Trong một hình tròn (C) có diện tích bằng 8, chọn 17 điểm bất kì sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được ít nhất ba điểm trong 17 điểm tạo thành một tam giác có diện dích bé hơn 1.
Lời giải:
Chia hình tròn (C) thành 8 hình quạt bằng nhau , mỗi hình quat có diện tích bằng 1. Theo nguyên lý Dirichlet tổng quát,tồn tại ít nhất một hình quạt A chứa 3 điểm trong số 17 điểm đã cho. Tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm đó nằm trong hình quạt nên có diện tích nhỏ hơn diện tích hình quạt ,tức là bé hơn 1. Vậy, yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.
Bài 2 [5]
Cho tập hợp A các điểm trên một mặt cầu, các điểm này chiếm một phần của mặt cầu với diện tích lớn hơn nửa diện tích mặt cầu. Chứng minh rằng A chứa ít nhất hai đầu của một đường kính.
Lời giải:
của mặt cầu, suy raX0 là điểm trên mặt cầu. GọiA0 là tập hợp các điểmX0 như vậy, khi đó, diện tích của phần mặt cầu chứa các điểm củaA0 bằng diện tích của phần mặt cầu chứa các điểm củaA.
Do diện tích của phần mặt cầu chứa các điểm củaA lớn hơn nửa diện tích của mặt cầu, nên tổng diện tích của phần mặt cầu chứa các điểm của A và của A0 lớn hơn diện tích mặt cầu. Theo nguyên lý Dirichlet về diện tích, tồn tại ít nhất 1 điểm thuộc cả A và A0, giả sử điểm đó là điểm Y. Khi đó Y và Y0 đối xứng quaOvà đều thuộc A. Vậy Achứa ít nhất hai đầu của một đường kính.
Bài 3 [2]
Trong một rừng thông hình vuông cạnh 1000m có tất cả 4500 cây thông, mỗi cây có đường kính 0,5m. Chứng minh khu rừng đó tồn tại 60 mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 200m2 mà không có một cây thông nào bên trong.
Lời giải:
Để ý rằng:1000m=48.20m+47.0,6m+2.5,9m
1000m=95.10m+94.0,52m+2.0,56m
Ta chia một cạnh của hình vuông thành 48 đoạn, mỗi đoạn 20m, khoảng cách giữa hai đoạn là 0,6m. Ở hai đầu là hai đoạn 5,9m. Cạnh còn lại của hình vuông
thành 95 đoạn, mỗi đoạn dài 10m, khoảng cách giữa hai đoạn là 0,52m, ở hai đầu hai đoạn là 0,56m.
Ta có tất cả: 48 . 95 = 4560 mảnh có diện tích 200m2. Vì chỉ có 4500 cây thông, và do mỗi cây có đường kính 0,5m (0,5 < 0.52 < 0,6), do vậy mỗi cây thông bất kỳ không thể chiếm chỗ hai mảnh. Vì thế, theo nguyên lý Dirichlet còn ít nhất 60 mảnh (mỗi mảnh có diện tích 200 m2) mà trong mỗi mảnh ấy không có bất kì cây thông nào.
Bài 4 [5]
Trong một hình vuông với cạnh bằng 1, cho 112 điểm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai trong 112 điểm đã cho có khoảng cách nhỏ hơn 2
15.
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử không có hai điểm nào trong 112 điểm có khoảng cách nhỏ hơn
2
15. Dựng 112 hình tròn có tâm là các điểm đã cho và bán kính R = 1
15 . Các hình tròn này rời nhau và đều nằm trong hình vuông có tâm trùng với tâm hình vuông ban đầu và cạnh bằng1+ 2
15 . Hình vuông này có diện tích S=
1+ 2 15 2 = 289 225.
Tổng diện tích của các hình tròn là: S0 = 112.π. 1 15 2 = 112π 225 > 289 225.
Vì S0 > S nên theo nguyên lý Dirichlet về diện tích, tồn tại 2 trong số 112 hình tròn đã dựng có 1 điểm trong chung. Giả sửa hai hình tròn đó có tâmO1và O2. Khi đó,O1O2 < R+R= 2
15, điều này mâu thuẩn với giả thiết phản chứng. Vậy trong 112 điểm đã cho có ít nhất hai điểm khoảng cách nhỏ hơn 2
15.
Bài 5 [2]
Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2 : 3. Chứng minh rằng trong số 13 đường thẳng đã cho, có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Lời giải:
Gọid là đường thẳng chia hình vuôngABCDthành hai tứ giác có tỉ số diện tích là2 : 3, đường thẳngd không thể cắt hai cạnh kề nhau của hình vuông.
Giả sử d cắt hai cạnh AB và CD tại M và N, khi đó nó cắt đường trung bìnhEF tạiI. Khi đó:
SAMND SBMNC = 1 2.AD.(AM+DN) 1 2.BC.(BM+CN) = EI FI = 2 3.
Như vậy mỗi đường thẳng đã cho chia các đường trung bình của hình vuông theo tỉ số2 : 3.
Có 4 điểm chia các đường trung bình của hình vuông ABCD theo tỉ số
2 : 3.
Có 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua chỉ một trong 4 điểm. Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm.
Vậy, trong số 13 đường thẳng đã cho, có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Bài 6 [5]
Trong hình vuông có diện tích bằng 6, dựng 3 đa giác bất kì, đều có có diện tích bằng 3. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai đa giác mà diện tích phần chung của chúng không nhỏ hơn 1.
Gọi 3 đa giác là: M1,M2,M3. Kí hiệu S(A) là diện tích của hình phẳngA. Khi đó, ta có:
S(M1∪M2∪M3) = S(M1) + S(M2) +S(M3) − (S(M1∩M2) +S(M2∩M3) + S(M1∩M3)) +S(M1∩M2∩M3). (1) Theo giả thiết ta có:
S(M1)=S(M2)=S(M3) (2) Để ý rằng,M1∪M2∪M3 nằm trong hình vuông có diện tích bằng 6 nên từ (1), (2) ta có bất đẳng thức:
6 ≥ 9 − (S(M1∩M2) +S(M2∩M3) +S(M1∩M3)) +S(M1∩M2∩M3),
hay: S(M1∩M2) +S(M2∩M3) +S(M1∩M3)) ≥ S(M1∩M2∩M3) + 3 DoS(M1∩M2∩M3) ≥ 0 nên: S(M1∩M2) +S(M2∩M3) +S(M1∩M3) ≥3.
Theo nguyên lý Dirichlet về diện tích, ta suy ra tồn tại một trong sốS(M1∩
M2), S(M2∩M3), S(M1∩M3)lớn hơn hoặc bằng 1.
Vậy, luôn tồn tại hai đa giác mà diện tích phần chung của chúng không nhỏ hơn 1.
Bài 7 [14]
Trong hình vuôngABCDcó cạnh bằng 1m, chọn 1993 điểm sao cho không
có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh tại các điểm đã chọn sao cho diện tích không lớn hơn 1
1992 m
2.
Lời giải:
Bổ đề:Nếu 3 đỉnh của một tam giác nằm trong một hình chữ nhật (có thể nằm trên các cạnh của hình chữ nhât) thì diện tích của tam giác không lớn hơn một nửa diện diện tích của của hình chữ nhật.
Chứng minh:
Xét các trường hợp sau:
1. Tam giác ABC có 2 đỉnh cùng nằm trên một cạnh của hình chữ nhật MNPQ.
Giả sử 2 đỉnh A,Bnằm trên cạnhMN.
Khi đó, AB ≤ MN. TừC kẻCH⊥MN, dễ dàng nhận thấy CH ≤MQ. Từ đó, suy ra:AB.CH ≤MN.MQ.
Hay: 2.S∆ABC ≤SMNPQ hayS∆ABC ≤ 1
2.SMNPQ
Với các trường hợp này, ta đưa về trường hợp 1 để giải. Qua đỉnh A của tam giác, kẻ đường thẳng song song với cạnh MQ, cắt cạnh BC tại D, cắt MN tạiE, cắt PQtạiF.
Áp dụng kết quả trường hợp (1) ta có: S∆ABD ≤ 1
2.SMEFQ và S∆ACD ≤ 1
2.SEFPN
Suy ra:S∆ABC = S∆ABD + S∆ABD ≤ 1
2.SMEFQ + 1
2.SEFPN = 1
2.SMNPQ. Bổ đề được chứng minh.
Lời giải bài 7:
Chia cạnh AB của hình vuông thành 12 phần bằng nhau, chia cạnh AD thành 83 phần bằng nhau. Khi đó, hình vuông ban đầu được chia thành 996 hình chữ nhật nhỏ, mỗi hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng 1 12. 1 83 = 1 996m 2. Vì 1993 > 2. 996 nên theo nguyên lý Dirichlet tổng quát, có ít nhất 3 điểm cùng nằm trong một hình chữ nhật nhỏ. Do ba điểm này không thẳng hàng nên tạo thành một tam giác. Theo bổ đề trên, tam giác này có diện tích không lớn hơn một nửa diện tích của hình chữ nhật nhỏ, tức là diện tích tam giác không lớn hơn 1 2. 1 996 = 1 1992m 2.
2.2. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong bài toán tô màu.Bài 1 [4]