n 75 m 150 #J 1 137 CPU time (s) 1.2 Hình 2.17 51 download by : skknchat@gmail.com
Active sensor Target 100 80 60 40 20 −20 −20 Hình 2.3: n=25, m=5, Bộ dữ liệu 1 G.Fig1.P3, n =25, m=5 120 No active sensor Active sensor Target 100 80 60 40 20 00 20 40 60 80 100 Hình 2.5: n=25, m=5, Bộ dữ liệu 3 Active sensor Target 100 80 60 40 20 00 20 40 60 80 100 120 Hình 2.7: n=25, m=5, Bộ dữ liệu 5 Active sensor Target 100 80 60 40 20 00 20 40 60 80 100 Hình 2.4: n=25, m=5, Bộ dữ liệu 2 G.Fig1.P4, n =25, m=5 100 80 60 40 20 00 20 40 60 80 100 Hình 2.6: n=25, m=5, Bộ dữ liệu 4 Fig2.P1, n =25, m=50 120 Sensor Target 100 80 60 40 20 00 20 40 60 80 100 120 Hình 2.8: n=25, m=50, Bộ dữ liệu 1 52
120 100 80 60 40 20 0 −20 0 −20 Hình 2.9: n=25, m=50, Bộ dữ liệu 3 Hình 2.11: n=25, m=50, Bộ dữ liệu 5 G.Fig3.P2, n =75, m=15 Hình 2.10: n=25, m=50, Bộ dữ liệu 4 Hình 2.12: n=75, m=15, Bộ dữ liệu 1 Hình 2.13: n=75, m=15, Bộ dữ liệu 2 Hình 2.14: n=75, m=15, Bộ dữ liệu 3
53 download by : skknchat@gmail.com G.Fig3.P4, n =75, m=15 120 No active sensor Active sensor Target 100 80 60 40 20 00 20 40 60 80 100 120 Hình 2.15: n=75, m=15, Bộ dữ liệu 4 Hình 2.17: n=75, m=150 Hình 2.19: n=125, m=250
Hình 2.16: n=75, m=15, Bộ dữ liệu 5 Hình 2.18: n=125, m=25 Hình 2.20: n=175, m=35 54 download by : skknchat@gmail.com n =175, m=350 120 Target 100 80 60 40 20 −20 −20 Hình 2.21: n=175, m=350 n =225, m=450 120 No active sensor Active sensor Target 100 80 60 40 20 −20 −20 Hình 2.23: n=225, m=450
Hình 2.25: n=500, m=1000 0 −20 0 Hình 2.24: n=500, m=100 Hình 2.26: n=750, m=150
55
120 100 80 60 40 20 0 −20 0 −20 Hình 2.27: n=750, m=1000 Kết luận
Trong chương này chúng tôi đã nghiên cứu hai bài toán tối ưu không lồi trong viễn thông. Kết quả chính đạt được là:
• Với bài toán phân bổ tài nguyên vô tuyến cho mạng OFDMA/TDD:
- Chúng tôi xây dựng mô hình toán học dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính nhị phân.
- Sử dụng kĩ thuật hàm phạt, chuyển bài toán về một bài toán tối ưu liên tục (một bài toán tối ưu DC đa diện).
- Đề xuất thuật toán toàn cục nhánh cận kết hợp DCA giải bài toán.
-Thử nghiệm số so sánh thuật toán đề xuất với lược đồ nhánh cận truyền thống để thấy được tính hiệu quả của việc sử dụng DCA. DCA có thể cho nghiệm chấp nhận được tốt mặc dù là một tiếp cận địa phương.
• Với bài toán phủ năng lượng cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến:
- Từ mô hình hóa dưới dạng bài toán tối ưu không lồi (SCEP) xây dựng bởi Astorino và Miglionico, chúng tôi đưa bài toán này về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc.
- Đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán (SCEP) dựa trên lược đồ nhánh-giảm-cận truyền thống và cải tiến thuật toán này.
- Đề xuất thuật toán tìm nghiệm tối ưu địa phương cho bài toán (SCEP).
- Tính toán thử nghiệm cho thuật toán toàn cục và địa phương trên các bộ dữ liệu sinh ngẫu nhiên với số chiều cao cho thấy sự hiệu quả của các thuật toán được đề xuất.
56
Chương 3
THUẬT TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN ẢNH GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU RỜI RẠC
Nhiều bài toán xuất phát từ thực tế có hai hoặc nhiều hơn hai mục tiêu cần giải quyết đồng thời (các mục tiêu này thông thường xung đột lẫn nhau). Trong lí thuyết tối ưu, những bài toán này được gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu. Khi các biến quyết định nhận các giá trị rời rạc thì bài toán được gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc. Việc nghiên cứu giải quyết những vấn đề xung quanh bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc được phát triển mạnh trong thời gian gần đây bởi nó có rất nhiều ứng dụng trong thực tế (xem [69]). Do giá trị hàm mục tiêu của bài toán tối ưu đa mục tiêu là một véctơ nên việc giải bài toán tối ưu đa mục tiêu có những khác biệt so với bài toán tối ưu một mục tiêu thông thường. Cụ thể, bài toán tối ưu đa mục tiêu đi tìm tập hữu hiệu, hay còn gọi là tập Pareto (sẽ được nêu chi tiết trong Mục 3.1). Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu liên tục tập này thường không lồi và có cấu trúc phức tạp, ngay cả trong trường hợp tập ràng buộc của bài toán đa mục tiêu là tập lồi đa diện và các hàm mục tiêu là aphin. Do đó bài toán tìm toàn bộ hay một phần của tập này nói chung là một bài toán khó (xem [5]). Khó khăn tương tự cũng xảy ra khi các biến quyết định nhận giá trị rời rạc. Tuy nhiên, thông thường không gian quyết định có số chiều lớn hơn nhiều so với số chiều của không gian ảnh. Hơn nữa cấu trúc của tập giá trị hữu hiệu trong không gian ảnh cũng đơn giản so với cấu trúc tập hữu hiệu trong không gian quyết định. Vì vậy để giảm tính phức tạp người ta thường hay sử dụng tiếp cận trên không gian ảnh để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu, tức là đi tìm toàn bộ tập giá tr ị hữu hiệu hoặc một phần của tập này.
Trong chương này, sau khi nhắc lại một số khái niệm cơ bản liên quan đến bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc ở Mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu rời rạc trong Mục 3.2. Cuối cùng chúng tôi xét một lớp bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu và đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán này với tiếp cận trên không gian ảnh trong Mục 3.3.
Nội dung chính của Mục 3.2 và 3.3 tương ứng là kết quả của các bài báo [2,5] và
[4] trong Danh mục các công tr ình đã công bố của luận án.
57
3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc
Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc có dạng
V min
v.đ.k. x ∈
trong đó X ⊂ Rn là tập rời rạc bị chặn khác rỗng, fi : X → R, i = 1, 2, . . . , m, là m hàm mục tiêu (m ≥ 2). Rn được gọi là không gian quyết định,
Rm được gọi là không gian ảnh. Tập X được gọi là tập quyết định, Y = f(X) ⊂ Rm được gọi là tập ảnh.
Với tập A ⊂ Rm , A 6= ∅. Điểm y¯ ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu dưới (t.ư., điểm hữu hiệu trên) của A nếu
@y ∈ A \ {¯y} sao cho y ≤ y;¯ tức là (¯y − Rm ) ∩ A = {y}¯
+
Kí hiệu
Min A = {y¯ ∈ A | (¯y − R +m ) ∩ A = {y}}¯
(t.ư., Max A = {y¯ ∈ A | (¯y + R +m ) ∩ A = {y¯}}).
là tập điểm hữu hiệu trên (t.ư., tập điểm hữu hiệu dưới) của tập A.
Điểm xˆ ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu hoặc nghiệm Pareto của bài toán (MODO) nếu f(ˆx) ∈ Min Y. Tập tất cả các nghiệm hữu hiệuxˆ ∈ X
được kí hiệu là
X Evà được gọi là tập hữu hiệu của bài toán (MODO). Đặt
YN = {y ∈ Rm | y = f(x), x ∈ X E }
và gọi YN là tập giá trị hữu hiệu của bài toán (MODO). Theo định nghĩa, dễ dàng chứng minh được rằng YN = Min Y.
Xác định điểm yI = (y I1, . . . , y Im ) và yU = (y 1U , . . . , ymU ) với:
yiI := min f i(x) và y iU := max f i (x) ∀i = 1, 2, . . . , m.
x∈X x∈X
Theo định nghĩa, yI và yU có thể không thuộc Y. Rõ ràng, nếu yI ∈ Y thì YN = {y I }. Kí hiệu e ∈ Rm là véc-tơ gồm toàn số 1, lấy b ∈
Rm sao cho b ≥ y U + e. Khi đó,
ta có Y ⊂ [yI , b).
Theo Ehrgott [69] có hai dạng biểu diễn tập chấp nhận được X của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc:
• X được biểu diễn thông qua các ràng buộc dạng toán học. 58
• X bao gồm hữu hạn điểm biết trước. Trong thực tế những tập kiểu này thường được lấy thông qua các phương pháp thống kê.
Trong Mục 3.2, dựa trên lược đồ chung (generic method, xem [24]) kết hợp với việc đề xuất thủ tục cập nhật miền tìm kiếm mới, chúng tôi xây dựng thuật toán xác định toàn bộ tập giá trị hữu hiệu YN của bài toán (MODO) trong trường hợp X
được biểu diễn thông qua các ràng buộc toán học. Các tính toán thử nghiệm cho thuật toán mới đề xuất được thực hiện trên các bài toán: bài toán ba lô đa mục tiêu (multiobjective optimization problem), bài toán phân công đa mục tiêu (multiobjective optimization problem) (xem Kirlik và Sayın [22]) hay bài toán chọn nhà cung cấp cho lĩnh vực thuê ngoài đa dịch vụ (the supplier selection problem in multi-service outsourcing) (xem Feng và các cộng sự [72]).
Việc nghiên cứu và đề xuất thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán (MODO) trong trường hợp X là tập gồm hữu hạn điểm cho trước sẽ được thực hiện trong Mục 3.3. Sau đây là một ví dụ thực tế có mô hình toán học là bài toán tối ưu đa mục tiêu dạng này.
Ví dụ 3.1. ([69, Mục 1.2, trang 4]) Một người có nhu cầu mua một chiếc ô tô
mới của một trong bốn hãng: VW Golf, Opel Astra, Ford Focus hoặc Toyota Corolla. Anh ta quan tâm đến các tiêu chí về giá cả và sự tiêu hao nhiên liệu để lựa chọn. Người bán hàng cung cấp cho anh ta bảng dữ liệu sau
Bảng 3.1: Dữ liệu của Ví dụ 3.1 [69]
Mục tiêu Giá (1000 Euros)Tiê u ha o nhiê n liệ u (10 0km )
l
Từ Bảng 3.1 có thể dễ dàng tìm một chiếc ô tô giá rẻ nhất (Ford), hoặc tiêu hao nhiên liệu ít nhất (Opel). Tuy nhiên, không thể chọn được một chiếc ô tô nào thỏa mãn cả hai tiêu chí: rẻ nhất và tiêu thụ nhiên liệu ít nhất vì các mục tiêu này xung đột nhau. Như vậy, để chọn được chiếc ô tô phù hợp ta cần mô hình hóa bài toán dưới dạng bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) và tìm tập hữu hiệu tương ứng.
Đánh số các loại ô tô VW, Opel, Ford, Toyota theo thứ tự 1, 2, 3, 4. Kí hiệu xk = (x k1 , xk2 ) là vectơ có các thành phần xk1 , xk2 theo thứ tự biểu thị cho giá và lượngtiêu hao nhiên liệu của của ô tô loại k, k = 1, 2, 3, 4. Khi đó mô hình bài toán chọn mua ô tô có dạng như sau
V min
v.đ.k.
trong đó tập chấp nhận được X = {x 1 , x2, x 3, x4} và f k (x) = x k , k = 1, 2. Dễ thấy
Y ≡ X và từ định nghĩa ta có X E = {x 2, x3}. Như vậy người mua hàng có thể chọn chiếc ô tô loại 2 (Opel) hoặc loại 3 (Ford).
Tiêu hao nhiên liệu (1/100 km) 9 _ 8 _ 7_ 6
3.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc
Bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc là một trong những vấn đề quan trọng của tối ưu đa mục tiêu. Nó thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong thời gian gần đây với nhiều hướng tiếp cận khác nhau (xem [11, 12, 14, 15, 70, 16, 17, 18, 71, 19, 20, 22, 13, 23, 24, 25] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo). Đáng chú ý phải kể đến nhóm công trình của các tác giả: Przybylski [25], Klamroth và cộng sự [24], D¨achert và Klamroth [13], D¨achert và cộng sự [23] với những thuật toán hiệu quả được đề xuất. Những công tr ình này ([13, 23, 24, 25]) sử dụng lược đồ chung (generic method, viết tắt là GM) như sau:
• Tại mỗi bước lặp, giải một bài toán con, tức bài toán tối ưu vô hướng (đây là kĩ thuật vô hướng hóa)
min{g(f(x)) | x ∈ X, f(x) < u}, (P (u))
trong đó g là một hàm đơn điệu tăng có dạng tổng có trọng số dương của các hàm mục tiêu f j , j = 1, . . . , m. Khi đó, nghiệm xˆ của bài toán (P (u)) (nếu có) sẽ là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MODO) và yˆ = f(ˆx) là điểm giá trị hữu hiệu tương ứng trong không gian ảnh thỏa mãn yI ≤ y < u; chi tiết xem trong
[24]. Luận án này sử dụng dạng đơn giản của hàm g là g(f(x)) =
60
• Sau bước giải bài toán vô hướng hóa, một phần không gian của tập ảnh sẽ được loại bỏ để tiếp tục tìm kiếm những điểm giá tr ị hữu hiệu còn lại.
• Miền trong không gian ảnh sử dụng trong việc tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu được cập nhật sau mỗi bước lặp và được gọi chung là miền
tìm kiếm (the search region) (xem [13, 23, 24, 25]). Quá trình tìm kiếm
sẽ kết thúc khi miền tìm kiếm bằng rỗng.
Từ đây về sau, ta gọi lược đồ trên là lược đồ GM hoặc phương pháp GM. Ví dụ đơn giản dưới đây sẽ minh họa các bước của lược đồ GM sử dụng cho việc tìm kiếm toàn bộ tập giá tr ị hữu hiệu của bài toán (MODO).
Ví dụ 3.2. Xét bài toán (MODO) với m = 2. Giả sử tập ảnh Y ⊂ R 2 được cho như minh họa ở Hình 3.2.
Kí hiệu N là tập các điểm giá trị hữu hiệu tìm được; S(N) là miền tìm kiếm tương ứng với N, tức S(N) sẽ chứa những điểm giá trị hữu hiệu còn lại của bài toán (MODO) mà không thuộc tập N. Theo lược đồ của phương pháp GM [13, 23, 24, 25], tại bước khởi tạo N = ∅ và S(N) = [y I , b).
.
yI +
Hình 3.2: Khởi tạo, N = ∅ và
S(N ) = [yI , b)
Bước 1, với miền tìm kiếm S(N) = [y I , b), giải bài toán vô hướng hóa (P (b))
min{f 1 (x) + f 2(x) | x ∈ X, f(x) < b}
để thu được nghiệm hữu hiệu đầu tiên x1 tương ứng với giá trị hữu hiệu y 1 = f (x 1). Khi đó, cập
nhật N := N ∪{y1} = {y 1}. Chú ý, hộp nửa mở trên [y1 , b) sẽ không chứa những điểm giá trị hữu
hiệu còn lại. Vì vậy miền tìm kiếm tương ứng với N = {y 1} được cập nhật theo công thức sau
S(N) := S(N) \ [y 1
, b) = [yI , u1) ∪ [yI , u2 ).
61
download by : skknchat@gmail.com
Xem minh họa ở Hình 3.3.
. Điểm thuộc tập Y u2 . S(N) y1 . yI +
. Điểm thuộc tập Y u2 y3 . u21 S(N) y1 yI + Hình 3.4: Bước 2, N = {y1, y2} và S(N ) = [yI , u2) ∪ [yI , u12 ) y3 . Hình 3.5: Bước 3, N = {y1 , y2, y3 } và S(N ) = [yI , u12) ∪ [yI , u21 ) . Điểm thuộc tập Y u21 S(N) y1 . u12 yI + Hình 3.6: Bước 4, N = {y 1, y2 , y3} và S(N ) = [y I , u21)
Bước 2, với miền tìm kiếm S(N) = [yI , u1 ) ∪ [yI , u2) có thể chọn u = u1 hoặc
u = u 2 cho bài toán vô hướng hóa (P (u)) để tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu tiếp theo. Chẳng hạn, chọn u = u 1. Giải
bài toán (P (u 1 )) thu được nghiệm hữu hiệu x 2 tương ứng với giá trị hữu hiệu y2 = f (x2). Cập nhật, N := N ∪ {y2} =
{y1 , y2} và
S(N) := S(N) \ [y 2, u1 ) = [y I , u2 ) ∪ [yI , u 12).
Bước 3, với miền tìm kiếm S(N) = [yI, u2 ) ∪ [yI , u12 ) có thể chọn u = u2 hoặc
u = u 12 cho bài toán vô hướng hóa (P (u)) để tìm điểm giá trị hữu hiệu tiếp theo. Chẳng hạn,
chọn u = u 2 . Khi đó, bài toán (P (u 2)) có nghiệm x 3 tương ứng với giá tr ị hữu hiệu y3 = f(x 3 ).
Cập nhật, N := N ∪ {y 2} = {y1 , y2, y3} và S(N) :=S(N) \ [y 3, u2 ) = [yI , u21) ∪ [yI , u12 ).
62
Bước 4, với miền tìm kiếm S(N) = [y I , u21 ) ∪ [yI , u12) có thể chọn u = u 21 hoặc u = u
12 cho bài toán vô hướng hóa (P (u)) để tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu tiếp theo. Chẳng hạn, chọn u = u 12. Khi đó, bài toán (P (u 12)) không có nghiệm, tức không có điểm giá trị hữu hiệu nào nằm trong hộp mở nửa trên [yI , u12 ). Cập nhật miền tìm kiếm S(N) bằng cách bỏ đi đỉnh u 12 , tức S(N) := [y I , u21).
Hoàn toàn tương tự, bước cuối cùng ta giải bài toán (P (u 21)). Bài toán này vô nghiệm. Vậy không có
thêm điểm giá trị hữu hiệu nào được tìm ra. Cập nhật miền tìm kiếm S(N) = ∅ và kết thúc quá trình tìm kiếm.
Như vậy, sau 5 bước lặp, toàn bộ tập giá trị hữu hiệu được tìm ra là
YN := N = {y1, y2, y3}.
Trong ví dụ này ta cũng thấy rằng, trong suốt quá trình tìm kiếm tập giá tr ị hữu hiệu, tập S(N) luôn có dạng một đa khối nửa mở.
Chú ý rằng, trong lược đồ GM, bước giải bài toán vô hướng (P (u)) là một trong những bước quan trọng nhất và đòi hỏi thời gian tính toán lớn, đặc biệt khi bài toán con thuộc lớp bài toán khó giải (chẳng hạn, lớp bài toán phi tuyến). Thông thường chúng ta sẽ sử dụng các solver có sẵn để giải quyết bước này và như vậy sẽ hoàn toàn phụ thuộc vào solver được chọn. Tuy nhiên, có thể thấy sự hiệu quả của phương pháp GM còn phụ thuộc vào cách cập nhật miền tìm kiếm sau mỗi bước lặp. Do đó việc nghiên cứu cấu tr úc và cách cập nhật miền tìm kiếm của bài toán (MODO) trở thành một vấn đề then chốt cho phương pháp này và đã được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây (xem [13, 23, 24, 25] và danh mục tài liệu kèm theo). Đây cũng là một trong những vấn đề quan tâm chính của chúng tôi. Trong luận án này, chúng tôi