X 00 (x )+ λ(x) = 0, (0) =(π) = 0.
i. hệ toạ độ cực x= r cos ϕ, y= r sin ϕ, (trường hợp trên mặt phẳng),
ii. hệ toạ độ trụx=rcosϕ,y=rsinϕ,z =z, (trường hợp trong không gian), iii. hệ toạ độ cầu x = rcosϕsinθ, y = rsinϕsinθ,z = rcosθ, (trường hợp trong không gian),
2. Chứng minh rằng nghiệm phương trình
∆u+aux+buy+cu= 0, c <0, (5.2.1) không đạt cực đại dương hoặc cực tiểu âm tại một điểm trong của miền. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền giới nộiΩvới biên∂Ω
∆u+aux+buy+cu= 0, c <0, u|∂Ω =f(x, y). (5.2.2)
3. Tìm phép thế hàm v(x, y) = φ(x, y)u(x, y), đưa phương trình (5.2.1) về phương trình∆v+λv= 0.
53
(a) H(Ω) là một không gian vectơ, mọi tổ hợp tuyến tính của hàm điều hoà cũng là hàm điều hoà.
(b) H(Ω)ổn định với phép lấy đạo hàm: đạo hàm riêngux vàuycủa hàm điều hoàu cũng là các hàm điều hoà.
(c) Nếu u, v ∈H(Ω)thìuv ∈H(Ω) ⇐⇒ gradu·gradv = 0.
5. Giả sử u(x, y) là hàm điều hoà. Chứng minh rằng các hàm sau cũng là hàm điều hoà.
(a) u(x+h), h= (h1, h2)là một vectơ bất kỳ. (b) u(λx),λ ∈Rbất kỳ.
(c) u(Cx),C ∈R2×2 là một ma trận trực giao bất kỳ. 6. Giải các bài toán Dirichlet trên các hình tương ứng.
(a) ∆u= 0, trongΩ, u|Γ= 3−4y2−4xy2,
vớiΩlà mặt tròn tâmO bán kính 2,Γlà biên củaΩ.
(b) ∆u= 0, trongΩ, u|Γ= 2−y+y3−x2y+x2,
với Ω là phần ngoài của mặt tròn tâm O bán kính 2,Γlà biên củaΩ. (c) ∆u= 0, trongΩ, u|r=1=x−y, u|r=2= ln 2− 14y+x, vớiΩlà hình vành khăn1< r <2.
7. Tìm nghiệm của các bài toán biên của phương trình Laplace ∆u = 0trong miềnΩ
là hình trònΩ =B(0, a)trong hệ tọa độ cực. Để thuận tiện, ta vẫn giữ kí hiệu Laplacian của hàmunhư trong hệ tọa độ Đề các.
(a) a= 2,u(a, θ) = cos3θ+ sin 2θ. (b) a= 3,u(a, θ) =θ2+ 2θ.
(c) a= 2,(u+12ur)(a, θ) = cos2θsinθ+ 2 sin3θ.
8. Tìm nghiệm của bài toán biên của phương trình Laplace ∆u = 0trong miềnΩ là vành khăna < r < b, với điều kiện biên tương ứng sau
(a) a= 1, b = 2,u(a, θ) = sinθ,u(b, θ) = cos 2θsinθ. (b) a= 1, b = 3,u(a, θ) = cos2θ,(u+ur)(b, θ) = sinθ.
54 (c) a= 1, b= 2,(u+ur)(a, θ) = cos 2θsinθ,u(b, θ) = cosθ
9. Tìm nghiệm của bài toán biên của phương trình Laplace trong miền hình quạt
{0< r < a,0< θ < α}với các điều kiện tương ứng sau (a) a= 1,α=π/2,u(a, θ) = cos2θ,u(r,0) = u(r, α) = 0.
(b) a= 2,α=π/4,u(a, θ) = sin3θ+ 3 cosθ,u(r,0) =u(r, α) = 0. (c) a= 1,α=π/3,u(a, θ) = 2θ,u(r,0) =u(r, α) = 0.
(d) a= 2,α=π/3,u(a, θ) = θ2,u(r,0) =uθ(r, α) = 0.
10. Tìm nghiệm của bài toán biên ngoài với Ωlà miền ngoài của hình tròn tâmO bán kínha, với điều kiện trên biên tương ứng
(a) a= 2,u(a, θ) = ln 2 + 4 cos 3θ. (b) a= 1,u(a, θ) = θ+ sin2θ+ 2 cos 3θ.
11. (*) Dùng công thức Poisson tính trực tiếp nghiệm của bài toán Dirichlet ∆u= 0, trongΩ, u|∂Ω= cosθ, với mặt tròn Ωbán kínhR.