vă xĩt phiếm hăm mục tiắu như sau
P[ααα(ở)] :=
Z τ
0
r(x(t), ααα(t))dt, (1.32) ở đđy τ =τ[ααα(ở)] lă thời điểm đầu tiắn để x(τ) = x1. Đđy lă băi toân điểm cuối cố định.
Bđy giờ ta xĩt băi toân phức tạp hơn: Ta muốnx(ở) phải luôn luôn nằm trong miền đê cho R⊂Rn vă giả thiết rằng R có biểu diễn hiển
R={x∈Rn|g(x)≤0},
với hăm g(ở) :Rn →R lă hăm khả vi cho trước. Đặt c(x, a) :=5g(x)ởf(x, a), ta có định lý sau:
Định lý 1.2.5. (Nguyắn lý cực đại cho câc răng buộc trạng thâi)([40], Định lý 4.6). Cho ααα∗(ở) vă x∗(ở) lă nghiệm của băi toân trắn. Giả sử x∗(t) ∈ ∂R với câc thời điểm s0 ≤t≤s1. Khi đó, tồn tại hăm đồng trạng thâippp∗(ở) : [s0;s1] →Rn sao cho (1.31) đúng vă tồn tại λ∗(ở) : [s0;s1]→R sao cho với mọi s0 ≤t≤s1 ta có
˙ p pp∗(t) =− 5xH(x∗(t), ppp∗(t), ααα∗(t)) +λ∗(t)5xc(x∗(t), ααα∗(t)) (1.33) vă H(x∗(t), ppp∗(t), ααα∗(t)) = max a∈A{H(x∗(t), ppp∗(t), a)|c(x∗(t), a) = 0}. (1.34)
1.3 Một số kiến thức về tối ưu đa mục tiắu
Một số lượng lớn câc băi toân nảy sinh trong nhiều lĩnh vực khâc nhau như trong khoa học kỹ thuật, kinh tế, công nghiệp, v...v dẫn đến băi toân tối ưu đa mục tiắu. Trong nhiều trường hợp, câc mục tiắu năy xâc định trắn câc đơn vị khâc nhau vă chúng thường có độ xung đột nhất định với nhau (tức lă, một
mục tiắu sẽ không thể được cải thiện nếu không giảm ắt nhất một trong số câc mục tiắu khâc). Chúng được gọi lă Băi toân Tối ưu Đa mục tiắu (Multiobjective Optimization Problems (MOP)). Trong phần năy đầu tiắn chúng tôi sẽ giới thiệu một số kiến thức liắn quan đến băi toân tối ưu đa mục tiắu, tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu một phương phâp thường được sử dụng để giải băi toân tối ưu đa mục tiắu, đó lă phương phâp vô hướng hóa WM (Weighting Method).