Trong Mục 3, chúng ta đã nghiên cứu tác động của các nhóm trên các tập hợp, và xuyên suốt cuốn sách này, chúng ta đã cho thấy sự hữu dụng mà khái niệm này đem lại. Nếu một nhóm tác động trên một tập hợp mà tập hợp đó mang một cấu trúc đại số nào đó thì sự tác động nhóm không phụ thuộc vào cấu trúc đó. Tuy nhiên, lớp các tác động có sự tương ứng với cấu trúc nằm dưới có thể có lợi ích nào đó. Bây giờ, ta sẽ tập trung sự chú ý vào các tác động của các nhóm trên các không gian véctơ mà các tác động đó tôn trọng cấu trúc không gian véctơ.
Gả sửF là một trường vàGlà một nhóm với tác động trên một F−không gian véc tơV. Ta nói rằng tác động của Glên V làtuyến tính nếu:
• g(v+w) =gv+gw với mọig∈G vàv, w ∈V;
• g(αv) =αg(v) với mọig∈G, α∈F vàv∈V.
Theo Mệnh đề 3.1, các tác động nhóm tương ứng với các đồng cấu nhóm đối xứng. Bây giờ, chúng ta sẽ đưa ra lập luận tương tự cho các tác động nhóm tuyến tính. Mệnh đề 1. Tồn tại một tương ứng song ánh giữa tập các tác động tuyến tính của một nhómGtrên một F−không gian véc tơV với tập các đồng cấu từGvào GL(V) Chứng minh. Giả sử ρ: G→GL(V) là một đồng cấu. Khi đó, ta có một tác động tuyến tính củaGlên V xác định bởigv =ρ(g)(v). Ngược lại, nếu có một tác động tuyến tính củaGlênV thì ta xác định được một đồng cấuρ:G→GL(V), ρ(g)(v) =
gv. Hai tương ứng này là ngược của nhau.
Một đồng cấuρ:G→GL(V), vớiGlà một nhóm vàV là một không gian véctơ, được gọi là mộtbiểu diễn tuyến tính củaGtrênV. Từ Mệnh đề 1, ta thấy rằng việc
nghiên cứu các biểu diễn tuyến tính của các nhóm tương đương với việc nghiên cứu tác động tuyến tính của các nhóm. Mảng nghiên cứu này, với sự nhấn mạnh trên các nhóm hữu hạn và các không gian véctơ hữu hạn chiều, được bắt đầu từ cuối thế kỷ 19 và đã cho thấy một số các ứng dụng rất tốt đối với lý thuyết nhóm hữu hạn. Giả sử R là một vành có đơn vị, tức là R có một phần tử đồng nhất với phép nhân 1 và M là một nhóm aben với phép cộng. Ta nói rằng M là một R−môđun trái nếu tồn tại một ánh xạ từR×M tới M với ảnh của (r, m)∈R×M được viết dạng rm và thỏa mãn các tính chất sau:
• 1m=m, với mọim∈M.
• r(m+n) =rm+rn, với mọir∈R vàm, n∈M.
• r(sm) = (rs)m, với mọir, s∈R và m∈M.
NếuR=Zthì các điều kiện trên tự động được thỏa mãn bởi vì cácZ−môđun chính là các nhóm aben. Nếu F là một trường thì mộtF−môđun chính là mộtF−không gian véctơ. Như vậy, một môđun là một sự tổng quát hóa một cách tự nhiên của một không gian véctơ khi thay cho một trường, ta làm việc trên một vành bất kỳ. Tương tự, ta có thể định nghĩa một R−môđun phảiM như một ánh xạ từ M ×R tới R, đưa(m, r) tới mr sao cho ánh xạ này thỏa mãn các tính chất tương tự như trên. Nếu R là vành giao hoán thì rõ ràng mọi R−môđun trái có thể cho một cấu trúcR−môđun phải. Do đó không cần thiết phải phân biệt giữa cácR−môđun trái và phải. (Trong trường hợp tổng quát, một R−môđun trái có thể được xem như một môđun đun phải trên vành đối Rop, ở đó Rop là nhóm aben R với luật nhân của R được viết ngược lại. Nếu R là vành giao hoán thì R vàRoplà các vành đẳng cấu với nhau.) Khi nói R−môđun mà không có chú ý gì thêm, ta luôn hiểu đó là R−môđun trái.
Giả sử S là một vành có đơn vị và M đồng thời là một R−môđun trái và một S−môđun phải. Khi đó, ta nói rằng M là một (R, S)−song môđun nếu r(ms) = (rm)s với mọi r ∈ R, m ∈ M và s ∈ S. Mọi R−môđun trái đều là (R,Z)−song môđun và mọi R−môđun phải đều là một (Z, R)−song môđun. Vành R là một
(R, R)−song môđun. NếuRlà vành giao hoán thì mọiR−môđun đều là(R, R)−song môđun.
Một R−môđunM được gọi là hữu hạn sinhnếu mọi phần tử củaM có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến các phần tử của một tập con hữu hạn nào đó của M với hệ số trong R. Tuy nhiên, các tập sinh cực tiểu của một môđun có thể có số phần tử khác nhau. Điều này mâu thuẫn hoàn toàn với thực tế ta đã biết rằng hai cơ sở hữu hạn bất kỳ của một không gian véctơ phải có số phần tử bằng nhau.
Giả sửM là mộtR−môđun vàN là một nhóm con củaM. Ta nói rằngN là một R−môđun con(hoặc đơn giảnmôđun con) củaM nếurn∈N với mọir∈R, n∈N. Ví dụ, cácR−môđun con (trái) củaRchính là các iđêan trái củaR. Mọi môđun có ít nhất hai môđun con là chính nó và môđun không{0}. Một môđun không có môđun con nào khác ngoài hai môđun con đó được gọi là môđun đơn. (Như đối với các nhóm, ta qui ước môđun không{0} không được coi là đơn.) Nếu N là một môđun con củaM thì từM là một nhóm aben, ta có thể xây dựng nhóm thươngM/N và có thể trang bị choM/N một cấu trúcR−môđun bởi định nghĩar(m+N) =rm+N vớir∈Rvàm+N ∈M/N. Ta gọiM/N làR−môđun thương(hoặcmôđun thương) của M bởiN.
Giả sử N1 và N2 là các môđun con của một R−môđun M. Ta định nghĩa tổng
của chúng làN1+N2={x+y|x∈N1, y∈N2} ⊆M. Tổng này là một môđun con của M, cũng như N1∩N2. Nếu N1∩N2 = 0 thì ta nói tổng của N1 và N2 làtrực tiếpvà viết N1⊕N2 thay cho N1+N2. Chúng ta cũng có một khái niệm tổng trực tiếp ngoài: NếuM vàN là cácR−môđun thì ánh xạr(m, n) = (rm, rn)choM×N một cấu trúcR−môđun và viết M⊕N thay cho M×N. Các khái niệm tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài có thể mở rộng đối với một số hữu hạn các môđun con giống như ta đã làm trong Mục 2 đối với tích trực tiếp của các nhóm. Ta nói rằng một môđun conN của một môđunM là mộthạng tử trực tiếpcủaM nếu tồn tại một môđun conN0 của M sao cho M =N ⊕N0. Trong trường hợp tổng quát, ta ký hiệu nM cho tổng trực tiếp của n phiên bản của M, mặc dù chúng ta cũng viết môđun này làMn.
Một chuỗi hợp thành của một R−môđun M là một chuỗi giảm dần các môđun con củaM sao cho kết thúc là môđun không và mỗi thương của các môđun kế tiếp nhau là một môđun đơn. Không phải mọi môđun đều có chuỗi hợp thành, ta sẽ thấy trong trang 98 rằng mọi Z−môđun có vô số phần tử không có chuỗi hợp thành. Tương tự, định lý Jordan-H¨older vẫn đúng đối với các môđun có chuỗi hợp thành và do đó ta có định nghĩa tốt về các nhân tử hợp thành của một môđun. Mọi nhân tử hợp thành của một môđun con hoặc môđun thương của mộtR−môđunM cũng phải là một nhân tử hợp thành của M. Mọi chuỗi hợp thành của một môđun con (tương ứng, môđun thương ) có thể được mở rộng (tương ứng, nâng rồi mở rộng) thành các chuỗi hợp thành củaM.
Giả sửM và N là các R−môđun vàϕ:M →N là một đồng cấu nhóm. Ta nói rằngϕ là mộtđồng cấu R−môđun nếu ϕ(rm) = rϕ(m) với mọi r ∈R, m∈M. Ta cũng định nghĩa các đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, tự đồng cấu và tự đẳng cấu của cácR−môđun tương tự như trong Mục 1 đối với các nhóm.Hạt nhân của ϕlà tập các phần tử của M sao cho ảnh của chúng qua ϕlà phần tử đồng nhất 0 của N.
Hạt nhân của ϕ được ký hiệu là Kerϕ và nó là một môđun con của M. Ảnh của ϕ là một môđun con của N. Định lý cơ bản trên các đồng cấu môđun chỉ ra rằng R−môđun M/KerϕvàImϕ là đẳng cấu với nhau qua ánh xạ cảm sinh bởi ϕ, kết quả này cũng tương tự như trong lý thuyết nhóm. Cũng có các kết quả trong lý thuyết môđun tương tự trong lý thuyết nhóm như định lý tương ứng và hai định lý đẳng cấu cơ bản. Ví dụ, định lý đẳng cấu thứ nhất đối với các môđun nói rằng nếu M là một R−môđun có các môđun con N1 và N2 thì N1+N2/N1∼=N2/N1∩N2. Bổ đề Schur. Mọi đồng cấu khác không giữa các môđun đơn là đẳng cấu.
Chứng minh. Giả sửM vàN là cácR−môđun đơn vàϕ:M →N là một đồng cấu R−môđun. DoKerϕlà một môđun con củaMnên hoặcKerϕ=MhoặcKerϕ= 0. Tương tự, Imϕlà một môđun con củaN, do đóImϕ= 0hoặc Imϕ=N. Như vậy, nếu ϕ6= 0 thì Kerϕ= 0 đồng thời Imϕ=N, tức là ϕlà một đẳng cấu.
NếuM vàN là cácR−môđun thì ta ký hiệu tập tất cả các đồng cấu R−môđun từ M tới N làHomR(M, N). Ta viết EndR(M) thay cho HomR(M, M). Chúng ta cho HomR(M, N) một cấu trúc nhóm aben như sau: Với mỗi ϕ, ρ ∈HomR(M, N), định nghĩa ϕ+ρ∈HomR(M, N) bởi (ϕ+ρ)(m) =ϕ(m) +ρ(m), với mọim∈M.
Giả sử S là một vành có đơn vị, M là một (R, S)−song môđun và N là một R−môđun. Với s∈ S và ϕ ∈ HomR(M, N), ta định nghĩa sϕ ∈ HomR(M, N) bởi
(sϕ)(m) =ϕ(ms). Định nghĩa này làm choHomR(M, N) trở thành mộtS−môđun. Ví dụ, nếu F là một trường và U, V là các F−không gian véctơ thì HomF(U, V)
cũng là một F−không gian véctơ tương ứng với định nghĩa trên. Trong trường hợp này, λ∈F tác động trên ϕ∈HomF(U, V) bởi(λϕ)(u) =ϕ(λu), u∈U. Chú ý rằng ánh xạ từ HomR(R, M) tớiM gửiϕ tớiϕ(1)là một đẳng cấu R−môđun.
Giả sửM là một (R, S)−song môđun và N là một S−môđun. Ta nói rằng một ánh xạ từ M ×N tới một R−môđun U làsong tuyến tính nếu:
• f(m1+m2, n) =f(m1, n) +f(m2, n) với mọim1, m2 ∈M vàn∈N.
• f(m, n1+n2) =f(m, n1) +f(m, n2) với mọim∈M và n1, n2∈N.
• f(ms, n) =f(m, sn) với mọim∈M, n∈N vàs∈S.
• f(rm, n) =rf(m, n)với mọim∈M, n∈N vàr ∈R. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tích ten-xơcủa M vàN trênS là mộtR−môđun, ký hiệu bởiM⊗SN, được trang bị một ánh xạ song tuyến tínhη:M×N →M⊗SN sao cho nếuU là mộtR−môđun và f:M ×N → U là một ánh xạ song tuyến tính thì tồn tại duy nhất đồng cấu
R−môđun α:M ⊗SN →U sao cho f =α◦η. Tích ten-xơ tồn tại và duy nhất sai khác một đẳng cấu. Ta viếtm⊗n=η(m, n) với mọim∈M, n∈N.
Chính xác hơn, tích ten-xơM⊗SN là mộtR−môđun sinh bởi tập{m⊗n|m∈
M, n∈N}, ở đó các phần tử m⊗nthỏa mãn các tính chất sau:
• (m1+m2)⊗n=m1⊗n+m2⊗n với mọim1, m2 ∈M, n∈N.
• m⊗(n1+n2) =m⊗n1+m⊗n2, với mọim∈M, n1, n2 ∈N.
• (ms)⊗n=m⊗(sn), với mọi m∈M, n∈N, s∈S.
• (rm)⊗n=r(m⊗n), với mọim∈M, n∈N, r∈R.
Rõ ràng một phần tử bất kỳ củaM⊗SN không phải chỉ có dạngm⊗nmà còn là một tổng của các phần tử như vậy.
Ví dụ, xét trường hợp đặc biệt khi F là một trường và U, V là các F−không gian véctơ hữu hạn chiều. Khi đó U là một (F, F)−song môđun. Do đó ta có thể xây dựngF−không gian véctơ U⊗F V. Nếu {u1, . . . , ur}và {v1, . . . , vs}tương ứng là cơ sở củaU vàV thìU ⊗F V là một F−không gian véctơ chiềursvà có một cơ sở{ui⊗vj |1 ≤ i≤r,1 ≤ j ≤ s}. Nếu u =P
iaiui ∈ U và v =P
jbjvj ∈ V thì u⊗v =P
i,jaibj(ui ⊗vj). (Việc hiểu trường hợp đặc biệt này sẽ đủ cho việc đọc tiếp phần còn lại của cuốn sách. Tuy nhiên, việc hiểu trường hợp tổng quát sẽ có ích trong Mục 16.)
Mệnh đề 2. Giả sử R là một vành có đơn vị và M là một R−môđun. Khi đó M
vàR⊗RM là các R−môđun đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Xét ánh xạ f:R ×M → M xác định bởi f(r, m) = rm. Rõ ràng f là một ánh xạ song tuyến tính và do đó cảm sinh một đồng cấu R−môđun α:R⊗RM → M, ở đó α(r⊗m) = rm. Ánh xạ α có ánh xạ ngược là đồng cấu R−môđun đưa m∈M vào 1⊗m.
Mệnh đề 3. Giả sử RvàS là các vành có đơn vị vàM1, . . . , Mr là các(R, S)−song môđun,N là một S−môđun. Khi đó (⊕iMi)⊗SN và ⊕iMi⊗SN là cácR−môđun đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Ta định nghĩa một ánh xạf: (⊕iMi)×N → ⊕iMi⊗SNbởif((m1, . . . , mr), n) = (m1 ⊗n, . . . , mr⊗n). Rõ ràng f là song tuyến tính và do đó cảm sinh một đồng
cấu từ(⊕iMi)⊗SN tới⊕iMi⊗SN. Bởi lý do tương tự, ta có thể định nghĩa một ánh xạ là ngược của đồng cấu trên. Chúng tôi để lại việc kiểm tra chi tiết cho độc giả.
Mệnh đề 4. Giả sử F là một trường và U, V là các F−không gian véctơ với dimF(U)<∞. Đặt U∗ = HomF(U, F). Khi đó ánh xạ Γ :U∗⊗F V →HomF(U, V) xác định bằng cách đặt Γ(ϕ⊗v)(u) =ϕ(u)v và mở rộng tuyến tính là một đẳng cấu
F−không gian véctơ.
Chứng minh. Ta thấy rõ ràng Γ là một đồng cấu được cảm sinh bởi một ánh xạ song tuyến tính đưa (ϕ, v) ∈U∗×V vào phép biến đổi tuyến tính biến u ∈U vào ϕ(u)v ∈ V. Giả sử {u1, . . . , un} là một cơ sở của U. Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, giả sử fi ∈U∗ được định nghĩa bởi fi(uj) =δij với mỗi j. Khi đó {f1, . . . , fn} là một cơ sở của U∗. Ta có thể viết một phần tử bất kỳP k(P iαikfi)⊗vk của U∗⊗F dưới dạng P ifi⊗(P kαikvk). Do đó mỗi phần tử củaU∗⊗F có dạng Pn i=1fi⊗vi với vi ∈V. Giả sửPn i=1fi⊗vi ∈U∗⊗F V và cố định một j nào đó. Khi đó, ta có Γ n X i=1 fi⊗vi ! (uj) = n X i=1 Γ(fi⊗vi)(uj) = n X i=1 fi(uj)vi =vj. Do đó nếu Γ (Pn i=1fi⊗vi) = 0thìPn
i=1fi⊗vi = 0vì vj = 0với mọi j. Suy ra Γlà đơn ánh. Bây giờ giả sử σ∈HomF(U, V). Khi đó vớiu=Pn
i=1αiui ∈U, ta có Γ n X i=1 fi⊗σ(ui) ! (u) = n X i=1 fi(u)σ(ui) = n X i=1 αiσ(ui) =σ(u). Suy ra Γ (Pn i=1fi⊗σ(ui)) =σ. Do đóΓ là toàn ánh.
Trên đây, ta đã ôn lại về lý thuyết môđun đủ cho mục đích của chúng ta. Bây giờ ta cần giới thiệu lớp các vành mà ta sẽ nghiên cứu môđun trên đó. Giả sử R là một vành và Glà một nhóm. Vành nhóm của G trênR kí hiệu bởi RG gồm tất cả các tổ hợp R−tuyến tính hình thức của hữu hạn các phần tử của Gvới phép cộng và phép nhân được xác định bằng cách mở rộng các phép toán đó trongG. Cụ thể, ta có: X x∈G αxx ! X y∈G βyy =X x∈G X y∈G αxβyxy= X x∈G X y∈G αgβg−1x x.
Vành nhóm có một phần tử đơn vị, đó chính là phần tử đồng nhất của nhóm được xét. Chúng ta sẽ quan tâm chính đến trường hợp khi R=F là một trường vàG là một nhóm hữu hạn. Lúc này F G không chỉ là một vành mà còn là một F−không gian véc tơ với cơ sở là Gvà do đó có chiều hữu hạn|G|. Trong trường hợp này,F G gọi là đại số nhóm vì nó là một ví dụ về một đại số-một cấu trúc toán học sẽ được
định nghĩa bây giờ. (Các đại số sẽ là đối tượng chính được nghiên cứu trong Mục 13.)
Nếu F là một trường thì mộtđại số trên F (hoặc đơn giản một F−đại số) là một tập A với một cấu vành và một cấu trúc F−không gian véc tơ sao cho phép