Định lí Sylow

Trong phần này, chúng ta luôn sử dụng G để kí hiệu cho một nhóm hữu hạn vàp là một ước nguyên tố của |G|. Chúng ta sử dụng |G|p để kí hiệu cho lũy thừa cao nhất củap mà chia hết |G|, tức là |G|p =pn vớin∈N sao cho pn chia hết |G|

nhưng pn+1 không chia hết |G|.

Chúng ta nói rằngg∈Glà một là mộtp-phần tửnếu cấp của nó là một lũy thừa của p. Chúng ta cũng nói rằng Glà một p-nhóm nếu |G|là một lũy thừa của p, và H 6G là mộtp-nhóm con của Gnếu |H|là một lũy thừa của p. Mọi phần tử của mộtp-nhóm đều là mộtp-phần tử. (Một nhóm vô hạn được gọi là mộtp-nhóm nếu và chỉ nếu mọi phần tử của nó đều là mộtp-phần tử.) Chúng ta nói rằngH 6Glà một p-nhóm con Sylow của G nếu H là một p-nhóm con có cấp bằng |G|p, tức nó là mộtp-nhóm con cấp tối đại của G. Một nhóm con củaG được gọi là một nhóm con Sylownếu nó là một p-nhóm con Sylow với một ước nguyên tốp nào đó của G. Ví dụ, với n ∈ N, gọi G = GL(n, p). Theo Mệnh đề 17, |G| = pn(n2−1)(pn− 1)· · ·(p −1), và do đó |G|p = pn(n2−1). Gọi U là nhóm con của G gồm tất cả các ma trận tam giác đơn vị trên. Ta có thể chứng minh trực tiếp rằng |U| =

pn−1pn−2· · ·p2p=pn(n2−1) =|G|p; do đó U là một p-nhóm con Sylow củaG, và mọi liên hợp củaU cũng vậy. Bây giờ, gọi xlà một p-phần tử không tầm thường của G thỏa mãnxpa−I = 0 vớianào đó∈N. Vì các hệ số của x nằm trong trườngZ/pZ có đặc sốp nên chúng ta có thể viết lại phương trình này thành(x−I)pa

= 0. Bởi vậy, đa thức tối tiểu củaxchia hết(X−1)pa

, và vì đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu có cùng các nhân tử bất khả quy nên đa thức đặc trưng củaxphải là(X−1)n.

Như vậy tất cả các p-phần tử của G đều là lũy đơn, và do đó mọip-nhóm con của G đều là lũy đơn. Áp dụng định lí Kolchin (Định lí 5), ta có mọi p-nhóm của G đều liên hợp với một nhóm con của p-nhóm con SylowU. Đặc biệt, mọip-nhóm con Sylow của Gđều liên hợp với U.

Chúng ta vừa chứng minh được rằng GL(n, p) có một p-nhóm con Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của GL(n, p) đều liên hợp với nhau, và mọi p-nhóm con của GL(n, p) đều được chứa trong một p-nhóm con Sylow. Kết quả dưới đây, được chứng minh vào năm 1871 và là cơ sở để nghiên cứu các nhóm hữu hạn, chỉ ra rằng các tính chất trên cũng đúng cho mọi nhóm hữu hạnGvà mọi ước nguyên tố pcủa

|G|.

Định lý Sylow. (i) Gcó ít nhất một p-nhóm con Sylow. (ii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. (iii) Mọi p-nhóm con củaG đều chứa trong một p-nhóm con Sylow.

(iv) Số các p-nhóm con Sylow của Gđồng dư với 1 modulo p.

Giả sử rằng có một quỹ đạoOcủa Xthỏa mãnp6 ||O|. GọiA∈ Osao cho1∈A và P 6Glà cái ổn định củaA. Vì1∈Anên P ⊂P A=A, từ đó|P| ≤ |A|=|G|p. Theo Hệ quả 5, |O|=|G:P|, và do đó|G|=|P||O|; vìp6 ||O|nên|G|p chia hết|P|. Từ đó |P|= |G|p hay P là mộtp-nhóm con Sylow của G. Từ đó suy ra A =P và

O là tập các lớp kề G/P. Ngược lại, giả sửP là một p-nhóm con Sylow củaG. Tập các lớp kềG/P bao gồm các các tập con củaGcấp|G|p, và do đó nó chứa trongX; hơn nữa, G/P là quỹ đạo của P trong X và p không chia hết|G/P|=m. Bởi vậy, ta có một tương ứng song ánh giữa tập các p-nhóm con Sylow củaGvà tập các quỹ đạo trong X mà có số phần tử nguyên tố cùng nhau với p, trong đó một quỹ đạo bất kì như thế là tập các lớp kề củap-nhóm con Sylow tương ứng.

Gọi X0 ⊂ X bao gồm các phần tử của X nằm trong một quỹ đạo có số phần tử không chia hết cho p. Khi đó p phải chia hết |X−X0| và |X| ≡ |X0| (mod p). NếuS ∈X0 thì quỹ đạo củaX chứaS, theo chú ý ở trên, là tập các lớp kề của một p-nhóm con Sylow củaG, và do đó nó có số phần tử bằngm. Nếu kí hiệur là số các p-nhóm con Sylow của G thì vì r cũng bằng số các quỹ đạo của X mà được chứa trong X0 nên rm =|X0| ≡ |X|= ppnnm

(mod p). Vì p6 |m giá trị của r, modulo p, chỉ phụ thuộc vào cấp của G và không phụ thuộc vào chính G; nghĩa là, hai nhóm bất kì cùng cấp đều có cùng số các p-nhóm con Sylow, modulop. Nhưng theo Định lí 4, nhóm xyclic cấp pnm có đúng 1 nhóm con cấp |G|p. Bởi vậy, r ≡ 1 (mod p),

điều này chứng minh (iv), và đặc biệtr >0 nên ta có (i).

Bây giờ, gọiP là mộtp-nhóm con Sylow nào đó củaGvàQlàp-nhóm con bất kì củaG. NhómQtác động lên tậpY của các liên hợp củaP trongGtheo phép nhân liên hợp; tác động củax∈Qbiến gP g−1 ∈Y thành x(gP g−1)x−1 = (xg)P(xg)−1. Số phần tử của mỗi quỹ đạo, mà là chỉ số của một nhóm con củap-nhómQ, là một lũy thừa nào đó (có thể tầm thường) củap. Theo Mệnh đề 14, |Y|=|G:NG(P)|; sử dụng phép phân tích thành nhân tử các chỉ số, ta có|Y| chia hết |G:P|=m, hơn nữap6 |m nên p6 ||Y|. Vậy phải tồn tại một quỹ đạo củaY chứa duy nhất một phần tử, vì nếu trái lại thìp chia hết|Y|.

GọiP1là quỹ đạo gồm một phần tử củaY dưới tác động củaQ. Khi đóxP1x−1 =

P1 với mọi x ∈ Q; do đó QP1 =P1Q, từ đó theo Mệnh đề 3, QP1 6 G. Rõ ràng

|P1| ≤ |QP1|, hơn nữa theo Mệnh đề 12, |QP1|=|P1||Q:Q∩P1| nên QP1 phải là một p-nhóm. Suy ra |QP1 =|P1||, từ đó Q= Q∩P1 và do đó Q 6P1. Mà P1 là mộtp-nhóm con Sylow của Gnên điều này chứng minh (iii). Bây giờ, nếuQlà một p-nhóm con Sylow của G thì vìQ6P1 và |Q|=|P1|nên Q=P1; đặc biệt, Qliên hợp vớiP, điều này chứng minh (ii).

Hệ quả 1. Số các p-nhóm con Sylow của G chia hết |G|/|G|p.

Chứng minh. Gọi r là số các p-nhóm con Sylow của G và P là một nhóm con như thế. Theo phần (ii) của định lí Sylow,r bằng số các liên hợp củaP trong G; vì theo Mệnh đề 14 số này bằng|G:NG(P)|nên qua phép phân tích thành nhân tử các chỉ số ta cór chia hết|G:P|=|G|/|G|p.

Định lí Sylow trực tiếp suy ra kết quả cổ điển sau. Định lý Cauchy. Gcó một phần tử cấp p.

Chứng minh. Theo phần (i) của định lí Sylow, G có một p-nhóm con Sylow không tầm thường, và do đó G có một p-phần tử không tầm thường, suy ra có một lũy thừa của phần tử này có cấp làp.

(Các chứng minh khác của định lí Sylow thường giả sử rằng định lí Cauchy đã được biết, giống như trong lịch sử tìm ra các định lí này.)

Kết quả tiếp theo đưa ra mối quan hệ giữa cácp-nhóm con Sylow của một nhóm và mối quan hệ giữa các nhóm con chuẩn tắc và các nhóm thương của chúng. Mệnh đề 2. Giả sử N EG và P là một p-nhóm con Sylow của G. Khi đó P N/N

Chứng minh. Theo định lí tương ứng, |G/N : P N/N| = |G : P N|. Hơn nữa, do

|G:P N|chia hết |G :P| và p6 ||G:P|nên p6 ||G/N :P N/N|. Theo định lí đẳng cấu thứ nhất, P N/N ∼=P/P ∩N, suy raP N/N là mộtp-nhóm; và do đóP N/N là một p-nhóm con Sylow của G/N.

Từ Mệnh đề 12 ta suy ra rằng|N :P∩N|=|P N :P|; nhưng vìP N là một nhóm con củaG(theo Mệnh đề 7) vàP là mộtp-nhóm con Sylow củaGnênp6 ||P N :P|. Từ đóP∩N là mộtp-nhóm con củaN mà chỉ số của nó trongN là nguyên tố cùng nhau với p, hay P là một p-nhóm con Sylow củaN. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

NếuH 6G vàP là một p nhóm con Sylow của G thìP ∩H không nhất thiết là một p-nhóm con Sylow của H; ta không thể lặp lại phần đầu của chứng minh trên vìP H có thể không là một nhóm con của G. Tuy nhiên, nếuQlàp-nhóm con Sylow của H thì theo phần (iii) của định lí Sylow, Q được chứa trong một p-nhóm con Sylow P0 nào đó của G, và do đóQ=P0∩H. Theo phần (ii) của định lí Sylow, P0 và P liên hợp trong G. Do đó tồn tại g ∈Gsao cho gP g−1∩H là mộtp-nhóm con Sylow của H.

Trong phần còn lại, chúng ta trình bày một số ứng dụng điển hình của định lí Sylow vào nghiên cứu các nhóm hữu hạn.

Mệnh đề 3. Giả sử p và q là các số nguyên tố phân biệt, với p > q. Nếu p 6≡ 1 (mod p) thì mọi nhóm cấp pq đều đẳng cấu với Zpq. Nếu p ≡ 1 (mod q) thì mọi nhóm abel cấp pqđều đẳng cấu với Zpq, và có chính xác một lớp đẳng cấu các nhóm không abel cấp pq.

Chứng minh. Giả sửGlà một nhóm cấp pq,P là mộtp-nhóm con Sylow củaG, và Q là mộtq-nhóm con Sylow của G. Vì |P|=p và |Q|=q nên P ∼=Zp và Q∼=Zp. Theo định lí Lagrange 1,P∩Q= 1, và do dó từ Mệnh đề 12 ta suy ra rằngG=P Q. Theo định lí Sylow và Hệ quả 1, số các liên hợp củaP trongGchia hết|G:P|=q và đồng dư với1modulop. Nhưngq 6≡1 (mod p)dop > q; từ đóPcó đúng một liên hợp trongG, và do đóP EG. Tương tự, ta có thể chứng minh rằngQhoặc có1hoặc p các liên hợp trongG, và rằng trường hợp sau chỉ có thể xảy ra khip≡1 (mod q). NếuQchỉ có một liên hợp trongGthìQEG, và do đóG=P×Q∼=Zp×Zq ∼=Zpq

(theo Bổ đề 8). Trường hợp này cũng đúng nếup6≡1 (mod q), hoặc p≡1 (modq)

và Gabel.

Bây giờ, giả sử rằngQcópliên hợp trongG, trong trường hợp màGkhông abel vàp≡1 (mod q). Ta cóP EG, G=P Q, vàP∩Q= 1, điều này suy raG=PoQ. Gọi ϕ:Q→Aut(P)là đồng cấu liên hợp. Nếu kerϕ6= 1 thì từ tính đơn củaQ suy ra kerϕ=Q, trong trường hợp ϕlà tầm thường, và do đó Gabel. Do đó ϕ là đơn

ánh.

Chúng ta kết luận rằng nếu p ≡ 1 (mod q) và có một nhóm không abel cấp pq thì tồn tại một đơn cấu từ Zq vào Aut(Zp). Ngược lại, cho trước một đơn cấu ϕ:Zq →Aut(Zp), ta có thể xây dựng một nhóm không abel cấppq, đó làZpoϕZq. Để hoàn thành việc chứng minh, ta cần đưa ra một đơn cấu ϕ : Zq → Aut(Zp), điều này chứng minh sự tồn tại của một nhóm không abel cấp pq; đồng thời nếu ψ:Zq→Aut(Zp)là một đơn cấu khác như vậy thì các nhóm ZpoϕZq vàZpoψZq

đẳng cấu.

Theo Định lí??,Aut(Zp)∼=Zp−1. Hơn nữa, theo giả thiết q|(p−1)kết hợp với Định lí 4 suy ra Aut(Zp) có một nhóm con duy nhất K cấp q. Sử dụng tính chất đặc trưng của Aut(Zp), được đưa ra trong Mệnh đề 1, suy ra tồn tại số r nào đó (1 < r < p) sao cho K được sinh bởi tự đẳng cấu σr biến mọi phần tử thành luỹ thừa r của nó. Ta xác định ϕ: Zp → Aut(Zp) bằng cách cho ϕ biến một phần tử sinh củaZq thành σr. Khi đó ϕlà một đơn cấu với ảnhK, điều này chứng minh sự tồn tại. Bây giờ, nếuϕ:Zq →Aut(Zp) là một đơn cấu khác thì theo tính duy nhất của K ta phải có ψ(Zq) = K = ϕ(Zq); theo Mệnh đề 11, ZpoϕZq ∼= Zpoψ Zq, mệnh đề được chứng minh.

Tiếp theo, ta minh họa cách sử dụng định lí Sylow như là một công cụ trong nghiên cứu các nhóm đơn hữu hạn. Một kết quả đặc biệt của phần (iii) của định lí Sylow là mọip-phần tử của Gđều chứa trong mộtp-nhóm con Sylow nào đó của G; kết quả này cho phép chúng ta sử dụng thông tin về cácp-nhóm con Sylow để tính toán số cácp-phần tử của G.

Định lí 4. A5 là đơn.

Chứng minh. Ta có |A5|= 5!/2 = 60 = 22·3·5. Từ định lí Sylow và Hệ quả 1 ta thấy rằng số các 5-nhóm con Sylow của A5 chia hết 60/5 = 12 và đồng dư với 1

modulo5; sử dụng kết quả là mọi 5-xích đều sinh ra một5-nhóm con Sylow, ta có số này khác1. Do đóA5 có 6các5-nhóm con Sylow. Vì không nhóm con nào trong hai nhóm này có thể có chung một phần tử cấp5 nên A5 có 6·(5−1) = 24 phần tử cấp5. Tương tự,A5 có thể có1, 4hoặc 10 các3-nhóm con Sylow, và bằng tính toán trực tiếp số các 3-nhóm con Sylow lớn hơn 4; do đó, A5 có 10·(3−1) = 20

phần tử cấp3.

Giả sử 1 ≤ i ≤ 5 và {a, b, c, d} là phần bù của {i} trong {1,2,3,4,5} và Vi = {1,(a b)(c d),(a c)(b d)}. Dễ thấy mỗi Vi đều là 2-nhóm con Sylow của A5 và nếu i6=j thì Vi∩Vj = 1. Bằng tính toán tực tiếp ta thấy rằng ρViρ−1 =Vρ(i) với mọi ρ∈A5. Theo phần (ii) của định lí Sylow,V1, ..., V5 là tất cả các 2-nhóm con Sylow

của A5. Ta cũng suy ra rằng A5 có 5·(4−1) = 15 phần tử cấp 2 và mọi phần tử cấp 2 trong A5 đều liên hợp với một phần tử cấp2 khác nào đó.

Bây giờ, giả sửN là một nhóm con chuẩn tắc thực sự của A5 vàn=|N| ≤30. Giả sử 5|n. Khi đóN chứa một 5-nhóm con Sylow của A5; vì N chuẩn tắc trong Gnên N cũng chứa tất cả các liên hợp của5-nhóm con Sylow đó và do vậyN chứa tất cả6các5-nhóm con Sylow củaA5. Đặc biệt,N chứa 24 phần tử cấp5, điều này suy ran= 30. Lại có 3|30 nên N chứa 1, và do vậy chứa tất cả10 các3-nhóm con Sylow của A5; do vậy N chứa 20 phần tử cấp 3, mâu thuẫn. Do đó 5 6 |n, điều này suy ra n ≤12. Nếu 3 |n thì lập luận tương tự như trên, N chứa 20 phần tử cấp

3, mâu thuẫn; vậy n= 1,2 hoặc 4. Nếun= 4 thìN là một2-nhóm con Sylow của A5 và do vậy nó có5liên hợp trongA5, điều này mâu thuẫn với tính chuẩn tắc của N. Nhưng chúng ta đã nhận thấy từ trước rằng mọi phần tử cấp 2 trongA5 đều có một liên hợp nào đó khác chính nó; do đó A5 không thể có một nhóm con chuẩn tắc

Mục lục