Như một hệ quả của Định lý Maschke, chúng ta đã thấy rằng nếu F là một trường với đặc số không chia hết cấp của một nhóm hữu hạnGthì mọiF G−môđun hữu hạn sinh có thể viết dưới dạng tổng trực của (hữu hạn) các môđun đơn. Trong mục này, chúng ta nghiên cứu cấu trúc của các đại số hữu hạn chiều mà có tính chất này. Điều này sẽ cho phép chúng ta hoàn thành việc chứng minh định lý của Kolchin trên các nhóm con lũy đơn của các nhóm tuyến tính tổng quát và cung cấp cho ta thông tin cốt lõi về các đại số nhóm phức của các nhóm hữu hạn, vấn đề chính của Chương 6. Các kết quả của mục này chủ yếu theo J. H. M. Wedderburn, một nhà toán học Scotland. Ở tuổi 22 , ông là người khởi đầu cho những nghiên cứu về lý thuyết các đại số. Ông đã học dự thính ở Đại học Chicago trong hai năm 1904-1905.
Tất cả các đại số trong mục này là các F−đại số hữu hạn chiều, ở đó F là một trường bất kỳ và trừ khi có chú ý thêm còn lại các đại số đều giả thiết có đơn vị. Tất cả các môđun trên các đại số được giả thiết là hữu hạn sinh, nói cách khác (lập luận như trong Bổ đề 12.5) là các F−không gian véctơ hữu hạn chiều. Tất cả các tổng trực tiếp của các môđun được giả thiết là hữu hạn.
Giả sử Alà một đại số. Sự quan tâm của chúng ta là cácA−môđun nửa đơn và các điều kiện xác định trênA để mọi A−môđun là nửa đơn.
Bổ đề 1. Các khẳng định sau về một A−môđun M là tương đương.
(1) Mọi môđun con củaM là một hạng tử trực tiếp của M.
(2) M là nửa đơn.
(3) M là tổng (không nhất thiết là tổng trực tiếp) của các môđun con đơn.
Chứng minh. Chứng minh (1) ⇒ (2) được thể hiện chi tiết trong chứng minh của Hệ quả 12.8 vì vậy ta sẽ không lặp lại nữa. (2) ⇒ (3) là hiển nhiên. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh(3)⇒(1).
Giả sử (3) đúng. ChoN là một môđun con củaM vàV là một môđun con của M sao cho V cực đại trong tập tất cả các môđun con của M mà giao vớiN bằng không. Ta muốn chứng minhN+V =M. Giả sửN+V ⊂M. Nếu mọi môđun con đơn củaM đều được chứa trongN+V thì doM có thể viết thành tổng trực tiếp các môđun con đơn nênM ⊆N+V. Trường hợp này không thể xảy ra và do đó tồn tại một môđun con đơnS củaM màS không được chứa trongN+V. VìS∩(N+V)
là một môđun con thực sự củaS nên S∩(N +V) = 0. Nói riêng S∩V = 0và do đó V ⊂V +S. Giả sử n∈ N∩(V +S). Khi đón =v+s, v ∈ V, s ∈S. Điều này cho ta s = n−v ∈ S∩(N +V) và do đó s = 0 dẫn đến n = v. Do đó n = 0 vì N∩V = 0. Vậy N ∩(V +S) = 0. Điều này mâu thuẫn với tính cực đại củaV. Do đó ta cóN+V =M và từ N∩V = 0 suy raM là tổng trực tiếp củaN vàV và do đóN là một hạng tử trực tiếp của M.
Bổ đề 2. Các môđun con và các môđun thương của một môđun nửa đơn là nửa đơn.
Chứng minh. Giả sử M là một A−môđun nửa đơn. Theo Bổ đề 1 và định lý đồng cấu thứ nhất cho các môđun, ta thấy rằng mọi môđun con củaM đều đẳng cấu với một môđun thương củaM. Như vậy, ta chỉ cần chứng minh các môđun thương của M là nửa đơn. Giả sử M/N là một môđun thương bất kỳ và η:M →M/N là ánh xạ tự nhiên. VìM là nửa đơn và theo Bổ đề 1, ta cóM là một tổng của các môđun
đơn, M = S1+· · ·+Sn. Do đó M/N =η(M) = η(S1) +· · ·+η(Sn). Nhưng mỗi η(Si)đẳng cấu với một môđun thương củaSi và như vậy phải bằng0hoặc đơn. Như vậy M/N là một tổng của các môđun đơn và dó đó là nửa đơn theo Bổ đề 1.
Một đại sốA được gọi lànửa đơn nếu tất cả các A−môđun khác 0 lànửa đơn. Nếu G là một nhóm hữu hạn và đặc số của F không chia hết |G|thì theo Hệ quả 12.8, F Glà nửa đơn. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày các kết quả cơ bản trên các đại số nửa đơn.
Bổ đề 3. Đại sốA là nửa đơn khi và chỉ khi A−môđun A là nửa đơn.
Chứng minh. Giả sử A−môđun A là nửa đơn và M là một A−môđun sinh bởi
{m1, . . . , mr}. Kí hiệu Ar là tổng trực tiếp của r phiên bản của A. Ta định nghĩa một ánh xạ từ Ar tới M bởi (a1, . . . , ar)7→a1m1+. . .+armr. Ánh xạ này là một toàn cấu A−môđun. Như vậy M đẳng cấu với một môđun thương của môđun nửa đơn Ar và do đó M nửa đơn theo Bổ đề 2. Suy ra A là một đại số nửa đơn. Điều ngược lại là hiển nhiên.
Mệnh đề 4. Giả sử A là một đại số nửa đơn và khi coi như các A−môđun, giả sử rằng ta có A∼= S1⊕. . . Sr, ở đó Si là các A−môđun con đơn của A. Khi đó, một
A−môđun đơn bất kỳ sẽ đẳng cấu với một Si nào đó.
Chứng minh. Giả sử S là một A−môđun đơn. Cố định 0 6=s ∈S nào đó và định nghĩa một đồng cấu A−môđun ϕ:A → S bởi ϕ(a) = as với mỗi a∈ A. Vì S đơn nên ϕ là toàn cấu. Với mỗi i, đặt ϕi: Si → S là ánh xạ hạn chế của ϕ xuống Si. Nếuϕi= 0, với mọiithìϕ= 0. Do đóϕi6= 0 với mộtinào đó. Từ bổ đề Schur, ta có ϕi:Si→S là một đẳng cấu.
Mệnh đề 5. Giả sửA là một đại số nửa đơn vàS1, . . . , Sr là họ cácA−môđun đơn sao cho mọi A−môđun đơn đều đẳng cấu với đúng mộtSi nào đó. Giả sửM là một
A−môđun và viết M ∼=n1S1⊕. . . nrSr với các số nguyên không âmni nào đó. Khi đó các ni đươc xác định duy nhất.
(Bất cứ khi nào các môđun S1, . . . , Sr được biết đến như trong mệnh đề, ta sẽ nói rằng Si là các A−môđun đơn phân biệt.)
Chứng minh. Tồn tại một chuỗi hợp thành của n1S1⊕ · · · ⊕nrSr có n1+· · ·+nr nhân tử mà trong đó mỗi Si xuất hiện ni lần như một nhân tử hợp thành. Đến đây mệnh đề được chứng minh bằng việc áp dụng định lý Jordan-H¨older cho các môđun.
Bây giờ chúng ta sẽ bắt đầu cố gắng phân loại tất cả các đại số nửa đơn. Ta bắt đầu bằng việc chứng minh tính đơn của một lớp các đại số đã biết và cuối cùng sẽ chứng minh tất cả các đại số nửa đơn đều nằm trong lớp này.
Nếu D là mộtF−đại số hữu hạn chiều thì với mọi n∈ N, tập Mn(D) các ma trận cỡn×nvới hệ số trongDlà mộtF−đại số có chiều bằng n2dimF D. Các đại số có dạngMn(D) được gọi là các đại số ma trận trênD. Với1≤i, j≤nvàα∈D, đặtEij(α)là ma trận với chỉ hệ số khác không tại vị trí thứ(i, j)và hệ số này bằng α. Giả sửDn là tập các véctơ cột độ dài nvới hệ số trongD. Tập này có dạng một
Mn(D)−môđun dưới phép nhân ma trận.
Một đại số D được gọi là một đại số có phép chia nếu tập các phần tử khác không củaDcó dạng một nhóm dưới phép nhân. Mọi mở rộng trường củaF là một đại số có phép chia, nhưng các đại số có phép chia có thể là các vành không giao hoán.
Định lí 6. Giả sửDlà một đại số có phép chia vàn∈N. Khi đó mọiMn(D)−môđun đơn đều đẳng cấu vớiDn và khi xem như cácMn(D)−môđun,Mn(D)đẳng cấu với tổng trực tiếp củan phiên bản của Dn. Nói riêng,Mn(D) là một đại số nửa đơn. Chứng minh. Một môđun con khác 0 của Dn phải chứa một véctơ khác 0 nào đó, véctơ đó phải có một hệ số khác không x (và do đó khả nghịch) ở vị trí thứ j nào đó. Bằng phép nhân trái véctơ bởi Ejj(x−1), ta thấy rằng môđun con chứa véctơ cơ sở chuẩn thứ j. Bằng phép nhân trái véctơ cơ sở này bởi các ma trận hoán vị phù hợp, ta thấy môđun con đó chứa mọi véctơ cơ sở chuẩn và do đó chứa mọi véctơ. Như vậy Dn là Mn(D)−môđun con khác 0 duy nhất của Dn và do đó Dn là đơn. Bây giờ với mỗi 1 ≤ k ≤ n, gọi Ck là môđun con của Mn(D) chứa các ma trận mà chỉ có các hệ số xuất hiện trong cột k là khác 0. Khi đó xem như cácMn(D)−môđun,Mn(D)∼=⊕n
k=1Ck. Nhưng mỗiCk xem nhưMn(D)−môđun, đẳng cấu vớiDn. Bây giờ theo Bổ đề 3, Mn(D) là một đại số nửa đơn và từ Mệnh đề 4,Dnlà Mn(D)−môđun đơn duy nhất.
Chúng ta nói rằng một đại số là đơn nếu các iđêan hai phía của nó chỉ là chính nó và iđêan0.
Bổ đề 7. Các đại số đơn là nửa đơn.
Chứng minh. Giả sử A là một đại số đơn vàP là tổng của tất cả các môđun con đơn củaA. Giả sửS là một môđun con đơn của Avà a∈A. Khi đóSalà ảnh của S dưới đồng cấu đưasvàosa và dó đóSa= 0hoặc Salà đơn. Nếu trường hợp thứ hai xảy ra thìSa⊆P với mọi môđun con đơn S và mọi a∈A. Suy ra P là một
iđean phải của A và do đó P là iđean hai phía của A. Nhưng A là đơn và P
6
= 0
nên P
=A. Do đó A là tổng các A−môđun đơn. Đến đây, theo Bổ đề 1 và Bổ đề 3, ta cóA là một đại số nửa đơn.
Định lí 8. Giả sử D là một đại số có phép chia và n∈N. Khi đó Mn(D) là một đại số đơn.
Chứng minh. Giả sử 0 6= M ∈ Mn(D). Ta phải chỉ ra rằng iđêan chính hai phía J của Mn(D) sinh bởi M bằng với Mn(D). Vì các ma trận dạng Eij(1) sinh ra
Mn(D) xem như một Mn(D)−môđun nên để chỉ ra được điều trên ta chỉ cần chỉ ra được J chứa các ma trận Eij(1). Do M 6= 0 nên tồn tại 1 ≤ r, s ≤ n sao cho hệ số ở vị trí (r, s) của M khác 0. Kí hiệu hệ số này là x. Khi đó ta cần kiểm tra Ess(1) = Esr(x−1)M Ess(1) ∈ J. Bây giờ giả sử 1 ≤ i, j ≤ n và ω, ω0 lần lượt là các ma trận hoán vị tương ứng với các vị trí (i, s) và (s, j). Khi đó Eij(1) =ωEss(1)ω0 ∈J.
NếuB1, . . . , Br là các đại số thìtổng trực tiếp ngoàicủa chúng là đại sốB. Đó là tập tích Đề các của cácBivới các phép toán cộng, nhân và nhân vô hướng được định theo các thành phần tọa độ. Từ cái tên gợi ý cho ta viết B =B1⊕. . .⊕Br. NếuM là mộtBi−môđun, với một inào đó thì M có một cấu trúc B−môđun được trang bị bởi phép nhân vô hướng (b1, . . . , br)m=bim. Rõ ràng, nếuM làBi−môđun đơn (tương ứng, nửa đơn) thì nó cũng làB−môđun đơn (tương ứng, nửa đơn). Với mỗi i, tập các phần tử của B mà hệ số khác không chỉ xuất hiện trong thành phần thứ ilà một iđêan của B và iđêan này đẳng cấu vớiBi, xem như các B−môđun.
Bây giờ giả sử B là một đại số có các iđêan B1, . . . , Br sao cho xem như các không gian véc tơ, B bằng tổng trực tiếp của các Bi. Khi đó B đẳng cấu với tổng trực tiếp ngoàiB1⊕. . .⊕Brbởi ánh xạ đưab=b1+· · ·+brvào(b1, . . . , br). Ta gọiB làtổng trực tiếp trongcủa cácBi, xem như các đại số. (Nếui6=j vàbi ∈Bi, bj ∈Bj thì ta phải có bibj ∈ Bi∩Bj = 0 vì Bi, Bj là các iđêan và do đó tích trong B của b1+· · ·+br vàb01+· · ·+b0r làb1b01+· · ·+brb0r).
Bổ đề 9. Giả sử B =B1⊕ · · · ⊕Bn là một tổng trực tiếp của các đại số. Khi đó các iđêan hai phía của B chính là các tập có dạngJ1⊕ · · · ⊕Jn, ở đó Ji là một iđêan hai phía của Bi với mỗi i.
Chứng minh. Giả sử J là một iđêan hai phía của B và đặt Ji =J ∩Bi với mỗi j. Khi đó, rõ ràng⊕n
i=1Ji ⊆J. Giả sửb∈J. Khi đó b=b1+· · ·+bn, bi∈Bi. Cố định một i nào đó và gọi ei là phần tử của B mà chỉ có duy nhất hệ số khác không là
phần tử đơn vị của Bi. Khi đó bi = bei ∈ J ∩Bi = Ji và do đó b ∈ ⊕ni=1Ji. Điều ngược lại là hiển nhiên.
Định lí 10. Giả sử r ∈ N. Với mỗi 1 ≤ i ≤ r, giả sử Di là một đại số có phép chia trênF. Giả sửni ∈N vàBi =Mni(Di). Kí hiệu B là tổng trực tiếp ngoài của các Bi. Khi đó B là một đại số nửa đơn có đúng r lớp đẳng cấu các môđun đơn và có đúng 2r iđêan hai phía gồm mọi tổng dạng ⊕j∈JBj, ở đó J là một tập con của {1, . . . , n}.
Chứng minh. Với mỗi i, theo Định lý 6, ta có thể viếtBi = Ci1⊕ · · · ⊕Cini, ở đó Cij là các Bi−môđun đơn đôi một đẳng cấu với nhau. Như đã nói ở trên, mỗi Cij
cũng được xem như là mộtB−môđun đơn. Do đó, ta có B∼=⊕i,jCij, xem như các B−môđun, và dó đó theo Bổ đề 3, B là một đại số nửa đơn. Bây giờ, theo Mệnh đề 4, mọi B−môđun đơn đều đẳng cấu với Cij nào đó. Nhưng nếu xem như các B−môđun thì Cij ∼= Ckl khi và chỉ khi i = k, do đó có đúng r lớp đẳng cấu các B−môđun đơn. Còn lại ,khẳng định về các iđêan hai phía củaB là một hệ quả trực tiếp của Định lý 8 và Bổ đề 9.
Chúng ta vừa chỉ ra rằng một tổng trực tiếp của các đại số ma trận trên các đại số có phép chia là nửa đơn. Chúng ta sẽ chứng minh một cách ngắn gọn một định lý quan trọng theo Wedderburn, định lý đó khẳng định mệnh đề ngược lại cũng đúng: Mọi đại số nửa đơn đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp các đại số ma trận trên các đại số có phép chia. Chúng ta phát triển chứng minh thông qua một chuỗi các bổ đề sau khi có sự giới thiệu một số khái niệm mới.
NếuM là một A−môđun thì phép hợp thành ánh xạ xác định một phép nhân trongEndA(M)và dó đóEndA(M)là mộtF−đại số. Ta gọiEndA(M)làđại số các tự đồng cấu củaM.
Ta định nghĩađại số đối Bopcủa đại sốB là tập B với phép cộng và phép nhân vô hướng thông thường nhưng phép nhân đối. Cho a, b ∈ B, ta ký hiệu ab là tích của chúng trongB và a·b là tích của chúng trongBop. Theo định nghĩa này, ta có a·b=ba. Rõ ràng,(Bop)op∼=B. NếuB là một đạ số có phép chia thìBopcũng vậy. Đại số đối của một tổng trực tiếp các đại số là tổng trực tiếp các đại số đối vì phép nhân trong tổng trực tiếp là phép nhân theo tọa độ.
Các đại số các tự đồng cấu và các đại số đối có quan hệ mật thiết với nhau. Bổ đề 11. Giả sử B là một đại số. Khi đó Bop∼= EndB(B).
Chứng minh. Giả sửϕ∈EndB(B)và đặta=ϕ(1). Khi đó, ta cóϕ(b) =bϕ(1) =ba, với mọib ∈ B. và do đó ϕ bằng với tự đồng cấu ρa được xác định bởi phép nhân
bên phải bởi a. Do đó EndB(B) ={ρa |a∈B} và vì vậy giữa EndB(B) và B tồn tại một tương ứng song ánh. Để hoàn thành chứng minh, ta chỉ cần chỉ ra được ρaρb=ρa·b với mọi a, b∈B. Giả sửa, b, x∈B. Khi đó,(ρaρb)(x) =ρa(xb) =xba=
ρba(x) =ρa·b(x).
Kết quả trên gợi ý rằng ta có thể thu được thông tin về các đại số nửa đơn bằng