thua y1trận, ... , đội thứ 10 thắng x10trận và thua y10 trận. Biết rằng trong môt trận bóng chuyền không có trận hòa. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 10 1 2 3 10
x +x +x + +... x =y +y +y + +... y
Có 10 đội bóng mà mỗi đội thi đấu đúng 9 trận với 9 đội còn lại. Do đó số trận thua của mỗi đội từđội thứ nhất đến đội thứ 10 lần lượt là
1 1 2 2 10 10
y = −9 x ; y = −9 x ;...; y = −9 x . Có tất cả số trận đấu là 10.9 45
2 = trận. Vì không có trận hòa nên tổng số các trận thắng của 10 đội là x1+x2+ +... x10 = + + + + =9 8 ... 2 1 45. Từđó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 10 1 2 10 2 2 2 2 2 2 2 1 2 10 1 2 10 1 2 10 2 2 2 2 2 2 1 2 10 1 2 10 y y ... y 9 x 9 x ... 9 x y y ... y 10.9 18 x x ... x x x .... x x x ... x y y ... y + + + = − + − + + − + + + = − + + + + + + + + + + = + + +
Vậy bài toán được chứng minh.
Câu 4.
1. Cho tam giác ABC nhọn nối tiếp đường tròn ( )O với AB AC . Gọi M là điểm thuộc cạnh BC (M kkhông trùng với B, C). Đường thẳng AM cắt đường tròn
( )O tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD cắt đường thẳng AC tại điểm E khác C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD cắt đường thẳng AB tại điểm F khác B.
a) Chứng minh rằng tứ giác BECF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng ECD∽ FBDvà ba điểm E, M, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện BC2 =2.BC.AC 4AC+ 2. Tính số đo góc ABC.
1. Cho tam giác ABC nhọn nối tiếp đường tròn ( )O với AB AC . Gọi M là