6. Ý nghĩa khoa học của đề tài
2.3.2.1.Hàm cơ sở B-Spline
Cho trước một vector nút T = (t0, ti, ...,tz) với ti ∈ R, ti ≤ ti+1, khi đó tồn tại một họ các hàm trộn sao cho chúng có thể phát sinh ra mọi đường cong Spline được định nghĩa trên vector nút đó. Một họ các hàm như vậy được gọi là cơ sở cho Spline, nghĩa là bất kì đường cong Spline nào cũng có thể được đưa về cùng một công thức bằng cách chọn đa giác kiểm soát phù hợp.
Với mỗi vector có nhiều họ hàm như vậy, nhưng đặc biệt có một họ hàm trộn có đoạn mang giá trị khác 0 nhỏ nhất đó là B-Spline (B là từ viết tắt của basic). Đối với các hàm B-Spline, mỗi đa thức riêng phần tạo ra nó có một bậc m nào đó. Do đó, thay vì dùng ký hiệu Ri(t) như trong công thức (2.17) cho các hàm riêng phần này ta sẽ ký hiệu các hàm trộn này là Nk,m(t). Khi đó, một đường cong B-Spline bậc m-1 được xây dựng dựa trên vector nút T và (n + l) điểm kiểm soát Pi có dạng :
𝐶 𝑡 = 𝑃𝑖
𝑛 𝑖=0
𝑁𝑖,𝑚 𝑡 (2.20)
Trong đó:
Ni,m(t) gọi là hàm Cox-de Boor hay hàm cơ sở B-Spline có cấp m (order m) và bậc (m-1) (degree m-1) là phương pháp chuẩn để định nghĩa hàm cơ sở B-Spline. Ni,m(t) được cho bởi công thức đệ quy:
𝑁𝑖,1 𝑡 = 1 𝑛ế𝑢 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 < 𝑡𝑖+1 0 𝑣ớ𝑖 𝑡 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑁𝑖,𝑚 𝑡 = 𝑡− 𝑡𝑖 𝑡𝑖+𝑚 −1 −𝑡𝑖𝑁𝑖,𝑚 −1 𝑡 + 𝑡𝑖+𝑚 − 𝑡 𝑡𝑖+𝑚 − 𝑡𝑖+1𝑁𝑖+1,𝑚−1 𝑡 (2.21) i = 0, 1, …,n.
Ta sẽ khảo sát hàm này để hiểu rõ tính chất hình học của chúng. Đặt ∇ là khoảng cách giữa hai điểm nút.
∇𝑖= 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 (2.22)
Khi đó khoảng cách từ nút thứ i đến nút thứ i+k là Với m = 2, ta có: 𝑁𝑖,2 𝑡 = 𝑡 − 𝑡𝑖 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖𝑁𝑖,1 𝑡 + 𝑡𝑖+2 − 𝑡 𝑡𝑖+2 − 𝑡𝑖+1𝑁𝑖+1,1 𝑡 = = 𝑡−𝑡𝑖 ∇𝑖 , 𝑣ớ𝑖 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 < 𝑡𝑖+1 𝑡𝑖+2−𝑡 ∇𝑖+1 , 𝑣ớ𝑖 𝑡𝑖+1 ≤ 𝑡 < 𝑡𝑖+2 0, 𝑣ớ𝑖 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝑡 𝑘ℎá𝑐 (2.23)
Hình 2.5: Đường cong B-Spline
Việc xác định các vector nút sẽ phụ thuộc vào sự phân loại của chính bản thân chúng và điều đó sẽ ảnh hưởng đến hình dạng của đường cong được mô tả. Có các loại đường cong như sau [2]:
Đều tuần hoàn (uniform)
Không tuần hoàn (open or unperodic)
Không đều (non-uniform)