2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN
2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact
Trong phần này, ta giả sử rằng M là đa tạp phức hyperbolic và thuần nhất, và N là đa tạp phức compact.
Các định lý sau đây là các đặc trưng cho các ánh xạ chuẩn tắc và ánh xạ Bloch.
2.4.1 Định lý
Với f ∈ Hol(M, N), các điều kiện sau là tương đương: (a) f ∈ N(M, N)
(b)f ∈ B(M, N)
(c)f ∈ Hol(M, N) là liên tục đều, tức là với mỗi số ε > 0, tồn tại số
δ >0 sao cho với mọi p, q ∈ M với kM(p, q) < δ ta có
(d) f ∈ Hol(M, N) không có dãy P- điểm trong M, tức là với hai dãy {pn} và {qn} trong M, với lim n→∞kM(pn, qn) = 0, ta có lim n→∞dN f(pn), f(qn)= 0. Chứng minh.
(a) ⇒ (b): Giả sử f ∈ Hol(M, N). Nếuf /∈ B(M, N) thì tồn tại dãy {pn}
trong M và các vectơ đơn vị ξn ∈ Cm sao cho
hN f(pn), df(pn)ξn > nKM(pn, ξn) với mọi n. (2.9) Lấy p0 ∈ M và η ∈ Cm,|η| = 1 cố định. Vì Aut(M) là bắc cầu nên tồn tại ϕn ∈ Aut(M), với mỗi n, sao cho
ϕn(p0) = pn, dϕn(p0)η = ξn.
Khi đó (2.9) trở thành
hN gn(p0), dgn(p0)η> nKM ϕn(p0), dϕn(p0)η, (2.10) trong đó gn = f ◦ϕn. Vì f là chuẩn tắc, nên dãy {gn} có dãy con {gν} hội tụ đến ánh xạ g ∈ Hol(M, N) và
lim
ν→∞gν(p0) = lim
ν→∞f(pν) =g(p0).
Do tính bất biến của metric Kobayashi qua Aut(M) ta có:
KM ϕ(p0), dϕ(p0)η) = KM(p0, η), ϕ ∈ Aut(M). (2.11) Vì M là hyperbolic nên tồn tại hằng số dương C >0 sao cho:
KM(p, η) ≥ C|η| (2.12) với mọi p trong lân cận U của p0.
Kết hợp (2.10),(2.11), (2.12) ta có
đúng với mọi ν đủ lớn. Rõ ràng điều này là không thể, vì khi ν → ∞ thì vế phải của (2.13) dần đến vô cùng trong khi vế trái của (2.13) dần đến một số hữu hạn hN g(p0), dg(p0)η.
(b) ⇒ (c): Giả sử (b) đúng, khi đó tồn tại hằng số Ω > 0 sao cho với mỗi p∈ M và ξ ∈ Cm,
hN f(p), df(p)ξ ≤ΩKM(p, ξ).
Tích phân dọc theo đường cong γ lớp C1 bất kì từ điểm p1 đến điểm p2 trong M, ta có
dN f(p1), f(p2) ≤ΩkM(p1, p2).
Từ đó suy ra (c).
(c) ⇔ (d): Nếu (d) không đúng, thì khi đó tồn tại dãy {pn} và {qn}
trong M với
lim
n→∞kM(pn, qn) = 0,
nhưng
dN f(pn), f(qn) ≥ε
với ε > 0. Điều này mâu thuẫn với (c).
Nếu (c) không đúng, thì khi đó tồn tại số ε > 0 và dãy {pn} và {qn}
trong M sao cho
kM(pn, qn) < 1 n,
nhưng
dN f(pn), f(qn) ≥ ε.
Điều này mâu thuẫn với (d).
(c) ⇒ (a): Vì f ∈ Hol(M, N) là liên tục đều nên với ε > 0, tồn tại
δ >0 sao cho dN f ϕ(p), f ϕ(q) < ε
khi kM ϕ(p), ϕ(q) < δ, trong đó p, q ∈ M và ϕ ∈ Aut(M). Nhưng
Do đó, {f ◦ϕ|ϕ ∈ Aut(M)} là họ đồng liên tục. Vì N là compact nên nó cũng là họ chuẩn tắc.
2.4.2 Hệ quả
Các điều kiện sau là tương đương:
(a) Ánh xạ f ∈ Hol(M, N) có dãy P - điểm trong M. (b) supz∈M Qf(z) = ∞.
(c) f /∈ N(M, N).
Nhận xét: Rõ ràng ánh xạ Bloch f ∈ Hol(M, N) không thể có dãy P - điểm bất kể N là compact hay không. Tuy nhiên, dãy P - điểm có thể có được từ ánh xạ chuẩn tắc f ∈ Hol(M, N) với N không compact. Ta xét ví dụ sau:
Giả sử
f(z) = (5 +w +e1−w)4, w = 1 +z
1−z, z ∈ ∆.
Sau vài phép tính, ta có thể tìm được :
Qf(zn) =|f0(zn)|(1− |zn|2) → ∞,
với
zn = 1−2n2 + 2n3πi
1 + 2n3πi .
Dễ thấy rằng, ánh xạ f bỏ qua một lân cận của gốc trên đĩa đơn vị ∆, tức là f ∈ N(∆,C) bởi định lý cổ điển Montel.
2.4.3 Định lý
Mọi dãy {pn} trong M là dãy chính quy đối với f ∈ N(M, N) khi và chỉ khi f ∈ B0(M, N) với B0(M, N) ={f ∈ B(M, N); lim n→∞ sup p∈M\Mn Qf(p) = 0}. Chứng minh.
Giả sử tất cả các dãy điểm trong M là chính quy đối với f ∈ N(M, N), đặt
trong đó p0 là điểm cố định trong M. Khi đó, tồn tại dãy {pn} trong M
sao cho
Qf(pn) = sup{Qf(p)|p ∈ Mn\Mn−1}.
Do tính chính quy của dãy {pn} đối với f nên với mỗi ε > 0, ∃δ > 0
sao cho với dãy {qn} bất kỳ trong M thỏa mãn kM(pn, qn) < δ, ta có
lim
n→∞dN f(pn), f(qn) = 0.
Với mỗi ntồn tại ϕn ∈ Aut(M) sao cho pn = ϕn(p0). Vì f là chuẩn tắc nên dãy {f ◦ϕn} có dãy con {f ◦ϕν} hội tụ đều đến g ∈ Hol(M, N) trên
Bk(p0, δ). Đặc biệt limgν(p0) = limf ◦ϕν(p0) = g(p0) =l. Với bất kỳ z ∈ Bk(p0, δ) ta có dN l, g(z) ≤ dN g(p0), gν(p0)+dN gν(p0), gν(z)+dN gν(z), g(z). (2.14) Trong vế phải của bất đẳng thức (2.14), số hạng đầu tiên và số hạng thứ ba dần đến 0 do tính hội tụ đều của gν trên Bk(p0, δ). Số hạng thứ hai cũng dần đến 0 do dãy {pn} là dãy chính quy. Do đó, g(z) ≡ l với mọi z ∈ Bk(p0, δ). Áp dụng định lý duy nhất cho hàm chỉnh hình ta có
g(z) ≡ l trên M, vì M là liên thông. Do đó, gν hội tụ đều đến hàm số hằng l trên tập compact của M. Do vậy
lim ν→∞Qf(pν) = lim ν→∞Qgν(p0) = 0. Từ M \Mν = ∞ [ α=ν Mα+1 \Mα, sup{Qf(p)|p ∈ M \Mν} = sup α≥ν+1 Qf(pα) ta có f ∈ B0(M, N), vì limν→∞Qf(pν) = 0.
Ngược lại, giả sử f ∈ B0(M, N). Do bất kì dãy hội tụ {pn} nào trong
M cũng là dãy chính quy với f ∈ Hol(M, N) nên ta chỉ cần chứng minh khi các dãy đó là phân kỳ compact.
Lấy p0 là điểm cố định trong M và sn = kM(p0, pn). Khi đó
lim
n→∞sn = ∞.
Từ dãy {sn} ta chọn một dãy tăng nghiêm ngặt và cũng kí hiệu là dãy
{sn} . Đặt
δ = infnkM(pn, pn+1)
3 | n = 1,2, . . .o.
Khi đó δ > 0. Lấy dãy {qn} bất kỳ trong M với kM(pn, qn) < δ. Nếu
f ∈ B0(M, N),
Ωn = sup{Qf(p)|p∈ M \Mn}
tồn tại và hữu hạn với mỗi n và Ωn → 0 khi n→ ∞. Do đó,
dNf(pn), f(qn) ≤kM(pn, qn)Ωn−1 ≤ δΩn−1.
Vì vậy
lim
n→∞dNf(pn), f(qn) = 0.
Vậy theo định nghĩa, dãy {pn} là dãy chính quy.