Tính đúng đắn và dừng hữu hạn của thuật toán được thể hiện qua định lí sau.
Định lí 3.1. Thuật toán 3.2 dừng sau hữu hạn bước lặp cho ta tập tất cả các đỉnh
của bao Edgeworth-Pareto Y .
Chứng minh. Ta chia chứng minh thành một số bước như sau:
m
(i) Lấy S = V (convY 0) \ (j=1S Vj ) ∪ {yM } . Ta sẽ chứng minh rằng S ⊂ Y.
Thật vậy, vì y ≤ y M với mọi y ∈ convY0 kéo theo y M là một đỉnh của convY0.
Với j = 1, lấy v ∈ V 1 và giả sử rằng v 6∈ V (convY0). Do v 1 = y M
1 ≥ y 1 với mọi y = (y 1, ..., ym ) ∈
convY 0, ta thấy rằng v là tổ hợp lồi của những điểm thuộc Y0 nằm trên mặt y1 = y 1M , điều đó có nghĩa là trong đó P λµ+λ vµ ∈V1 Từ (3.6) ta có thể viết p1(v) = Xµ download by : skknchat@gmail.com
trong đó p1(vµ ), p1 (q) ∈ Y1 = p1 (Y ), α = λ M p1 ((yM − q)) ∈ p1 (Rp+ ) = Rp+−1 . Vì p1(v) ∈ V (Y1 ) ta có λµ = 1 với p 1(vµ ) = p 1(v), λ µ = 0 với p 1(vµ ) 6= p1(v) và λM = 0. Kết hợp với (3.5) ta kết luận v là một đỉnh của convY 0. Lập luận tương tự cho những trường hợp còn lại j = 2, . . . , m.
Như vậy, (∪m
j=1 Vj ) ∪ {yM } ⊂ V (conv(Y0)). Kết hợp với định nghĩa của Y0 =
m
Y ∪ ( Vj ) ∪ {yM } ta thu được S ⊂ Y.
j=1S
(ii) Ở bước này ta chứng minh rằng với mỗi j ∈ {1, ..., m} và v ∈ Vj , tồn tại v¯ ∈ S sao cho pj (¯v)
= pj (v). Không mất tính tổng quát ta sẽ xét trường hợp j = 1, những trường hợp còn lại của j ta sẽ làm tương tự.
Cố định v ∈ V1 và đặt v¯ = argmin{y1|y ∈ Y, p1 (y) = p1(v)}. Ta sẽ chứng minh rằng v¯ ∈ S. Thật vậy, vì p1(¯v) ∈ V
(Y1 ) nên v¯ không thể là tổ hợp lồi của những điểm thuộc Y0 mà hình chiếu của nó trên không gian p1(R m ) :=
{(y2, ..., ym ), ∀j = 2, ..., m} khác p1 (¯v). Mặt khác, vì
v¯1 = min{y 1|y ∈ Y, p1(y) = p 1(v)} = min{y 1 |y ∈ Y0, p1 (y) = p 1 (v)},
ta có v¯ 6∈ conv(Y0\ {¯v}) + Rm chính là điều cần chứng minh.
+
Hiển nhiên, S ⊂ Y , vì vậy ta chỉ cần chỉ điểm y ∈ Y , khi đó tồn tại
z ∈ convY, d z ∈ convY ⊂ convY0, ta có thể biểu diễn z nghĩa là
ra rằng Y ⊂ S . Thật vậy, lấy
∈ Rm+ sao cho y = z + d. Do thành tổ hợp lồi của V (convY0),
trong đó λk , λ j
Từ (ii), với mỗi vµ
j ∈ Vj có v¯µ
j
vậy, từ (3.7) kéo theo
l λkvk + z = X k=1 lm = λkv X k k=1 download by : skknchat@gmail.com
trong đó d =
¯
(iv) Cuối cùng ta chứng minh khẳng định V (Y ) = S = V (convY 0) ∩ Y.
Trước hết ta chỉ ra rằng v
{1, 2, ..., l}.
Thật vậy, giả sử ngược lại vk
và β ∈ R+m . Chú ý rằng, với mỗi j ∈ {1, ..., m}, v
và yjM > v jk do đó tồn tại số tj > 0 sao cho v k
Vì convY0 lồi nên
Đặt v := v k + λβ, khi đó tồn tại λ > 0 thỏa
tức là v ∈ convY0, và do đó vk =
V (convY0).
Từ (iii) và (iv) ta kết luận rằng V (Y ) = S = V (convY 0) ∩ Y. Định lí đã được chứng minh.
Chú ý 3.3. Do convY = conv(V (convY )) và như đã biết trong nhiều trường
hợp tập V (convY ) nhỏ hơn tập Y rất nhiều nên với Thuật toán 3.2 ta có thể thay thế Y bằng V (convY ). Để tìm V (convY ) ta có thể sử dụng những thuật toán đã biết chẳng hạn như thuật toán Quickhull [77].
Cuối cùng, chúng tôi đề xuất thuật toán giải toàn cục bài toán (P ) trong trường hợp hàm ϕ đơn điệu tăng và tựa lõm trên Y .
Thuật toán 3.3: Giải toàn cục bài toán (P ).
Bước 1. Dùng một thuật toán đã biết để tính V (convY ), chẳng hạn thuật
toán Quickhull [77].
Bước 2. Áp dụng Thuật toán 3.2 với Y := V (convY ) tính tập đỉnh V (Y )
của bao Edgeworth-Pareto Y .
Bước 3. Tính giá trị hàm mục tiêu ϕ tại các điểm của V (Y ) để tìm ra y∗ ∈ argmin{ϕ(y) | y ∈ V (Y )}. Khi đó y∗ là nghiệm tối
ưu của bài toán (OP ) và giá trị x∗ thỏa mãn f(x ∗) = y ∗ chính là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán
(P ).
3.3.3 Kết quả tính toán thử nghiệm
Chúng tôi lập trình thử nghiệm các thuật toán bằng Matlab phiên bản R2012a, trên máy tính cá nhân với cấu hình RAM 8G, Intel core i7 2.26 GHz và hệ điều hành Win7-64bit.
Để tính tập đỉnh của bao lồi của Y chúng tôi sử dụng lệnh "convhulln" trong Matlab ("convhulln" được thiết kế dựa trên thuật toán Quickhull [77]).
Dữ liệu của bài toán được sinh ngẫu nhiên theo sơ đồ sau • f(x) = Cx, trong đó ma trận C ∈ {0, 1} m×n
được sinh ngẫu nhiên.
• X chứa p (p ∈ N) véc-tơ trong R n , được viết dưới dạng ma trận cấp p × n. Các phần tử của X được sinh ngẫu nhiên trong đoạn [0, 1000].
• Hàm ϕ có dạng
ϕ 1(y) = min{B 1(y) Tz | z ∈ {0, 1} n , a T z ≤ b}
hoặc
ϕ2 (y) = min{B2 (y)T z | z ∈ {0, 1}n , aT z ≤ b},
trong đó a ∈ R m là một véc-tơ nguyên được sinh ngẫu nhiên trong đoạn
[0, 1000], b = thức B 1(y) = Π i và n B i2(y) = X j=1
Rõ ràng ϕ1 và ϕ 2 là các hàm đơn điệu tăng và tựa lõm theo y. Như vậy ta có thể áp dụng Thuật toán 3.3 để giải bài toán (P ).
Chúng tôi tính ϕ tại mỗi điểm y bằng cách sử dụng CVX 2.1 kèm theo Gurobi Solver 6.0 (academic version at http://cvxr.com/cvx/ and http://www.gurobi.com/) cho việc giải bài toán quy hoạch nguyên.
85
Thuật toán 3.2 và Thuật toán 3.3 được thử nghiệm cho trường hợp p = 10 6, p = 105 và m = 2, 3, 4, 5. Các hệ số {α
[0, 0.5] và trong [0, 0.25] theo thứ tự với n = 20, n = 50 và n = 100.
Với mỗi cỡ bài toán chúng tôi chạy cho 10 ví dụ sinh ngẫu nhiên và lấy kết quả trung bình cho 10 ví dụ đó. Kí hiệu #S là số phần tử trung bình của tập S cho 10 ví dụ, trong đó S có thể là V (convY ), V (Y ) hoặc YN . Chúng tôi so sánh Thuật toán 3.3 với cách làm trực tiếp - tính YN từ tập Y và sau đó tính giá trị hàm mục tiêu tại tất cả các điểm của YN để thu được nghiệm tối ưu của bài toán (Thuật toán 3.4). Cách tính YN từ tập Y tương tự như [69, Thuật toán 8.1, trang 209]. Chi tiết Thuật toán 3.4 như sau.
Thuật toán 3.4: Giải toàn cục bài toán (P ) bằng cách làm trực tiếp.
Bước 1: Tính YN =MinY từ tập Y đã biết theo thuật toán đã biết (chẳng
hạn, [69, Thuật toán 8.1, trang 209]).
Bước 2: Tính giá trị hàm mục tiêu ϕ tại các điểm của YN để tìm ra y∗ ∈ argmin{ϕ(y) | y ∈ YN } là nghiệm tối ưu của bài toán (OP ).
Điểm x ∗ ∈ X thỏa mãn f(x ∗) = y ∗ chính là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P ).
Bảng 3.6: Kết quả tính toán thử nghiệm Thuật toán 3.2
m n #V (conv 20 2 50 100 20 3 50 100 20 4 50 100 20 5 50 100 86 download by : skknchat@gmail.com
Bảng 3.7: Kết quả so sánh Thuật toán 3.3 và Thuật toán 3.4p m p m n #V (convY ) 20 2 50 100 20 3 50 105 100 20 4 50 100 20 5 50 100 20 2 50 100 20 3 50 106 100 20 4 50 100 20 5 50 100
Từ các kết quả số thu được ta rút ra một số nhận xét sau
• Thuật toán 3.2 tính tập đỉnh của bao Edgeworth-Pareto của một bài toán tối ưu đa mục tiêu hiệu quả ngay cả trong trường hợp số lượng điểm của tập ràng buộc là 106 và số lượng hàm mục tiêu là 5.
• Thuật toán 3.3 sử dụng bao Edgeworth-Pareto giải bài toán tối ưu một hàm tựa lõm, đơn điệu tăng trên một tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc hiệu quả hơn Thuật toán 3.4 khi tập ràng buộc rời rạc có số lượng điểm lớn và việc tính giá tr ị hàm mục tiêu tại mỗi điểm đòi hỏi nhiều thời gian tính toán.
Kết luận
Chương 3 của luận án nghiên cứu thuật toán giải hai bài toán tối ưu không lồi trong tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
• Bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời
rạc.
- Sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho biểu diễn miền kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
- Chúng tôi đề xuất một thủ tục cập nhật miền tìm kiếm mới sử dụng cho lược đồ chung GM để tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu.
87
- Nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc quản lí những bài toán con được lưu trong suốt quá trình tìm kiếm thông qua việc khảo sát lược đồ chung GM với bốn cách quản lí khác nhau.
- Thuật toán mới đề xuất được lập trình so sánh với các thuật toán đã biết cho rất nhiều ví dụ có sẵn và sinh ngẫu nhiên với nhiều cỡ bài toán từ nhỏ đến lớn. Kết quả số cho thấy sự hiệu quả của lược đồ chung GM phụ thuộc lớp bài toán cần giải, thủ tục cập nhật miền tìm kiếm và cách quản lí các bài toán con được lưu.
• Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu.
- Chúng tôi xét một lớp bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục tiêu đơn điệu tăng và tựa lõm, miền ràng buộc là tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
- Chúng tôi đề xuất thuật toán tính toàn bộ tập đỉnh của bao Edgeworth-Pareto trong không gian ảnh và sử dụng kết quả này cho việc đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu đang xét.
- Tính hiệu quả của các thuật toán đề xuất được thể hiện thông qua việc lập tr ình thử nghiệm cho nhiều ví dụ sinh ngẫu nhiên với nhiều cỡ bài toán khác nhau.
KẾT LUẬN CHUNG
1. Những đóng góp chính của luận án
Luận án nghiên cứu các thuật toán giải một số bài toán tối ưu không lồi có nhiều ứng dụng trong thực tế, cụ thể là:
Đối với bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD, chúng tôi đã xây dựng mô hình toán học cho bài toán này dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính nhị phân. Sau đó, sử dụng tiếp cận liên tục (kĩ thuật hàm phạt) bài toán được đưa về dạng một bài toán tối ưu DC. Cuối cùng chúng tôi đề xuất thuật toán toàn cục nhánh cận kết hợp DCA để giải bài toán này.
Đối với bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến, chúng tôi xuất phát từ mô hình bài toán tối ưu không lồi liên tục khó (với ràng buộc không lồi), được đề xuất bởi Astorino và Miglionico [39]. Bằng cách khai thác các tính chất từ cấu trúc đơn điệu của bài toán, chúng tôi đã đề xuất ba thuật toán mới giải bài toán trên, bao gồm: một thuật toán tìm nghiệm địa phương, một thuật toán toàn cục dựa trên lược đồ nhánh-giảm-cậ n cổ điển và một thuật toán cải tiến thuật toán nhánh-giảm-cận cổ điển. Trong đó, các thuật toán toàn cục thu được sau khi bài toán gốc được đưa về một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương.
Đối với bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho biểu diễn miền kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, chúng tôi đề xuất một thủ tục cập nhật miền tìm kiếm mới dùng cho lược đồ GM để tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc. Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc quản lí những bài toán con được lưu trong suốt quá trình tìm kiếm thông qua việc khảo sát lược đồ GM với một số cách quản lí khác nhau.
Đối với bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu, chúng tôi xét một lớp bài toán dạng này với hàm mục tiêu không giảm tựa lõm, miền ràng buộc là tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc với ràng buộc cho bởi tập hữu hạn các điểm. Chúng tôi đề xuất thuật toán tính toàn bộ tập đỉnh của bao Edgeworth-Pareto trong không gian ảnh và sử dụng kết quả này cho việc đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán trên.
Tất cả các thuật toán được đề xuất trong luận án đều được lập trình thử nghiệm và so sánh với các phương pháp khác trên rất nhiều các bộ dữ liệu sinh ngẫu nhiên và có sẵn. Kết quả số được tổng hợp, phân tích kĩ lưỡng cho thấy được tính hiệu quả và ý nghĩa của việc đề xuất các thuật toán này.
89
2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Tiếp tục triển khai tìm hiểu những bài toán xuất phát từ những vấn đề trong thực tế và nghiên cứu xây dựng mô hình toán học cùng thuật toán và phương pháp giải cho các bài toán đó.
90
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN
[1] N.C. Nam, P.T. Hoai (2017), "A continuous DC programming approach for re-source allocation in OFDMA/TDD wireless networks", Computers & Opera-tions Research, Vol. 82, pp. 95-101. (ISI)
[2] P.T. Hoai, L.T.H. An, N.C. Nam (2017), "An exact approach for solving the sup-plier selection problem in multi-service outsourcing", in:
Conference Proceed-ings of IESM 2017 (The 7th International Conference
on Industrial Engineeringand Systems Management Saarbr¨ucken, Ger many, October 11-13, 2017), pp. 541-546.
[3] P.T. Hoai, H. Tuy (2018), "Monotonic optimization for sensor cover
energy problem", Optimization Letters, Vol. 12 (7), pp. 1569–1587. (ISI)
[4] P.T. Hoai, L.D. Muu, T.N. Thang (2018), "Optimization over the efficient set of multiple objective discrete programs using the Edgeworth-Pareto hull in out-come space", Pacific Jour nal of Optimization, Vol. 14 (4), pp. 581–594. (ISI)
[5] P.T. Hoai, L.T.H. An, N.C. Nam (2020), "Half-open polyblock for the represen-tation of the search region in multiobjective optimization problems:
its applica-tion and a computational aspects", accepted for publication in
4OR-A QuarterlyJournal of Operations Research. (ISI)
91
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. Tuy (1964), "Concave programming under linear contraints", Soviet Math. Dokl., Vol. 5, pp. 1437-1440.
[2] H. Tuy (2016), "Convex Analysis and Global Optimization", the second edition, Spr inger International Publishing AG Switzerland.
[3] L.T.H. An, P.D. Tao (2018), "DC programming and DCA: thirty years
of devel-opments", Math. Program., Ser. B, Vol. 169 (1), pp. 5-68.
[4] L.T.H. An, P.D. Tao (2001), "A continuous approach for globally solving linearly constrained quadratic zero-one programming problems", Optimization, Vol. 50,pp. 93-120.
[5] H.P. Benson (1998), "An outer approximation algorithm for generating all effi-cient extreme points in the outcome set of a multiple
objective linear program-ming problem", J. Global Optim., Vol. 13, pp. 1-
24.
[6] I. Das, J.E. Dennis (1998), "Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria
optimization problems",SIAM J. Optim., Vol. 8, pp. 631-657.
[7] Y.Y. Haimes, L.S. Lasdon, D.A. Wismer (1971), "On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system
optimization",IEEE Trans. Syst. Man Cyber., Vol. 1, pp. 296-297.
[8] P.L. Yu (1985), "Multiple-criteria decision making: Concepts,
techniques and extensions", Plenum Press, New York.
[9] A. Ben-Tal (1980), "Characterization of Pareto and lexicographic
optimal solu-tions", Lecture Notes in Eco. and Math. Sys., Springer-
Verlag, Berlin, Heidel-berg, Vol. 177, pp. 1-11.
[10] R.E. Steuer (1986), "Multiple criteria optimization: Theory,
computation and application", Wiley, New York.
[11] M. Laumanns, L. Thiele, E. Zitzler (2006), "An efficient, adaptive parameter variation scheme for metaheuristics based on the epsilon-constraint
method",Eur. J. Oper. Res., Vol. 169(3), pp. 932-942.
[12] T. Ralphs, M. Saltzman, M.M. Wiecek (2006), An improved algorithm for solv-ing biobjective integer programs, Ann. Oper. Res., Vol. 147, pp. 43- 70.
[13] K. D¨achert, K. Klamroth (2015), "A linear bound on the number of
scalariza-tions needed to solve discrete tricriteria optimization problems", J.
Glob. Optim.,Vol. 61(4), pp. 643-676.
[14] C. Dhaenens, J. Lemesre, E.G. Talbi (2010), "K-PPM: A new exact
method to solve multiobjective combinatorial optimization problems", Eur. J.
Oper. Res.,Vol. 200(1), pp. 45-53.
[15] J. Lemesre, C. Dhaenens, E.G. Talbi (2007), "Parallel partitioning
method (PPM): A new exact method to solve bi-objective problems", Comput.
Oper.Res., Vol. 34(8), pp. 2450-2462.
[16] J. Sylva, A. Crema (2004), "A method for f inding the set of non-
dominated vec-tors for multiple objective integer linear programs", Eur. J.
Oper. Res., Vol. 158(1), pp. 46-55.
[17] B. Lokman, M. K¨oksalan (2013), "Finding all nondominated points of multiob-jective integer programs", J. Glob. Optim., Vol. 57(2), pp. 347-365.
¨
[18] M. Ozlen, M. Azizo˘glu (2009), "Multi-objective integer programming: a
general approach for generating all non-dominated solutions", Eur. J. Oper.
Res., Vol. 199, pp. 25-35.
[19] W. Zhang, M. Reimann (2014), "A simple augmented ε-constraint method for
multi-objective mathematical integer programming problems", Eur. J. Oper.
Res., Vol. 234(1), pp. 15-24.
[20] G. Mavrotas (2009), "Effective implementation of the ε-constraint method in
multiobjective mathematical programming problems", Appl. Math. Comput.,
Vol. 213(2), pp. 455-465.
[21] G. Mavrotas, K. Florios (2013), "An improved version of the augmented ε- constraint method (AUGMECON2) for f inding the exact Pareto set in multiob-
jective integer programming problems", Appl. Math. Comput., Vol. 219(18),
pp.9652-9669.
[22] G. Kirlik, S. Sayın (2014), "A new algorithm for generating all nondominated points of multiobjective discrete optimization problems", Eur. J. Oper. Res., Vol.
232, pp. 479-488.
[23] K. D¨achert, K. Klamroth, R. Lacour D. Vanderpotten (2017),
"Efficient compu-tation of the search region in multi-objective optimization", Eur. J. Oper. Res.,Vol. 160, pp. 841-855.
[24] K. Klamroth, R. Lacour, D. Vanderpooten (2015), "On the
representation of the search region in multi-objective optimization", Eur. J.
Oper. Res., Vol. 245, pp. 767-778.
[25] A. Przybylski, X. Gandibleuc, M. Ehrgott (2009), "A two phase method for multi-objective integer programming and its application to the assignment prob-lem with three objectives", Discrete Optimization, Vol. 7, pp. 149-165.