NĂM HỌC 2017-2018
Người giải đề: Hồng Thanh Tùng Người phản biện:
Câu 1:
1) Chứng minh 6 4 2 2
n − n +n chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương. 2) Cho ba sốphân biệt a b c, , . Đặt:
( )2 ( )2 ( )2
9 , 9 , 9
x= a b c+ + − ab y= a b c+ + − bc z= a b c+ + − ac. Chứng minh rằng trong ba số x y z, , cĩ ít nhất một sốdương.
Câu 2:
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x−y)(2x+ + +y 1) (9 y− =1) 13 2) Giải phương trình: 2
2018 2018
x + x+ =
Câu 3:
1) Cho ba số a b c, , khơng âm thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 ( ) 2
a +b +c ≤ ab bc+ +ca và p q r, , là ba
số thỏa mãn: p+ + =q r 0. Chứng minh rằng: apq+bqr+crp≤0.
2) Cho các sốdương a b, thỏa mãn a b. =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( 2 2) 41 1 M a b a b a b = + + + + + Câu 4:
1) Cho tam giác nhọn ABC cĩ các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại
P. Tia MD cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp.
2) Cho tam giác ABC vuơng cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tựdi chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vịtrí của điểm D, E sao cho:
a) DE cĩ độ dài nhỏ nhất.