X 00 (x )+ λ(x) = 0, (0) =(π) = 0.
Bài toán biên của phương trình Laplace 5.1 Tóm tắt lí thuyết
5.1. Tóm tắt lí thuyết
Trong chương này, chúng ta tập trung giải quyết các bài toán biên của phương trình Laplace ∆u= 0trong trường hợp 2 chiềuu=u(x, y). Ở đây miền xác định của bài toán sẽ có hình dáng đặc biệt, gồm hình chữ nhật, hình tròn, hình khuyên, hình quạt, với các điều kiện biên dạng Diriclet, Neumann, Robin và hỗn hợp. Chúng ta cũng quan tâm một chút đến hàm điều hòa (định nghĩa, tính chất) và nguyên lí cực đại (phát biểu và ứng dụng vào chứng mình tính duy nhất nghiệm). Việc tìm nghiệm của các bài toán được thực hiện bằng phương pháp tách biến trong hệ tọa độ tương ứng. Một số lưu ý
- Toán tử Laplace bất biến đối với phép dịch chuyển và phép quay.
- Phép đổi biến từ hệ tọa độ Đề các sang hệ tọa độ cực(x, y)→(r, θ)chuyển phương trình Laplace về dạng
r2vrrrvr+vθθ = 0.
- Trường hợp phương trình Laplce có vế phải không thuần nhất, ta có phương trình Poisson
∆u=f(x, y).
Khi đó ta chuyển phương trình Poisson về phương trình Laplace bằng cách tìm một hàm u∗(x, y) sao cho ∆u∗ = f(x, y), và đặtv = u−u∗. Rõ ràngv thỏa mãn∆v = 0. Khi áp vào các bài toán biên tương ứng, ta cần chú ý điều kiên biên theo v sẽ là u−u∗ lấy giá trị trên biên.
Việc tìm nghiệm của bài toán được thực hiện bằng phương pháp tách biến. Tương ứng với các hệ tọa độ Đề các hay tọa độ cực, nghiệm tổng quát sẽ được viết dưới dạng
v(r, θ) =C0+C1lnr+
∞
X
k=1
rk(akcos(kθ) +bksin(kθ)) +r−k(ckcos(kθ) +dksin(kθ)),
hoặc u(x, y) = ∞ X k=1 (akcosh(ωky) +bksin(ωky))ϕ(ωkx), 51
52 trong đóωk vàϕđược xác định từ bài toán Sturm-Liouville tương ứng với điều kiện biên. Bên cạnh phương pháp tách biến, người ta còn xây dựng nghiệm của bài toán biên của phương trình Laplace bằng hàm Green, với miền xác định đặc biệt (hình tròn, hình dải (strip) hoặc nửa mặt phẳng). Đối với miềnΩlà mặt tròn tâmO bán kínhR, ta có công thức Poisson cho bài toán biên Dirichlet trong của phương trình Laplace
u(r, θ) = 1 2π Z 2π 0 R2−r2 R2+r2−2Rrcos(ψ−θ)g(θ)dθ,
vớig(θ)là giá trị của ẩn hàm cho trên biên. Đối với bài toán biên Dirichlet ngoài, nghiệm tìm được theo công thức Poisson sẽ là
u(r, θ) = 1 2π Z 2π 0 r2−R2 R2+r2−2Rrcos(ψ−θ)g(θ)dθ. 5.2. Bài tập thực hành 1. Hãy
(a) Thử trực tiếp rằng hàm u(x, y) = −lnr, r 6= 0 là nghiệm phương trình Laplace
∆u= 0.
(b) Tìm biểu thức của toán tử Laplace trong