Trong một mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Các cặp điểm nối với nhau bởi các đoạn màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu.
Lời giải:
Chọn điểmPbất kì từ 6 điểm trên. TừP có 5 đoạn nối đến 5 điểm còn lại. Như vậy, theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất 3 đoạn cùng màu; ta gọi 3 đoạn đó là PP1,PP2, PP3. Không mất tính tổng quát giả sử 3 đoạn đó có màu xanh.
Nếu các cạnh P1P2,P2P3, P1P3màu đỏ thì∆P1P2P3cùng màu đỏ.
Nếu một trong các cạnh P1P2, P2P3, P1P3 màu xanh, giả sử đó là PiPj thì
∆PPiPj cùng màu xanh.
Vậy, yêu cầu bài toán được chứng minh.
Bài 2 [4]
Cho bàn cờ kích thước3×7với các ô được tô màu trắng hoặc đen. Chứng minh rằng bàn cờ chứa hình chữ nhật không tầm thường (tức không có cạnh
bằng 1) sao cho các ô ở bốn góc cùng màu.
Lời giải:
Mỗi cột của bàn cờ có 3 ô, mỗi ô được tô bằng một trong hai màu nên theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai ô được tô cùng màu. Gọi hai ô cùng màu trên cùng một cột là một cặp đồng màu.
Mỗi cột có một cặp đồng màu, nên 7 cột có 7 cặp đồng màu (trắng hoặc đen). Theo nguyên lý Dirichlet mở rộng, có ít nhất 4 cột đồng màu trắng hoặc 4 cột đồng màu đen. Không mất tính tổng quát, giả sử có 4 cột có cặp đồng màu trắng.
Mỗi cột chỉ có C32 = 3 cách chọn một cặp đồng màu. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 cột có các cặp đồng màu thì có ít nhất hai cột đồng màu trắng ở vị trí giống nhau. Hai cặp này sẽ tạo thành 4 ô ở đỉnh của một hình chữ nhật và chúng được tô cùng màu trắng.
Vậy, yêu cầu bài toán đã được chứng minh.
Bài 3 [5]
Cho một hình đa giác đều 9 cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bằng một trong hai màu trắng và đen. Chứng minh rằng, tồn tại hai tam giác phân biệt có diện tích bằng nhau, mà đỉnh của mỗi tam giác được tô cùng màu.
Gọi Ω = {A1; A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9} là tập hợp các đỉnh của đa giác đều đã cho vàOlà tâm của đa giác đều đó. Ta có hình vẽ sau:
Chín đỉnh A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 của đa giác được tô bằng hai màu trắng hoặc đen. Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất 5 đỉnh trong số 9 đỉnh được tô cùng một màu (giả sử là màu trắng), 5 đỉnh này tạo raC53= 10 tam giác màu trắng (tam giác màu trắng là tam giác có 3 đỉnh màu trắng).
Xét các phép quay xung quanhO với các góc:
00, 400, 800, 1200, 1600, 2000, 2400, 2800, 3200
. Rõ ràng, ứng với mỗi phép quay này thì tậpΩbiến thành chínhΩ( tập hợp các đỉnh không thay đổi qua phép quay, chỉ là đỉnh này biến đổi thành đỉnh kia).
Với 9 phép quay thì 10 tam giác trắng biến thành 90 tam giác trắng, mà các tam giác này đều có đỉnh thuộc tập hợpΩ.
Ta lại có số tam giác khác nhau có đỉnh trong tập Ωlà: C93 =84
cho với các phép quay tương ứng trùng với cùng một tam giác. Vì phép quay bảo toàn hình dáng và độ lớn (bảo toàn diện tích) nên suy ra, tồn tại hai tam giác phân biệt có diện tích bằng nhau, mà đỉnh của mỗi tam giác được tô cùng màu. Vậy yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.
Bài 4 [2]
Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Lời giải:
Xét hình thoi ABCDđược tạo bởi hai tam giác đều cạnh bằng 1 là ABDvà BCD.
Bốn điểmA, B, C, D được tô bởi 3 màu. Vậy theo nguyên lý Dirichlet cơ bản, có ít nhất hai điểm cùng màu. Có hai trường hợp xảy ra:
1. Nếu một trong 5 đoạn thẳngAB,BC,CD, DA,BD có hai đầu cùng màu thì bài toán được chứng minh.
2. Nếu cả 5 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BDđều có hai đầu khác màu. Nếu không có cạnh nào của hai tam giác đều ABD và BCD mà hai đầu cùng màu, thìC phải cùng màu với A. Khi đó tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm A bán kính AC = √3 được tô cùng một màu. Rõ ràng trên đường tròn đó
luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng bằng 1. Vây, yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.
Bài 5 [2]
Cho 6 điểm trong đó ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có độ dài ba cạnh khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng nối hai điểm vừa là cạnh nhỏ nhất của một tam giác, vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác.
Lời giải:
Xét từng đoạn thẳng, ta tô đỏ nếu nó là cạnh nhỏ nhất của một trong các tam giác, ta tô xanh nếu nó không phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác nào.
Như vậy mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh tô đỏ. Trước hết ta chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba cạnh đều tô đỏ.
Thật vậy, gọi A là một trong sáu điểm đã cho.A nối với năm điểm còn lại bởi hai màu xanh, đỏ nên tồn tại ba cạnh cùng màu, giả sử đó là AB,AC,AD. Nếu AB,AC,AD tô đỏ (nét liền), theo nguyên lý Dirichlet, tam giác BCD phải có một cạnh tô đỏ, chẳng hạnBC, thế thì tam giác ABC có ba cạnh tô đỏ. NếuAB,AC,ADtô xanh (nét đứt), do mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh tô
đỏ nên BC,CD,BD tô đỏ và tam giác BCD có ba cạnh tô đỏ. Vậy, luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh đều tô đỏ.
Bây giờ ta xét một tam giác mà ba cạnh đều đỏ. Cạnh lớn nhất của tam giác này là cạnh phải tìm: nó là cạnh lớn nhất của tam giác nói trên, đồng thời là cạnh nhỏ nhất của một tam giác khác (vì nó được tô màu đỏ).
Bài 6 [16]
Cho đa giác đều với số cạnh là 25. Người ta tô màu xanh hoặc đỏ cho mỗi đỉnh một cách tùy thích. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác cân mà các đỉnh của nó là các đỉnh của đa giác đã cho được tô cùng một màu.
Đa giác đều có 25 cạnh nên có 25 đỉnh. Các đỉnh của đa giác được tô bởi hai màu xanh hoặc đỏ. Theo nguyên lý Dirichlet tổng quát, có ít nhất 13 đỉnh được tô cùng một màu, giả sử đó là màu xanh. Khi đó, số đỉnh được tô màu đỏ nhiều nhất là 12, ít hơn số đỉnh được tô màu xanh nên có ít nhất hai đỉnh kề nhauA vàB được tô bởi màu xanh.
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh là một số lẻ nên tồn tại một đỉnh nằm trên đường trung trực củaAB, giả sử đó là đỉnhE.
Nếu E được tô xanh thì tam giác EAB là tam giác cân có 3 đỉnh được tô cùng màu xanh.
Nếu E được tô màu đỏ, gọiC và D là hai đỉnh khác của đa giác kề với A vàB. Nếu tất cảC vàDđược tô màu đỏ thì tam giác ECD là tam giác cân có 3 đỉnh được tô cùng màu đỏ. Ngược lại, nếu một trong hai đỉnhC và D được tô màu xanh thì tam giácCAB hoặc tam giác DABlà tam giác cân có 3 đỉnh được tô cùng màu xanh.
Bài 7 [5]
Cho hình chóp có đỉnh S và đáy là một đa giác chín cạnh. Tất cả 9 cạnh bên và 27 đường chéo của đa giác đáy được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ . Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của hình chóp sao cho chúng là những đỉnh của một hình tam giác với các cạnh được tô cùng màu.
Lời giải:
Xét 9 cạnh bên của hình chóp, vì 9 cạnh này chỉ được tô bằng hai màu xanh hoặc đỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tổng quát, tồn tại 5 cạnh bên được tô cùng một màu. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử đó là các cạnh bên SA, SB, SC, SD, SE được tô cùng màu đỏ, và các điểm A,B,C, D, E xếp theo chiều kim đồng hồ.
Xét đa giácABCDE
Có hai trường hợp xảy ra:
1. NếuAB là đường chéo của đa giác đáy. Khi đó dĩ nhiênBD, DA cũng là các đường chéo của đáy.
a) Nếu cả ba cạnh AB, BD, DA cùng tô màu xanh. Khi đó A, B, D là ba đỉnh cần tìm, vìABD là tam giác có ba cạnh xanh.
b) Nếu một trong các cạnhAB, BD,DA là đỏ. Giả sử BDđỏ , thì tam giác SBDlà tam giác với ba cạnh đỏ . Lúc nàyS, B, Dlà ba đỉnh cần tìm.
2. NếuAB là cạnh của đa giác đáy. Khi đó dĩ nhiênAC,CE là đường chéo đáy Ta lại có các trường hợp:
i) NếuAE là đường chéo đáy thì ta quay lại trường hợp 1 vừa xét, với ACE là tam giác với ba cạnh là 3 đường chéo đáy.
ii) Nếu AE là cạnh đáy. Khi đó rõ ràng AC, AD là các đường chéo đáy. - NếuCDlà đường chéo đáy, ta quay lại trường hợp 1.
- NếuCDlà cạnh đáy. Lại xét hai trường hợp sau:
+ NếuBClà đường chéo đáy, thì tam giácBCE có 3 cạnh là ba đường chéo của đa giác đáy, quay lại trường hợp 1.
+ Nếu BC là cạnh đáy. Khi đó xét tam giácBDE và quay về trường hợp 1. Vậy yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.
Bài 8 [2]
Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.
Lời giải:
Lấy năm điểm trên một mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó vì chỉ dùng có hai màu để tô các đỉnh, nên theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ba điểm trong số đó cùng màu. Giả sử đó là ba điểmA,B,C có màu đỏ. Như vậy, ta có tam giácABC với ba đỉnh màu đỏ.
GọiGlà trọng tâm tam giác ABC. Khi đó, chỉ có hai khả năng xảy ra: 1. NếuGcó màu đỏ, thìA,B,C,Gcùng màu đỏ và bài toán đã được chứng
minh.
2. Nếu Gcó màu xanh
Gọi M, N, P tương ứng là các trung điểm của BC, CA, AB. Kéo dài MA, MB, MC sao cho:AA0 = 2AM, BB0 = 2BN,CC0 = 2CP.
Khi đó, các tam giác A0BC,B0AC,C0AB lần lượt nhậnA, B,C là trọng tâm. Mặt khác, hai tam giácABC vàA0B0C0 có cùng trọng tâmG.
Có hai trường hợp sau có thể xảy ra:
i. Nếu A0, B0, C0 cùng xanh. Khi đó, tam giác A0B0C0 và trọng tâm G có cùng màu xanh, thỏa mãn yêu cầu bài toán.
ii. Nếu ít nhất một trong các điểm A0, B0, C0 có màu đỏ. Không mất tính tổng quát, giả sửA0 màu đỏ. Khi đó tam giác A0BCvà trọng tâm Amàu đỏ. Vậy trong mọi khả năng luôn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu. (Điều phải chứng minh)