Cho dãy số nguyên u1,u2, ...,un, với n ≥2. Chứng minh rằng tồn tại dãy conuk1,uk2, ...,ukm trong đó: 1≤k1 <k2... <km...≤n sao cho: u2k 1+u2k 2+...+u2km chia hết cho n. Lời giải: Xétn+1số: 0,u21,u12+u22,u21+u22+u23, ...,u21+...+u2n
Chia các số này chon, thì chúng có nhiều nhấtnsố dư. Theo nguyên lý Dirich- let, tồn tại hai số có cùng số dư, giả sử đó là:
u21+...+u2j vàu21+...+u2k, 0≤ j <k≤n. có nghĩa là số:
(u21+...+u2j ) −(u2
1+...+u2k) chia hết chon hoặc uj+1+uj+2+...+uk chia hết chon.
Dãy con phải tìm làuj+1, uj+2, ..., uk.
Bài 2 [5]
Giả sử avàxlà hai số tự nhiên thực sự lớn hơn 1 và(x,a−1)= 1. Dãy số vô hạnunđược xác định như sau:
un=axn−a+1 (n=1,2, ...)
Chứng minh rằng trong dãy số nói trên chứa vô hạn số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
tố cùng nhau.
Đặtq=ui1ui2...uik. Xétq+1số sau:a,ax,ax2, ...,axq.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số nguyênr vàssao cho0≤r<s≤q và
axr≡axs (mod q) ⇒axr−axs≡0(mod q)
hay axr(1−xs−r)≡0(mod q) (1) Theo giả thiết ta có (x,a−1) = 1 nên suy ra
(axr,uij) = 1,∀j = 1,k (2) Từ (2) suy ra ( axr,q ) = 1 (3) Từ (1) và (3) ta có: xs−r ≡1(modq) ⇒xs−r =lq+1, l ∈ N. Xét số: uik+j =axs−r−a+1 Vậy uik+j =a(lq+1=a+1) (4) Từ (4) ta có: (uik+j,uij) =1, ∀j=1,k. (5) Hệ thức (5) chứng tỏ rằng luôn có thể bổ sung thêm vào bộ số:
q=ui1ui2...uik
các bộ số mới, mà bộ này vẫn thỏa điều kiện: Bất kì hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là trong dãyunđã cho có vô hạn số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài 3 [5]
Cho {un}là dãy các số tự nhiên tăng dần:
u1 <u2<u3< ...
u1 =1, un+1≤2n, ∀n∈N
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại các số hạng up và uq của dãy sao choup −uq=n.
Lời giải:
Giả sử n ∈ N là số tự nhiên cho trước. Từ giả thiết suy ra mỗi số hạng u1,u2,u3, ...,un+1 không vượt quá2n.
Xét tập hợp 2n số tự nhiên sau {1,2,3, ...,2n}. Chúng chia tập hợp này thànhncặp:
(1, n+1), (2, n+ 2),...,(n, 2n).
Do tập hợp trên chứa không ít hơnn+1phần tử của dãy unđã cho (vì nói riêngu1,u2, ...,un+1 đã thuộc tập hợp ấy). Vậy, theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số hạng khác nhauupvà uq của dãy thuộc vào một cặp ( giả sử up>uq).
Nhưng hiệu số của mỗi cặp đều bằng nnên chúng ta có: up−uq= n.
Bài 4
Cho u1,u2, ...,un, ... là dãy những số nguyên xác định bằng công thức
u1=6,u2=45, un+2=u2n+1−un (n≥1)
Chứng minh rằng có vô số những phần tử trong dãy này chia hết cho 2019.
Lời giải:
Đặt un=2019qn+rn, n=1,2,3, ...,trong đó qn vàrn là các số nguyên và
0≤rn≤2018.
Xét dãy các cặp số sau (r1,r2),(r2,r3), ...,(rn,rn+1)...
Vì mỗi ri(i= 1,2, ...) chỉ nhận một trong 2019 giá trị từ 0 đến 2018 nên số các cặp số(ri,ri+1)khác nhau nhiều nhất là20192. Theo nguyên lý Dirichlet thì trong20192+1 cặp đầu tiên có ít nhất hai cặp số trùng nhau, tức là tồn tại
i,j (i< j) sao cho(ri,ri+1) =(rj,rj+1). Điều đó có nghĩa là ri=rj vàrj =rj+1. Chúng ta sẽ chứng minhri−1=rj−1. Theo cách xác định dãy và cách đặt, ta có: uj−1=u2j −uj+1= (2019qj+rj)2−(2019qj+1+rj+1) =2019A+r2j−rj+1, A∈Z. ui−1=u2i −ui+1= (2019qi+ri)2−(2019qi+1+ri+1) =2019B+ri2−ri+1,B∈Z. Suy ra uj−1−ui−1 =2019(A−B) + (r2j−r2i)−(rj+1−ri+1) =2019(A−B) (1) Mà uj−1−ui−1 = (2019qj−1+rj−1)−(2019qi−1+ri−1) =2019(qj−1−qi−1) + (rj−1−ri−1) (2) Từ (1) và (2) suy rauj−1−ui−1 chia hết cho 2019.
Vì 0≤ri−1≤2018, 0≤rj−1≤2018 nên−2018 ≤ rj−1−ri−1 ≤ 2018. Suy ra rj−1−ri−1=0 hayrj−1=ri−1
Tương tự, ta córi−2=rj−2, ...,r2=rj−i+2,r1=rj−i+1
Các đẳng thức trên chứng tỏ với mọik=1,2, ...,i+1luôn có rk =rk+(j−i) (3) Mặt khác uj+2−ui+2= (u2j+1−uj)−(u2i+1−ui)
= (2019C+r2j+1−rj)−(2019D+ri2+1−ri) =2019(C−D) + (r2j+1−r2i+1)−(rj−ri) =2019(C−D), C ∈Z, D∈Z.
Lập luận tương tự trên ta được ri+2=rj+2.
Tiếp tục quá trình trên, ta có ri+t =rj+t =ri+t+(j−i), với t= 2, 3,...
Hay rk=rk+(j−i)vớik=i+2,i+3, ... (4) Từ (3) và (4) ta suy ra rk=rk+(j−i) với mọik=1,2, ...
Do đó r3=r3+(j−i)=r3+2(j−i) =...=r3+m(j−i) =0, với mọi m≤0.
Điều đó chứng tỏ trong dãy đã cho có vô số phần tử có dạng r3+m(j−i) chia hết cho 2019.
Bài 5 [5]
Cho klà số nguyên dương và
x11,x12, ...,xn1, ...
x21,x22, ...,xn2, ...
... xs1,xs2, ...,xsn, ...
làs dãy số nguyên. Khi đó tồn tại vô hạn các cặp chỉ số (i, j) với i< j sao cho các tổng sau đây
x1i+1+xi1+2+...+x1j x2i+1+xi2+2+...+x2j ... xsi+1+xis+2+...+xsj
đều chia hết chok.
Lời giải:
Xétks phần tử đầu tiên của dãy đã cho: x11,x12, ...,xk1s x21,x22, ...,xk2s ... xs1,xs2, ...,xsks Đặt các tổng: S11=x11, S12=x11+x12,..., S1ks =x11+x12+...+x1ks
S21=x12, S22=x21+x22,..., S2ks =x21+x22+...+x2ks
... Ss1=xs1,Ss2=xs1+xs2,...,Ssks =xs1+xs2+...+xkss
Xétks bộs−số(S11,S21, ..., S1s), (S12,S22, ...,Ss2), ...,(S1ks,S2ks, ..., Skss). GọiRSvu ≡Svu(mod k), 1≤u≤ks, 1≤v≤s. Suy ra0≤RSuv ≤k−1. Với mỗi u = 1,2, ...,ks, đặt tương ứng bộ (S1u, Su2, ..., Ssu) với bộ (RSu1,
RS2u, ..., RSsu). Do RSuv, 1 ≤ v≤ s, chỉ có thể nhận giá trị từ 0 đến k−1 nên cóks bộ (RS1u,RS2u, ...,RSus) khác nhau.
Nếu tồn tại một chỉ sốu,1≤u≤kssao cho(RSu1,RS2u, ...,RSsu) = (0,0, ...,0) thì các tổng:
Su1=x11+x12+...+x1u Su2=x21+x22+...+x2u ...
Sus =xs1+xs2+...+xsu
chia hết chok, tức là tồn tại cặp (i, j) = (0,u) thỏa yêu cầu bài toán.
Ngược lại, nếu không tồn tại số u nào sao cho (RS1u, RS2u, ..., RSsu) = (0,0, ...,0) thì số lượng bộ (RS1u, RSu2, ..., RSsu) là ks−1. Do số lượng bộ s−
số (Su1, S2u, ..., Sus) là ks > ks−1 nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 sối, j (1≤i< j≤ks) sao cho( S1i, S2i, ..., Ssi) và( S1j, S2j, ..., Ssj) tương ứng với bộ số dư, tức là (RSi1,RSi2, ..., RSsi) = ( RS1j, RS2j, ..., RSsj). Khi đó các kí hiệu: S1j−S1i = (x11+x21+...+x1j) −(x11+x12+...+x1i) =x1i+1+x1i+1+...+x1j S2j−S2i = (x21+x22+...+x2j) −(x21+x22+...+x2i) =x2i+1+x2i+1+...+x2j ...
Ssj−Ssi = (xs1+x2s+...+xsj) −(xs1+xs2+...+xsi) =xsi+1+xsi+1+...+xsj
Bài 6
Cho k là một số nguyên dương. Dãy x1,x2, ...,xn, ... thỏa mãn các đẳng thứcx0 =0, x1=1và xn+1=kxn+xn−1 với mọi n≥1. Chứng minh rằng giữa các sốx1,x2, ...,x2019 tồn tại hai số mà tích của chúng chia hết cho 20.19.
Lời giải:
Với m là số nguyên dương, đặt xn=mqn+rn, n=1,2, ..., trong đó qn và rn là các số nguyên và 0≤rn≤m−1.
Xétm2+1cặp số sau (r1,r2), (r2,r3), ...,(rm2+1,rm2+2)
Vì mỗi ri i=1, m2+1chỉ nhận một trongmgiá trị từ 0 đến m−1nên số các cặp khác nhau nhiều nhất làm2.
Theo nguyên lý Dirichlet thì trongm2+1cặp số trên có ít nhất hai cặp số trùng nhau, tức là tồn tạii, jvới1≤i< j≤m2+1sao cho(ri,ri+1) = (rj,rj+1). Điều đó có nghĩa làri=rj và ri+1=rj+1.
Chúng ta sẽ chứng minhri−1=rj−1.
Theo cách xác định dãy, ta có xj−1=xj+1−kxj, xi−1=xi+1−kxi
Suy raxj−1−xi−1= (xj+1−xi+1)−k(xj−xi) (1) Doxn=mqn+rn nên từ (1) ta có
xj−1−xi−1= [m(qj+1−qi+1) + (rj+1−ri+1)]−k[m(qj−qi) + (rj−ri)] =m(qj+1−qi+1)−km(qj−qi)
=m[(qj+1−qi+1)−k(qj−qi)] (2) Từ (2) suy raxj−1−xi−1 chia hết chom.
Mà xj−1−xi−1 =m(qj−1−qi−1) + (rj−1−ri−1), trong đó rj−1−ri−1 chia hết chom.
Vì0≤ri−1≤m−1,0≤rj−1≤m−1nên−(m−1)≤rj−1−ri−1≤m−1. Suy rarj−1−ri−1= 0 hayrj−1=ri−1
Tương tự, ta córi−2=rj−2, ..., r1=rj−i+1, r0=rj−i =0 (3) (3) chứng tỏ rằngxj−i chia hết cho m với 1≤ j−i≤m2. Như vậy giữa các số x1,x2, ...,xm2 luôn tồn tại một sốxk chia hết cho m.
Chom=20, theo chứng minh trên tồn tại một sốxk1 (1≤k1≤202=400) chia hết cho 20.
Tương tự, cho m=19, tìm được một số xk2 (1≤k2≤192=361) chia hết cho 19.
Nếu k1 =k2= k thì xk chia hết cho cả 20 và 19. Do (20, 19) = 1 nên xk chia hết cho 20. 19 hay hai sốx1,xk có tích chia hết cho 20.19
Nếuk16=k2 thì hai số xk1,xk2 có tích chia hết cho 20. 19
Vậy giữa các số x1, x2,..., x2019 tồn tại hai số mà tích của chúng chia hết cho 20.19
KẾT LUẬN
Luận văn: "Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào Toán sơ cấp" đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể đã thực hiện các vấn đề sau:
1) Tìm hiểu và trình bày các dạng của nguyên lý Dirichlet.
2) Giới thiệu một số ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong Toán sơ cấp. Hy vọng nội dung của luận văn còn tiếp tục được mở rộng và hoàn thiện hơn, nhằm có thể là một tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến nguyên lý Dirichlet.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Hữu Anh (1998), Toán rời rạc, Trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.
[2] Vũ Hữu Bình (2005),Các bài toán Hình học tổ hợp,NXB Giáo dục. [3] Lê Hải Châu, Lê Hải Khôi (1997), 199 bài toán chọn lọc về Toán học tổ
hợp, NXB Giáo dục.
[4] Trần Quốc Chiến (2010), Giáo trình Lý thuyết tổ hợp,Đại học Đà Nẵng. [5] Nguyễn Hữu Điển (1999), Phương Pháp Dirichlet và ứng dụng, NXB
Khoa học và kĩ thuật Hà Nội.
[6] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục.
[7] Vũ Đình Hòa (2005), Một số kiến thức cơ sở về hình học tổ hợp, NXB Giáo dục.
[8] Nguyễn Hữu Hoan (2010), Lý thuyết số,NXB Đại học Sư phạm. [9] Phan Huy Khải (2007), Các bài toán tổ hợp, NXB Giáo dục.
[10] Phan Huy Khải (2009),Các bài toán cơ bản của số học, NXB Giáo dục. [11] Phan Huy Khải (2009),Số học và dãy số, NXB Giáo dục.
[12] Nguyễn Sinh Nguyên (2002),Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại
[13] Phạm Minh Phương (2010),Các chuyên đề số học, NXB Giáo dục. [14] Sở GD- ĐT Hà Bắc (1992-1993),Toán chọn lọc cấp 2.
[15] Nguyễn Vũ Thanh (2006),Số học,NXB Giáo dục.
[16] Trương Công Thành - Nguyễn Hữu Thảo (1995),Các chuyên đề môn Toán
Tập 2,NXB Giáo dục.
[17] Nguyễn Văn Vĩnh (2005),23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp, NXB Giáo dục.