7 Phương trình vi phân
7.1.1 Mô hình với phương trình vi phân
Ví dụ 7.1.6 (Mô hình tăng trưởng dân số). Ta lập mô hình tăng trưởng của dân số (số lượng cá thể trong một quần thể sinh vật nào đó)P theo thời gian t.
Ta đưa ra một giả thiết là tốc độ tăng dân số tỉ lệ hằng với qui mô dân số, nói cách khác tốc độ tăng tương đối là một hằng số. Ví dụ nếu cứ mỗi 100 người trong một năm có 3 trẻ được sinh ra và 1 người chết đi thì tốc độ tăng dân số tương đối là 2 người trên mỗi 100 người mỗi năm, tức là2%/năm, và ta giả sử tốc độ này không thay đổi theo thời gian.
Tốc độ tăng trưởng dân số theo thời gian chính là đạo hàm dPdt. Tốc độ tăng trưởng tương đối là dP dt P , vậy mô hình là dP dt P =k,
trong đóklà hằng số tỉ lệ, độc lập với thời gian, hay
dP
dt =kP. (7.1.1)
Phương trình (7.1.1) là một mô hình đơn giản nhưng hiệu quả về sự tăng trưởng số lượng của quần thể. 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 y x
Hình 7.1.2: Một số nghiệm của phương trình dân sốP(t) =P0ektứng với k= 1 và những giá trị khác nhau của P0.
Nếuk > 0 thì dPdt luôn dương, nên dân số luôn tăng. Hơn nữa khi P càng lớn thì dPdt càng lớn, nghĩa là dân số càng lớn thì tăng càng nhanh. Như vậy mô hình dân số (7.1.1)
phù hợp với những tình huống mà sự phát triển của dân số không bị hạn chế bởi lương thực, sự tấn công của kẻ địch, bệnh dịch, . . . .
Nếuk= 0 thì dPdt luôn bằng0, do đó P bằng một hằng số. Vậy dân số không đổi. Một nghiệm hằng như vậy của phương trình vi phân còn được gọi là mộtnghiệm cân bằng.
Nếuk <0 thì dPdt luôn âm, nên dân số luôn giảm.
Phương trình này được giải ở Ví dụ 7.2.2, còn lúc này ta có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách thế vào rằng phương trình có một nghiệm là
P(t) =P0ekt.
Trong đóP0=P(0) là dân số tại thời điểm0, tức là dân số ban đầu. Xem Hình 7.1.2. Mô hình tăng trưởng dân số cũng áp dụng được cho các trường hợp khác mà tốc độ thay đổi của đại lượng tỉ lệ với giá trị của đại lượng, như mô hình lãi nhập vốn (Bài tập 7.2.8), mô hình phân rã mũ (Bài tập 7.2.9).
Ví dụ 7.1.7 (Mô hình tăng trưởng dân số có kìm hãm). Thường khi dân số của một cộng đồng tăng lên thì những yếu tố kìm hãm xuất hiện như hạn chế về lương thực, tài nguyên, sự cạnh tranh của các cộng đồng khác, . . . . Trong trường hợp này thì tốc độ tăng trưởng dân số tương đối sẽ không phải là một hằng số. Một mô hình đơn giản là tốc độ tăng trưởng dân số tương đối sẽ phụ thuộc vào chính dân số:
P0
P =h(P).
Đơn giản hơn nữa ta lấyh là một hàm cấp 1:
h(P) =r1− P
K
,
trong đór,K là các hằng số dương. Vậy ta có mô hình
P0 P =r 1− P K , (7.1.2)
còn được gọi làmô hình hậu cần.
Quan sát mô hình hậu cần ta thấy nếu P < K thì P0 >0, như vậy dân số sẽ tăng. Tuy nhiên khiP càng lớn thì 1−P
K
sẽ càng nhỏ, tuy vẫn là số dương. Như vậy khi dân số lớn lên thì tốc độ tăng tương đối sẽ giảm đi, đúng như ta muốn miêu tả. Phương trình có một nghiệm hằngP(t) =K, được gọi là nghiệm cân bằng. Giá trịK được coi làmức trần của môi trường, nếu dân số khởi đầu ở một mức thấp hơn thì dân số không thể tăng vượt qua mức này.
Trong mục sau ta sẽ giải phương trình hậu cần ở Ví dụ 7.2.3. Hiện giờ ta có thể kiểm rằng phương trình có một nghiệm là
P(t) = K 1 +e−rt+C,
vớiC∈R. Ở Hình 7.1.3 ta thấy nghiệm có những tính chất như dự đoán từ mô hình.
Bài tập
7.1.1. Kiểm tra rằngy= 23ex+e−2x là một nghiệm của phương trình vi phâny0+ 2y= 2ex. 7.1.2. Kiểm tra rằngy=−tcost−tlà một nghiệm của bài toán giá trị đầu
tdy
dt =y+t
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 y x
Hình 7.1.3: Một số nghiệm của phương trình hậu cần vớir = 1,K = 3 và những điều kiện đầu khác nhau. NghiệmP =K là nghiệm cân bằng, có đồ thị là một đường thẳng nằm ngang. Các nghiệm mà có giá trị đầu nhỏ hơn K khi thời gian lớn hơn tăng gần tới
nhưng không đạt giá trị K. Các nghiệm mà có giá trị đầu lớn hơnK khi thời gian lớn hơn giảm gần tới nhưng không đạt giá trịK.
7.1.3. Xét phương trình vi phânx2y0+xy= 1.
(a) Kiểm tra rằng mọi phần tử của họ các hàm sốy= (lnx+C)/xđều là nghiệm của phương trình.
(b) Tìm một nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1) = 2. (c) Tìm một nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầuy(2) = 1. 7.1.4. Xét phương trình vi phâny0 =−y2.
(a) Hãy kiểm tra rằng tất cả các phần tử của họy= 1/(x+C)đều là nghiệm của phương trình. (b) Hãy tìm một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
y0=−y2, y(0) = 0,5.
7.1.5. Xét phương trình vi phâny0 =xy3.
(a) Hãy kiểm tra rằng tất cả phần tử của họ y= (c−x2)−1/2 đều là nghiệm. (b) Hãy vẽ đồ thị nhiều phần tử của họ các nghiệm trên cùng một mặt phẳng.
(c) Hãy tìm một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu y0 =xy3, y(0) = 2.
7.1.6. Một dân số được mô hình bởi phương trình vi phân theo mô hình tăng trưởng có kìm hãm dP dt = 1,2P 1− P 4200 . (a) Với những giá trị nào củaP thì dân số tăng theo thời gian? (b) Với những giá trị nào củaP thì dân số giảm theo thời gian?
7.1.7 (Mô hình của sự nguội). Người ta đưa ra một quan sát rằng tốc độ nguội của một vật tỉ lệ với sự chênh lệch nhiệt độ giữa vật đó với môi trường xung quanh (đây là một định luật của I. Newton).
(a) Một ấm nước vừa sôi ở nhiệt độ100◦C được để nguội trong một phòng có nhiệt độ26◦C. Hãy viết một phương trình vi phân miêu tả nhiệt độ của ấm nước để nguội phù hợp với quan sát này.
(b) Hãy vẽ phác họa đồ thị nghiệm của bài toán giá trị ban đầu ở phần (a).
7.1.8(Mô hình của sự học). ĐặtP(t)là lượng kiến thức tích lũy được của một người học (đo theo một cách nào đó) theo thời giant. Đạo hàmdP/dt cho tốc độ tăng của lượng kiến thức tích lũy, thể hiện tốc độ tiến bộ của người học. Có quan sát rằng kiến thức tích lũy được tăng theo thời gian, nhưng với tốc độ giảm dần, và không thể vượt quá một mức trầnM nhất định.
(a) Hãy giải thích vì sao phương trình vi phân dP
dt =k(M −P), với klà một hằng số, là phù hợp với quan sát trên.
(b) Hãy vẽ phác họa một nghiệm của phương trình vi phân này dựa theo mô hình trên.