Chứng minh rằng PB PQ

Tứ giác BPOC nội tiếp đường tròn nên suy ra BPQ BOC= và do BQ song song với PO nên ta lại có PQB QPO OBC= = , do đó suy ra hai tam giác PBQ và OCB đồng dạng với nhau. Mà tam giác OCB cân tại O nên tam giác PBQ cũng cân

tại P. Do đó ta được PB PQ= . O E D Q P T C B A

Ta có OBE OCE OAC= = . Lại có OBA=OAB nên suy ra EAB EBA= . Từ đó ta suy ra đươci tam giác EAB cân tại E nên EA=EB. Để ý rằng OA OB= nên suy ra OE là

đường trùn trực của AB. Do đó ta có OE vuông góc với AB. Chứng minh hoàn toàn tương tự thì ta cũng có OD vuông góc với AB. Do vậy O là trực tâm của tam giác

ADE.

c) Chứng minh rằng PAO QAC= .

Gọi T là giao điểm thứ hai của CP với đường tròn ( )O . Ta có BPC=BOC 2BTC= nên

ta suy ra được PT=PB. Mà ta có PB PQ= nên suy ra PT PQ= . Để ý rằng APQ 90= 0

nên ta có biến đổi góc

0 0 0 1

PAQ PAT 90 ATP 90 ABC 90 AOC OAC

2

= = − = − = − =

Đến đây thì ta suy ra được PAO QAC= .

Bài 5.Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: Nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trung cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp).

a) Xây dựng ví dụ để S 870= . b) Chứng minh rằng S 870 .

Lời giải

a) Để ý rằng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45+ + + + + + + + = . Do đó ta chia 45 người thành 9 nhóm với nhóm thứ i có thì có i người (1 i 9  ). Ta xét ví dụ mỗi người trong nhóm thứ i đều quen tất các mọi người ở các nhóm còn lại, và không quen bất kì ai trong chính nhóm

thứ i. Như vậy mỗi người trong nhóm thứ 1 quen với 44 người khác, nỗi người trong nhóm thứ 2 quen với 43 người khác, …, mỗi người trong nhóm thứ 9 quen với 36 người khác. Nói cách khác thì mỗi người trong nhóm thứ i quen với 45 i− người

khác. Từ đó ta có 1( )

S 1.44 2.43 3.42 ... 9.36 8702 2

= + + + + = .

b) Gọi ai là số người quen đúng i người khác (1 i 44). Nếu một người P quen i người thì anh ta không quen ai trong ai người này, điều này có nghĩa là P quen nhiều

nhất 45 a− i người, do đó ta được i45 a− i nên suy ra ai 45 i− . Ta có 1 2 44 a +a + +... a =45 và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 44 1 2 36 37 44 1 2 36 37 44 37 38 44 1 1

S a 2.a 3.a ... 44.a 36a 36a ... 36a 37a ... 44a

2 2 1 . 36 a a ... a a ... a a 2a ... 8a 2 1 36.45 1.8 2.7 ... 8.1 870 2 = + + + +  + + + + + +   =  + + + + + + + + + +   + + + + =

Đề số 16

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHKHTN HÀ NỘI

Vòng 1 –Năm học 2018 – 2019 Bài 1.

a) Giải phương trình 2 3

x − +x 2 x + =1 2 x 1+ . b) Giải hệ phương trình

22 2 2 2 xy y 1 y x 2y 2xy 4 x  + = +   + + = +  . Bài 2.

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( )x; y thỏa mãn ( )( )2

x y 3x 2y+ + =2x y 1+ − .

b) Với a, b là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a 2b 2 b 3

+ = + . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức M a b a 2b b 2a

= +

+ + .

Bài 3.

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp ( )I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DE và M là trung điểm của đoạn thẳng DF.

a) Chứng minh rằng hai tam giác BKM và DEF đồng dạng với nhau.

b) Gọi L là hình chiếu của vuông góc của C trên đường thẳng DF và N là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MK và NL song song với nhau.

c) GọiJ, X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL và ID. Chứng minh rằng đường thẳng JX vuông góc với đường thẳng EF.

Bài 4.

Trên mặt phẳng cho hai điểm P và Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng trên thỏa mãn các tính chất sau:

i) Không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau.

ii) Mỗi đường thẳng đi qua P hoặc Q, không có đường thẳng nào đi qua cả P

và Q.

Hỏi 10 đường thẳng trên có thể chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền? Hãy giải

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.