Cm nên có hai điểm phân biệt ζ1 và ζ2

trong Cm sao cho g(ζ1) 6= g(ζ2). Lấy

δ0 = dNg(ζ1), g(ζ2) > 0, qni = pn +rnζi (i = 1,2).

Từ bất đẳng thức tam giác kéo theo

dN f(qn1), f(qn2) ≥ δ với δ >0. Do đó ta chỉ cần chứng minh kΩ(qn1, qn2) →0 khi n → ∞. Chọn R >max{|ζ1|,|ζ2|}. Khi đó |pn −qin| = rn|ζi| ≤rnR . Do đó qni ∈ B(pn, rnR), (i = 1,2). Ta thấy rằng, nếu B(z, r) ⊂ Ω thì kΩ(z, w) ≤tanh−1|z −w| r với w ∈ B(z, r). (2.16) Thật vậy, lấy w 6= z và đặt f(λ) =z +λν,

trong đó ν = (w−z)/s, s = |w−z|/r. Khi đó, do tính giảm khoảng cách của metric Kobayashi qua ánh xạ f ∈ Hol(∆,Ω) ta có

kΩ(z, w) =kΩf(0), f(s) ≤ k∆(0, s) = tanh−1|w −z| r . Sử dụng bất đẳng thức (2.16) trên B(pn, rnR), kΩ(pn, qin) ≤ tanh−1|qi n −pn| δΩ(pn) = tanh −1 rnR δΩ(pn)

Từ đó ta có

lim

n→∞kΩ(pn, qni) = 0 (i = 1,2).

Bất đẳng thức tam giác chỉ ra rằng

kΩ(qn1, qn2) → 0 khi n→ ∞.

Trường hợp đặc biệt, nếu Ω là miền chỉnh hình bị chặn trong Cm và N

là compact thì

sup{Qf(p) : p∈ Ω} = ∞

và f không chuẩn tắc. Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.4.2.

2.5.2 Hệ quả

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cm và N là đa tạp compact. Nếu f ∈

N(Ω, N) thì với mỗi cách chọn dãy {pn} trong Ω và {rn}, rn > 0 thỏa mãn (2.15), dãy {f(pn+rnζ)} hội tụ đến ánh xạ hằng trong Cm và do đó hội tụ đến một điểm trong N.

Chiều ngược lại của Định lý 2.5.1 không đúng ngay cả khi xét trên hình cầu đơn vị mở trong Cm với m ≥ 2. Tuy nhiên, ta có thể chứng minh được kết quả yếu hơn bởi định lý sau.

2.5.3 Định lý

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cm và N là đa tạp compact. Nếu f ∈

Hol(Ω, N) thỏa mãn

sup

p∈Ω

Λf(p)δΩ(p) = ∞ (2.17)

thì có các dãy {pn} trong Ω và {rn}, rn > 0 thỏa mãn điều kiện (2.15) sao cho {f(pn+rnζ)} hội tụ đều địa phương trong Cm đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g ∈ Hol(Cm, N).

Chứng minh.

Điều kiện (2.15) kéo theo tồn tại một dãy {qn} trong Ω sao cho

lim

n→∞Λf(qn)δΩ(qn) =∞.

Điều đó chứng tỏ rằng qn dần tới biên của Ω. Do đó, tồn tại một dãy

{δn}, δn > 0, δn → 0 sao cho δΩ(qn) > δn và

lim

trong đó

Ωn = {p ∈ Ω : δΩ(p) > δn}.

Đặt

Mn = max{Λf(p)δΩn(p) : p∈ Ωn}.

Vì Λf liên tục trên Ωn, nên tồn tại một dãy {pn} trong Ωn sao cho

Mn = Λf(pn)δΩn(pn). Do qn ∈ Ωn, nên từ (2.18) có Mn → ∞ và Λf(pn) → ∞ khi n→ ∞. Đặt rn = 1 Λf(pn) = δΩn(pn) Mn . (2.19) Khi đó rn δΩ(pn) ≤ rn δΩn(pn) = 1 Mn → 0 khi n→ ∞ và rnΛf(pn) = 1 với mọi n. (2.20) Vì Rn = δΩn(pn)

rn → ∞ với bất kỳ R > 0, R ≤ Rn khi n đủ lớn, lấy|ζ| ≤ R. Khi đó

pn +rnζ ∈ Ωn.

Do vậy, ánh xạ

gn(ζ) =f(pn+rnζ) (2.21) được xác định và chỉnh hình với mọi |ζ| < R. Từ pn+rnζ ∈ Ωn kéo theo

Mn ≥Λf(pn+rnζ)δΩn(pn +rnζ). (2.22) Do đó, từ (2.21), (2.22) và (2.19), ta có Λgn(ζ) =rnΛf(pn+rnζ) ≤ rnMn δΩn(pn+rnζ) = δΩn(pn) δΩn(pn +rnζ). (2.23)

Vì vế phải của (2.23) dần tới 1 với mọi ζ nằm trong tập con compact của Cm nên {gn} là đồng liên tục và do đó nó chuẩn tắc trong Cm do N

compact. Bằng cách lấy dãy con nếu cần, xét dãy {gn}, ta giả sử rằng tồn tại dãy {pn} trong Ω và {rn}, rn > 0 với

rn

δΩ(pn) → 0 khi n → ∞

sao cho {gn(ζ)} hội tụ đều địa phương đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng

g ∈ Hol(Cm, N). Vậyg khác hằng suy ra từ (2.23) khi lấy ζ = 0và (2.20). Với m = 1, lấy Ω là đĩa đơn vị mở ∆ trong C và N như trên. Khi đó, với f ∈ Hol(∆, N) bất kỳ, Qf(z) = (1− |z|2)Λf(z), trong đó Λf(z) = sup |ξ|=1 hNf(z), df(z)ξ.

Do δ∆(z) ≤1− |z|2 ≤ 2δ∆(z). Điều kiện (2.15) tương đương với điều kiện

lim

n→∞

rn

1− |pn| = 0 (2.24)

và điều kiện (2.17) tương đương với điều kiện

sup

z∈∆

Qf(z) =∞.

Kết hợp các Định lý 2.5.1 và 2.5.3 ta nhận được các Định lý sau 2.5.4 Định lý

Giả sử ∆là đĩa đơn vị mở trong C và N là đa tạp compact. Ánh xạ f ∈ Hol(∆, N) không là ánh xạ chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại dãy {zn} trong

∆, {rn}, rn > 0 thỏa mãn điều kiện (2.24) sao cho {f(zn + rnζ)} hội tụ đều địa phương trong C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g ∈ Hol(C, N).

2.5.5 Định lý

Giả sử ∆ là đĩa đơn vị mở trong C và N là đa tạp compact. Họ F ⊂

Hol(∆, N) không là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại r ∈ (0,1) và các dãy

{zn},|zn| ≤ r, {rn}, rn ↓ 0, và {fn} trong F sao cho {fn(zn + rnζ)} hội tụ đều địa phương đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g ∈ Hol(C, N).

Lấy X là đa tạp phức của N. Khi đó, từ định nghĩa, Hol(∆, X) là họ chuẩn tắc khi và chỉ khi X là taut [3]. Do đó, ta có tiêu chuẩn để X là taut như sau

2.5.6 Hệ quả

Một đa tạp phức con đóng X của đa tạp compact N là taut khi và chỉ

khi với mỗi cách chọn các dãy {zn} trong∆ {fn}trong Hol(∆, X) và {rn}

với rn ↓ 0 ta có {fn(zn + rnζ)} hội tụ đều địa phương đến ánh xạ hằng trong C.

Đặc biệt, ta nhận lại được một kết quả của R. Brody[4]. 2.5.7 Hệ quả

Một đa tạp compact N là hyperbolic hoặc tương đương là taut khi và chỉ khi không tồn tại ánh xạ chỉnh hình khác hằng f :C → N.