Sau đây là một loạt các định lý quan trọng cho hàm số liên tục. Kết quả này tới ngay từ kết quả tương ứng về giới hạn ở Định lý 2.1.11.
Hình 2.2.2: Ví dụ 2.2.2.
Định lý 2.2.3. Nếu f và g liên tục tại a thì các hàm số sau cũng liên tục tại a: f+g,
f−g, f g, và fg nếu g(a)6= 0.
Định lý 2.2.4. Nếug liên tục tạiavàf liên tục tạig(a) thì hàm hợpf◦gliên tục tại a. Chứng minh. Cho >0. Vì f liên tục tạig(a) nên cóδ >0 sao cho khi|g(x)−g(a)|< δ
thì |f(g(x))−f(g(a))|< . Vì g liên tục tại anên có δ0 >0 sao cho khi |x−a|< δ0 thì |g(x)−g(a)|< δ. Như vậy khi |x−a|< δ0 thì |f(g(x))−f(g(a))|< . Theo định nghĩa thì điều này nói rằngf◦g liên tục tại a.
Xem lại phần giới hạn của hàm số sau Định lý 2.1.11 giờ ta nhận thấy rằng các hàm đa thức và phân thức đều liên tục.
Một trong những kết quả quan trọng nhất và thường dùng nhất về hàm liên tục trong môn học này là khẳng định rằngcác hàm sơ cấp đều liên tục.
Định lý 2.2.5. Các hàm số sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của chúng.
Nhắc lại phần thảo luận ở Mục 1.2.1, ngoài một số trường hợp riêng như với hàm đa thức hay phân thức, chúng ta chưa nghiên cứu đủ về các hàm sơ cấp để có thể chứng minh kết quả này, và do đó sẽ chỉ chấp nhận nó. Có thể đọc thêm ở [TPTT02, tr. 64].
Ví dụ 2.2.6. Các hàm số h(x) = cos(x2) vàk(x) = √ 1
x2+5−3 liên tục trên tập hợp các số thực.
Tính liên tục của các hàm sơ cấp thường được dùng để tính giới hạn các hàm sơ cấp tại một điểm nằm trong miền xác định bằng cách thế trực tiếplimx→af(x) =f(a). Ví dụ 2.2.7. Tìm
lim
x→π
x2 + xsinx
2018 + cosx.
Vì hàm số trên là một hàm sơ cấp nên lim x→π x2 + xsinx 2018 + cosx = π2 + πsinπ 2018 + cosπ = π2 2017.
Ví dụ 2.2.8. Hàm sốf(x) = 1−√1−x2 liên tục trên miền xác định là đoạn[−1,1]. Đồ thị củaf được vẽ trong Hình 2.2.3.
Hình 2.2.3 Dưới đây là một một giới hạn đặc biệt, đáng lưu ý: Mệnh đề 2.2.9. Ta có
lim
x→0
sinx
x = 1. (2.2.1)
Chứng minh. Trong các tính chất của hàm lượng giác mà ta thừa nhận ở Mục 1.2.1, ta có với0< x < π/2 thìsinx < x <tanx. Suy ra
cosx < sinx x <1.
Vìcoslà hàm liên tục nên khi cho x→0, dùng Tính chất kẹp, ta được lim x→0+ sinx x = 1. Vớix <0, ta có lim x→0− sinx x = limx→0+ sin(−x) −x = limx→0+ sinx x = 1.
Vậy ta được công thức
lim
x→0
sinx x = 1.
Ta có thể đưa ra một đặc trưng của sự liên tục thông qua dãy như sau.
Mệnh đề 2.2.10. Hàm số f là liên tục tạia khi và chỉ khi với mọi dãy {xn}n≥1 hội tụ vềa thì dãy {f(xn)}n≥1 hội tụ về f(a), nói cách khác với mọi dãy {xn}n≥1 thì
lim
n→∞xn=a =⇒ lim
n→∞f(xn) =f(a).