CM: H K= BH ∆ IKB cân.
c) Gọi F là giao điểm của Ax và BC
V là trực tâm tam giác AMF (MV⊥Ax; AV⊥BC)
⇒FV ⊥ AM (1) Ta lại cĩ 1
2
AM = BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của ∆ vuơng ABC)
⇒ MAC =MCA
Mà AEV =EAV (Tứgiác AEHD là hình chữnhật)
x y y F V M E D H A C B P
Đồng thời EAV +ACM =900(tam giác ACH vuơng tại H) ⇒ A VE +CAM =900
Do đĩ DE ⊥ AM (2)
Từ(1) và (2) suy ra 4 điểm E, V, D, F thẳng hàng Vậy ba đường thẳng Ax, BC, DE đồng quy tại F.
Câu 8:
a/ Cho BC = 10 cm. Tính độ dài DE. Xét ∆ABC cĩ:
D là trung điểm của AB (gt) E là trung điểm của AC (gt)
Suy ra DE là đường trung bình của ∆ABC Suy ra DE // BC và DE 1 1 ( )
.10 5
2BC 2 cm
= = =
b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân. Xét tứ giác BDEC cĩ:
DE // BC (cmt) B =C
(do ∆ABC cân tại A) Nên tứ giác BDEC là hình thang cân.
c) Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE. Chứng minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật.
• Xét ∆ABK cĩ:
D là trung điểm của AB (gt) (1) DH // BK (do DE // BC)
Nên H là trung điểm AK (H∈AK) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DH là đường trung bình của ∆ABK 1 2 DH BK ⇒ = Mà 1 2
FK = BK (do F là trung điểm BK) Nên DH = FK
• Xét tứ giác DHKFcĩ:
DH // FK (do DE // BC; F∈BC;H∈DE) DH = FK
Do đĩ tứ giác DHKF là hình bình hành Lại cĩ: 0
90
AKB= (do ∆ABC cân tại Acĩ AK là trung tuyến nên cũng là đường cao) Vậy tứ giác DHKF là hình chữ nhật.
d) Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy. - Chứng minh tứ giác DEKB là hình bình hành
- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật DHKF Nên O là trung điểm của DK và HF (*)
- Hình bình hành DEKB cĩ O là trung điểm của đường chéo DK (cmt) Nên O cũng là trung điểm của đường chéo BE (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
Bài 9:
a/ Tam giác ABC cĩ: M là trung điểm của AB (gt) D là trung điểm của AC (gt)
⇒MD là đường trung bình của ∆ABC
⇒MD // AB
Mà AC ⊥AB (vì tam giác ABC vuơng tại A)
⇒MD ⊥AB
b/ Ta cĩ:
MD = AC : 2 (vì MD là đường trung bình của tam giác ABC) MD = ME : 2 (vì E đối xứng với M qua D)
⇒AC = ME
Mà AC // ME (vì AC // MD)
⇒Tứ giác EACM là hình bình hành c/ Xét tứ giác EAMB cĩ:
D là trung điểm của AB D là trung điểm của EM
E D M
A C
B
⇒Tứ giác EAMB là hình bình hành Mà EM ⊥AB (vì MD ⊥AB)
⇒Tứ giác EAMB là hình thoi
d/ Ta lại cĩ: tam giác ABC vuơng tại A cĩ AM là trung tuyến
⇒AM = BC : 2 = 6 : 2 = 3 (cm)
⇒EA = AM = MB = BE = 3cm Vậy chu vi tứ giác EAMB là:
EA + AM + MB + BE = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 (cm)
Bài 10:
a)C/m:NK là đường trung bình của tam giác ABC nên:NK//AB, NK=1/2AB. NK//AB, NK=1/2AB.
Và 0 A=90 (gt)
Nên T/g ABKN hthang vuơng