X 00 (x )+ λ(x) = 0, (0) =(π) = 0.
12. Cho BR (0) là hình tròn tâm bán kính R Chuyển phương trình Laplace sang toạ độ cực(ρ, ϕ) Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet với các điều kiện biên được cho như
độ cực (ρ, ϕ). Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet với các điều kiện biên được cho như sau:
(a) u|ρ=R = 2, (b) u|ρ=R =acosϕ, (c) u|ρ=R = 1 + 2 sinϕ,
(d) u|ρ=R =asin2ϕ+bcos2ϕ, a, b=const.
13. Giải bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật∆u= 0,0< x < L,0< y < H, với các điều kiện biên tương ứng sau
(a) L= 1, H = 2,u(x,0) = u(x,1) = sin5πx2 ,u(0, y) = u(2, y) = 0.
(b) L=a, H =b,u(x,0) =Bsinπxa , u(x, b) = 0,u(0, y) =Asinπyb , u(a, y) = 0. (c) u(0, y) = u(L, y) = 0,u(x,0)−uy(x,0) = 0,u(x, H) =f(x).
55
14. Tìm nghiệm của bài toán Neumman ∆u = 0 trong hình chữ nhật 0 < x < L,
0< y < H, với các điều kiện trên biên tương ứng
(a) L=H =π,ux(0, y) =uy(π, y) =uy(x, π) = 0,uy(x,0) = cosx−2 cos2x+ 1, với điều kiện tương thíchu(0,0) = 0.
(b) ux(0, y) = ux(L, y) = uy(x,0) = 0, uy(x, H) = g(x), với điều kiện tương thích Z L
0
g(x)dx= 0. Hãy giải thích lí do phải có điều kiện tương thích này. 15. (*). Xét bài toán −∆u=λu, trongΩ, u|∂Ω = 0. (5.2.3)
Nếu tồn tại sốλ sao cho bài toán trên có nghiệm không tầm thường u 6= 0, thì ta gọi λ làgiá trị riêng, nghiệmutương ứng được gọi làhàm riêngcủa toán tử Laplace trongΩ. Hãy tìm giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace trong các trường hợp sau.
(a) Ω ={(x, y) : 0< x < a, 0< y < b}, (b) Ω ={(x.y) :x2+y2 <1}.
16. Chứng minh rằng với các hệ sốAn,Bnđược cho trong (??), (??), (??), nghiệm của bài toán Dirichlet trong (??)- (??) được cho theo công thức
u(r, θ) =
∞
X
n=0
rn(Ancosnθ+Bnsinnθ).
(Gợi ý: Chứng minh rằng chuỗi trên là hội tụ và có tổng là một hàm điều hòa liên tục trên mặt tròn kínr≤1. Việc chứng minh điều kiện biên chỉ là điều đơn giản).
17. Khi vế phải của phương trình elliptic không thuần nhất, ta có phương trình Poisson
∆u = f(x, y). Để giải bài toán biên của phương trình loại này, ta tìm cách đặt ẩn phụ. Trước tiên tìm hàmu∗(x, y)thích hợp sao cho∆u∗=f(x, y), sau đó đặtv =u−u∗, thìvlà nghiệm của phương trình Laplace. Điều kiện biên tương ứng khi đó sẽ làv|Γ= (u−u∗)|Γ
đối với bài toán biên Dirichlet, và tương tự với các loại điều kiện khác. Đây cũng tương tự như phương pháp Duhamel mà ta đã làm quen ở các chương trước. Hãy giải các bài toán biên của phương trình Poisson sau (kí hiệuΓlà biên của miềnΩ).
(a) ∆u= 2x, trongΩ, u|Γ=x−x3+ 2xy2, vớiΩlà mặt tròn đơn vị. (b) ∆u= 12(x2−y2), trongΩ, u|Γ=xy, vớiΩlà mặt tròn tâmO bán kính 2.
56 (c) ∆u=xy, trongΩ, u|Γ=x2+ 2xy3,
vớiΩlà miền ngoài của mặt tròn tâmO bán kính 3.
(d) ∆u=xy(x2−y2), trongΩ, u|Γ=x2+ 2xy3,
vớiΩlà miền ngoài của mặt tròn đơn vị.
5.3. Giải một số bài tập
1. Giải bài tập 6a. Giải bài toán Dirichlet
(a) ∆u= 0 trongΩ, (b) u|Γ= 3−4y2−4xy2, (5.3.4)
vớiΩlà mặt trong tâm0bán kính 2,Γlà biên củaΩ. Trong hệ toạ độ cựcr0θ, phương trình (5.3.4)(a) có dạng
1r r ∂ ∂r r∂u ∂r + 1 r2 ∂2u ∂θ2 = 0, còn điều kiện biên (5.3.4)(b) trở thành
u|Γ= 3−4r2sin2θ−4r3cosθsin2θ.
Sử dụng phương pháp tách biến tìm nghiệm của bài toán biên Dirichlet trong trên mặt tròn, ta có công thức nghiệm của bài toán biên có dạng
u(x, t) =
∞
X
n=1
rn(Ancosnθ+Bnsinnθ).
Từ điều kiện biên ta có
u(r, θ) = 3−4r2sin2θ−4r3cosθsin2θ
= 3−16 sin2θ−32 sin2θcosθ
= 3−8(1−cos 2θ)−16 cosθ(1−cos 2θ) =−5 + 8 cos 2θ−16 cosθ+ 16 cosθcos 2θ
=−5 + 8 cos 2θ−16 cosθ+ 8(cosθ+ cos 3θ) = 8 cos 3θ+ 8 cos 2θ−8 cosθ−5.
Sử dụng công thức xác định hệ số của khai triển Fourier của nghiệm bài toán (D) và kết quả 1 2π Z 2π 0 cosnθcosmθdθ = 0 m6=n, 1 m=n,
57 ta có
A0 =−5, A1 =−8, A2 = 8, A3 = 8, An = 0, ∀n >3. Vậy nghiệm cần tìm của bài toán là
u(r, θ) = 8r3cos 3θ+ 8r2cos 2θ−8rcosθ−5
= 8r3(4 cos3θ−3 cosθ) + 8r2(2 cos2θ−1)−8rcosθ−5 = 32r3cos3θ+ 16r2cos2θ−24r3cosθ−8rcosθ−8r2−5. Thay(r, θ)bởi(x, y)ta được nghiệm của phương trình
u(x, y) = 8x3+ 8x2−8y2−8x(3x2+ 3y2+ 1)−5.
2. Giải bài tập 17a. Đặtv =u−x3/3. Khi đó bài toán (D) vớiusẽ trở thành (a) ∆v = 0 trongΩ, (b) v|Γ =x− 43x3+ 2xy2. (5.3.5)
3. Giải bài tập 6b. Đưa bài toán đang xét về hệ toạ độ cực rồi chuyển về bài toán
Dirichlet trong bằng cách đặtu(r, θ) = r0v(r0, θ),vớirr0= 4. Khi đó bài toán (D) vớiusẽ trở thành (a) ∆v = 0 trongΩ, (b) v|Γ= 1 + 12(y3−x2y+x2−y). (5.3.6)
4. Giải bài tập 6c. Sử dụng phương pháp Fourier để tìm nghiệm của phương trình
Laplace dưới dạng u(r, θ) =R(r)Φ(θ) =C1+C2lnr+ ∞ X n=1 (anrn+bnr−n) cosnθ+ (cnrn+dnr−n) sinnθ.
Thay các điều kiện biên tương ứng ta được
C1 = 0, C2 = 1,
a1 = 1, an = 0, n= 2,3, . . . , bn = 0, n= 1,2, . . . , d1 =−1, dn = 0, n= 2,3, . . . , cn = 0, n= 1,2, . . . . Vậy ta được nghiệm của bài toán là
u(r, θ) = lnr+rcosθ− 1