đường thẳng cố định và đường tròn ( )I luôn đi qua hai điểm cố định khi C di động trên ( )O thỏa mãn điều kiện đã cho.
+ Gọi N là giao điểm của CB và KH. Vì các góc 0
ECN=EKN=90 nên EN là đường kính của ( )I và I là trung điểm của EN. Gọi P là hình chiếu của I lên EF. Do NF vuông với EF nên IP song song với NF. Ta có IP là đường trung bình tam giác ENF
nên suy ra IP FN 2
= . Tứ giác AFNB có FN song song với Ab và FA song song với
NB nên là hình bình hành, do vậy ta có FN AB= . Từđó suy ta IP 1AB OB 2
= = . Mà
OB cốđịnh nên I luôn di động trên đường thẳng song song với EF và cách EF một khoảng không đổi OB. Giả sửđường thẳng AB cắt đường tròn ( )I tại hai điểm M và Q.
+ Gọi R là bán kính đường tròn tâm O. Khi đó ta có MOD COQ= và MDO CQO=
nên hai tam giác ODM và OQC đồng dạng với nhau, suy ra ta được OD OM
2
OM.OQ OD.OC R= = . Ta cũng có CAM QAE= và ACM AQE= nên hai tam giác
ACM và AQE đồng dạng, suy ra ta được AC AM
AQ= AE hay AC.AE AQ.AM= . Mà ta lại có AC.AE AB= 2 =4R2 nên suy ra AQ.AM 4R= 2. Đến đây ta có biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 AQ.AM 4R AO OQ . AO OM 4R
R OQ . R OM 4R R R.OM R.OQ OQ.OM 4R
R R OQ OM R 4R OQ OM 4R
= + − =
+ − = − + − =
+ − − = − =
Do vậy ta luôn tính được OQ, OM theo R. Mà O cốđịnh và R không đổi nên Q, M cốđịnh. Vậy đường tròn ( )I luôn đi qua 2 điểm cốđịnh M và Q khi C di động trên