7 Phương trình vi phân
7.2.1 Phương trình vi phân cấp một tách biến
Mộtphương trình vi phân cấp một tách biến, còn được gọi là phương trình vi phân cấp một biệt số phân li, là một phương trình vi phân cấp một mà trong đó biểu thức cho
dy/dxcó thể được phân tích thành một hàm củax nhân với một hàm củay. Cụ thể hơn, đó là phương trình có dạng
dy
dx =g(x)f(y).
Đối với phương trình như vậy ta có thể đưa hết hàm củaxvề một vế và hàm củay về vế còn lại, tức là tách biến.
Ví dụ 7.2.1. Giải phương trình
y0 =y.
Viết lại phương trình ở dạng
dy dx =y.
Đưa về dạngy ở một bên,x ở một bên (tách biến):
dy y =dx.
Lấy tích phân hai vế:
Z dy y dy= Z dx ta được ln|y|=x+C, tức là |y|=ex+C =eCex.
Vìy là hàm khả vi liên tục nên hoặcy=eCex hoặcy=−eCex. Kết hợp hai trường hợp, cùng với trường hợpy= 0, ta có nghiệm tổng quát là
y=Dex,
vớiDlà một hằng số thực.
Cách giải chung của phương trình tách biến là như sau:
Cách giải phương trình tách biến
dy
dx =g(x)f(y)
Bước 1: Viết lại dưới dạng vi phân
h(y)dy=g(x)dx
ở đó tất cả y đều nằm về một vế của phương trình và tất cảx nằm về vế kia (tách biến). Ở đâyh= f1.
Bước 2: Lấy nguyên hàm hai vế: Z
h(y)dy= Z
g(x)dx (7.2.1)
Trong một số trường hợp ta có thể tính được tích phân rồi giải được phương trình (7.2.1) để được công thức tường minh y theox.
Có thể giải thích cách giải này như sau. Ta viết
y0(x) = g(x)
h(y) hay
h(y)y0(x) =g(x) rồi lấy nguyên hàm cả hai vế thì được
Z
h(y)y0(x) dx= Z
g(x) dx.
Ở vế trái, đổi biếny=y(x)ta được Z
h(y) dy= Z
g(x) dx.
Ví dụ 7.2.2. Giải phương trình tăng trưởng dân số (7.1.1)
P0=kP.
Bước 1: Viết
dP
Đưa về dạngP ở một bên,tở một bên (tách biến):
dP
P =kdt.
Bước 2: Lấy tích phân hai vế: Z dP P = Z k dt ta được ln|P|=kt+C, tức là |P|=ekt+C =eCekt.
VìP là hàm khả vi liên tục nên hoặc P =eCekt hoặc P = −eCekt. Kết hợp hai trường hợp ta được nghiệm
P =Dekt, D∈R.
Chú ý rằng P(0) =D. Nếu đặt P0 =P(0)là giá trị ban đầu của dân số thì ta viết được nghiệm là
P(t) =P0ekt.
Ví dụ 7.2.3. Giải phương trình tăng trưởng dân số có kìm hãm (mô hình hậu cần) (7.1.2)
P0 =r 1− P
K
!
P.
Ta nhận thấy đây là một phương trình tách biến. Ta viết nó dưới dạng P ở một vế còntở vế kia:
dP
1−KPP
=rdt.
Lấy nguyên hàm hai vế (giả sửP < K):
Z dP 1−KPP = Z r dt. Suy ra Z 1 K−P + 1 P dP =rt+C, vớiC∈R. Từ đó −ln(K−P) + lnP =rt+C, hay ln P K−P =rt+C, vậy P K−P =e rt+C.
Giải phương trình này tìmP, ta được
P(1 +ert+C) =Kert+C, vậy nghiệm là P = Ke rt+C 1 +ert+C = K 1 +e−rt−C, vớiC∈R.