Hình 1.5 minh họa hình học của Mệnh đề 1.9 trong R2.
Hệ quả 1.1. (Xem [2, Hệ quả 11.1, trang 398]) Mọi tập chuẩn compact là giao của
một họ các đa khối. Nói cách khác, mỗi tập chuẩn compact đều có thể được xấp xỉ bởi một đa khối với độ sai khác tùy ý.
Từ những kết quả trên ta thấy rằng bài toán (MO’) có thể được giải bằng cách xấp xỉ ngoài miền chấp nhận được bởi dãy các đa khối lồng nhau {Pk}k∈N thỏa mãn
[a, b] = P0 ⊃ P1 ⊃ · · · ⊃ G ∩ H,
và
max{f(x) | x ∈ P k } & max{f (x) | x ∈ G ∩ H} khi P
Nội dung của thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối được mô tả chi tiết trong [43, 42]. Một trong những vấn đề mấu chốt của thuật toán đó
là cách xây dựng dãy {Pk }k∈N . Quy tr ình này được mô tả như sau. Đặt P0 = [a, b] ⊃ G. Giả sử tại bước lặp k ta đã có
P k⊃ G với tập đỉnh Tk. Đặt Tk0 = Tk ∩ H. Nếu Tk0 = ∅ thì bài toán không có nghiệm chấp nhận được và ta dừng thuật toán. Ngược lại, lấy zk ∈ argmax{f(x) | x ∈ T
k0}.
19
Vì f(x) là hàm tăng nên f (zk ) là giá trị cực đại của f(x) trên Pk ∩ H ⊃ G ∩ H. Nếu zk ∈ G thì dừng thuật toán vì z k ∈ G∩H
chính là nghiệm tối ưu của bài toán. Trường
hợp còn lại, zk ∈/ G thì ta tính xk = πG (zk ) và đặt Pk+1
Mệnh đề 1.6, [a, b] \ (x k , b] là một đa khối. Do đó P
k+1
mãn G ⊂ Pk+1 ⊂ Pk \ {zk}. Tiếp tục lặp lại quá trình trên ta sẽ thiết lập được dãy đa khối {Pk }k∈N thỏa mãn (1.7).
Cách làm trên khá giống với phương pháp xấp xỉ ngoài cho bài toán cực đại một hàm lồi trên một tập lồi. Vì vậy nó còn được gọi là Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối (xem [42, 43]). Dãy điểm {xk }k∈N được sinh ra trong quá trình xây dựng dãy đa khối {P k}k∈N ({P k }k∈N thỏa mãn (1.7)) sẽ hội tụ đến nghiệm của bài toán (MO’), tuynhiên sự hội tụ là khá chậm. Để tăng tốc thuật toán, các tác giả của bài báo [42] đề xuất phép cắt giảm hộp để thu gọn miền chấp nhận được và tính cận tốt hơn.
Ý tưởng của phép cắt giảm
Giả sử γ ∈ f(G ∩ H) là một giá tr ị chấp nhận được tốt nhất hiện tại. Ta cần kiểm tra xem liệu hộp [p, q] ⊂
[a, b] có khả năng chứa ít nhất một nghiệm tối ưu của bài toán (MO’) hay không, tức là tập
{x ∈ [p, q] | g(x) ≤ 0 ≤ h(x), f(x) ≥ γ}
có khác rỗng hay không. Nếu có thì tìm hộp nhỏ hơn [p0, q0] ⊂ [p, q] sao cho tập
{x ∈ [p0, q0] | g(x) ≤ 0 ≤ h(x), f (x) ≥ γ}
vẫn khác rỗng. Hộp [p0, q0] được gọi là γ−cắt giảm của hộp [p, q] và được kí hiệu là
redγ [p, q].
Chú ý rằng nếu g(q) ≥ 0 thì với mọi x ∈ [p, q] thỏa mãn (1.8) đường thẳng nối x và q giao với mặt g(.) = 0 tại điểm x 0 ∈ [p, q] thỏa mãn
g(x0) = 0 ≤ h(x 0
), f(x 0) ≥ f (x) ≥ γ.
Do đó hộp [p0, q0] sẽ chứa tất cả các điểm x ∈ [p, q] thỏa mãn g(x) = 0 ≤ h(x), f (x) ≥ γ, tức là thỏa mãn
g(x) ≤ 0 ≤ h γ (x) = min{g(x), h(x), f (x) − γ}.
Mệnh đề sau cho ta cách xác định [p0, q0] = red γ [p, q].
Mệnh đề 1.10. (Xem [2, Bổ đề 11.1, trang 400])
(i) Nếu g(p) > 0 hoặc hγ (q) < 0 thì không tồn tại x ∈ [p, q] thỏa mãn (1.9).
20
(ii) Nếu g(p) ≤ 0 thì hộp [p, q0] với q0 = p +
α i = sup{α | 0 ≤ α ≤ 1, g(p + α(q
vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp [p, q] thỏa (1.9). (iii) Nếu g(p) ≤ 0 ≤ h γ (q) thì hộp [p0, q0] với p0
βi = sup{β | 0 ≤ β ≤ 1, h γ (q0 − β(q i0 − p i )ei ) ≥ 0}, i = 1, . . . , n, vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp [p, q] thỏa (1.9).
Đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc (DMO), phép γ−cắt giảm có thể được điều chỉnh phù hợp với tập S. Để có thể cắt hộp [p, q] gọn hơn trường hợp bài toán tối ưu liên tục (MO), ta cần khái niệm S-hiệu chỉnh dưới đây.
Xét hộp [p, q] ⊂ [a, b], x ∈ [p, q]. Phép S-hiệu chỉnh dưới của x là điểm
bxcS ∗ = x,˜ với x˜
và phép S-hiệu chỉnh trên của x là điểm
dxeS ∗ = x,ˆ với xˆ
Dựa trên [42, Mệnh đề 13], đối với bài toán (DMO), hộp [p, q] sau khi được γ−cắt giảm và
S−hiệu chỉnh trở thành redSγ∗ [p, q] = [dp0eS ∗ , bq0cS ∗ ] (tất nhiên, trong trường hợp redγ [p, q] 6= ∅,
nghĩa là g(p) ≤ 0 ≤ hγ (q)). Do đó thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (MO) có thể được mở rộng cho bài toán (DMO) cùng với phép toán γ−cắt giảm và S−hiệu chỉnh. Chi tiết thuật toán cùng sự hội tụ của thuật toán (xem[42, Thuật toán 1 và Định lí 15]).
Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát và thuật toán nhánh-
giảm-cận Xét bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát
max{f(x) | g(x) − h(x) ≤ 0, x ∈ [a, b] ∩ S ∗}, (DDM)
trong đó f(x) = f + (x) − f − (x) và f + , f − , g, h : R n
+ → R là các hàm tăng, S ∗ = {x ∈ [a, b] | (x 1, . . . , x s ) ∈ S} với S là một tập rời rạc trong R s
+ . Để áp dụng đượcThuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (DDM) trước hết ta cần đưa nó về dạng chính tắc như bài toán (DMO). Việc này sẽ làm tăng số chiều của biến quyết định, không những vậy, sau mỗi bước lặp số đỉnh của đa khối tăng lên rất nhanh chóng. Lí
21
do là thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối có thể xem như thuật toán nhánh cận với phép chia n (mỗi nút được chia thành n nút con, n là số chiều của biến quyết định). Vì vậy các tác giả của bài báo [42] đã đề xuất một thuật toán có thể giải trực tiếp cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát. Đó là thuật toán nhánh-giảm-cận. Ba kĩ thuật quan trọng trong thuật toán này là phép chia nhánh, phép cắt giảm và phép tính cận. Các kĩ thuật này được mô tả chi tiết như dưới đây.
CHIA NHÁNH: Một trong những cách chia hộp phổ biến thường được sử dụng trong các lược đồ nhánh cận là phép chia đôi. Giả sử M = [p, q], xác định
iM ∈ {1, ..., n} thỏa qiM −piM = maxi∈{1,...,n} (qi−pi ); đặt riM = (qiM +piM )/2 và chia M thành hai hộp con
M + = {x ∈ M|x
M− = {x ∈ M|x
iM
iM
CẮT GIẢM: Giống như phép cắt giảm cho thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối, đối
với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc thủ tục cắt giảm có hai giai đoạn: γ−cắt giảm và S−hiệu chỉnh. Tức là nếu γ là giá trị chấp nhận được tốt nhất hiện tại thì tính [p0, q0] = red γ [p, q] và sau đó redSγ ∗ [p, q] = [dp0eS ∗ , bq0cS∗ ]. Việc tính p0, q0 cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc đã được cụ thể hóa trong Mệnh đề1.10, đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát (DDM) ta có thể tính trực tiếp p0, q0 thông qua mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.11. (Xem [42, Bổ đề 16]) Giả sử bài toán (DDM) có ít nhất một nghiệm chấp nhận được x ∈ [p, q] thỏa f (x) ≥ γ. Khi đó
h(q) − g(p) ≥ 0, f +
(q) − f − (p) ≥ γ.
Hơn nữa tất cả những điểm x như vậy phải nằm trong hộp [p 0, q0] với
p 0 = q −
trong đó
αi= sup{α|0 ≤ α ≤ 1,h(q − α(q
βi= sup{β|0 ≤ β ≤ 1,g(p
với mọi i = 1, . . . , n.
TÍNH CẬN: Với hộp M = [p, q] cho trước, tại mỗi bước lặp cần tính cận trên ω(M) thỏa
ω(M) ≥ γ(M) = max{f(x) | g(x) − h(x) ≤ 0, x ∈ M ∩ S ∗}.
Theo [42] để đảm bảo được tính hội tụ của thuật toán, với mọi dãy hộp {Mkν }ν∈N thắt dần2 về điểm x ∗, điều kiện sau cần
được thỏa mãn
lim ω(Mkν ) = f (x∗ ).
ν→+∞
Đối với bài toán (DDM), một cách lấy cận trên đơn giản nhất và đảm bảo tính hội tụ của thuật toán là ω(M) = f + (q) − f − (p). Tuy nhiên cách này chưa chắc đã hiệu quả. Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta có cách tính cận phù hợp sao cho thuật toán chạy nhanh nhất có thể. Sau đây là chi tiết thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán (DDM) (xem [42, Thuật toán 2]).
Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán (DDM)
Khởi tạo: Đặt P1 := {M1}, M1 = [a, b], R1 = ∅. Gọi CBV là giá trị hàm mục tiêu tốt nhất hiện tại. Gán k := 1. Bước 1. Với mỗi hộp [p, q] ∈ Pk , nếu h(q) − g(p) < 0 thì loại hộp [p, q] ra khỏi tập Pk , ngược lại gán [p, q] := redSγ∗
[p, q].
Bước 2. Nếu Pk 6= ∅, với mỗi hộp M ∈ Pk tính cận trên ω(M) thỏa mãn (1.18). Ngược lại, chuyển sang Bước 3.
Bước 3. Cập nhật CBV mới và đặt Rk+1 = {B ∈ Rk ∪ Pk |ω(B) ≥ CBV },
Bước 4. Nếu Rk+1 = ∅ thì dừng thuật toán: nếu CBV = −∞ thì bài toán không có nghiệm chấp nhận được nào, ngược
lại x¯ là nghiệm tối ưu của bài toán với
f(¯x) = CBV.
Bước 5. Nếu R 6= ∅ lấy M ∈ argmax{ω(M ) | M ∈ R
k+1 k
hai hộp Mk1 , Mk2 theo quy tắc đã trình bày ở trên.
Đặt P k+1 k := k + 1 và quay lại Bước 1.
k+1}. Chia Mk thành
= {Mk1 , Mk2 }. Gán
Định lí sau đảm bảo sự hội tụ của thuật toán BRB.
2Dãy hộp {Mkν }ν∈N được gọi là thắt dần về điểm x ∗ nếu Mk1 ⊃ Mk2 ⊃ · · · ⊃ {x∗ } và
lim d(Mkν ) = 0, trong đó d(M
ν→+∞
Định lí 1.4. (Xem [42, Định lí 17]) Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán (DDM) dừng sau hữu hạn bước lặp và cho kết quả là: nghiệm tối ưu; hoặc tính không chấp nhận được của bài toán; hoặc (trong trường hợp s < n) thuật toán sinh ra một dãy vô hạn các nghiệm chấp nhận được hội tụ đến nghiệm tối ưu của bài toán.
Kết luận
Chương này đã tr ình bày một số kết quả cơ bản liên quan đến hai bài toán tiêu biểu của tối ưu không lồi là tối ưu DC và tối ưu đơn điệu. Cụ thể là:
• Với bài toán tối ưu DC, các khái niệm cơ bản quan trọng trong tối ưu nói chung và tối ưu DC nói riêng như: hàm lồi chính thường, hàm liên hợp và dưới vi phân đã được nhắc lại cùng một số kết quả liên quan đến điều kiện tối ưu của bài toán DC và thuật toán DCA.
• Với tối ưu đơn điệu, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản như: tập chuẩn, đối chuẩn, đa khối, đối đa khối, đa khối nửa mở, đối đa khối nửa mở,... và một số kết quả liên quan. Một số dạng khác nhau của bài toán tối ưu đơn điệu cùng thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc và thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát cũng được nhắc lại.
24
Chương 2
THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI TRONG VIỄN THÔNG
Trải qua hơn một thế kỉ, ngành viễn thông đã mang lại cho con người rất nhiều lợi ích và ngày càng khẳng định được vai trò quan trọng của nó trong bối cảnh của cuộc cách mạng công nghệ 4.0. Có thể nói, sự phát triển của viễn thông có đóng góp đáng kể của toán học nói chung và lí thuyết tối ưu nói riêng. Trên thực tế, các bài toán tối ưu trong xây dựng và điều khiển mạng viễn thông thuộc vào lớp các bài toán tối ưu không lồi. Nhiều bài toán đã được giải quyết một cách trọn vẹn, tuy nhiên vẫn còn rất nhiều bài toán mở. Một thuật toán toàn cục hiệu quả hoặc một phương pháp tối ưu địa phương tốt luôn là đích đến của các nhà mạng. Trong chương này chúng tôi trình bày hai bài toán như vậy và đề xuất thuật toán toàn cục để giải chúng.
Trong Mục 2.1, chúng tôi xây dựng mô hình toán học cho bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD và đề xuất thuật toán toàn cục nhánh cận kết hợp DCA giải bài toán này.
Mục 2.2 xét bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến. Xuất phát từ mô hình bài toán tối ưu không lồi xây dựng bởi Astorino và Miglionico [39], chúng tôi đưa bài toán này về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc và đề xuất thuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận cải tiến và một thuật toán tìm nghiệm tối ưu địa phương cho bài toán.
Kết quả tính toán thử nghiệm cho thấy được sự hiệu quả của các thuật toán đề xuất. Nội dung chính của Mục 2.1 và Mục 2.2 là kết quả tương ứng trong các bài báo [1] và [3] trong Danh mục các công tr ình đã công bố của luận án. 2.1 Thuật toán giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không
dây OFDMA/TDD
Kĩ thuật truyền phát OFDMA/TDD (Orthogonal Frequency Division Multiple Access/ Time Division Duplexing) ngày nay được ưa chuộng và ứng dụng rộng rãi trong công nghệ mạng không dây băng thông rộng thế hệ thứ tư như: mạng Wimax (Worldwide Interoperability for Microwave Access) hay LTE (Long Term Evolution). OFDMA là tổ hợp của TDMA và FDMA (trong đó dữ liệu có thể được truyền đồng
25
thời trong một miền thời gian và miền tần). Với người khai thác mạng viễn thông, việc tận dụng các kênh truyền dữ liệu một cách hiệu quả rất quan trọng vì nguồn tài nguyên vô tuyến là hữu hạn, hơn nữa lại ảnh hưởng tới lợi nhuận thu được. Người sử dụng thì quan tâm tới chất lượng dịch vụ (Quality of Ser vice hoặc QoS) sao cho việc liên lạc không bị ngắt hoặc gián đoạn trong bất kì thời điểm nào. Bài toán đặt ra cho các nhà cung cấp mạng là làm sao cải tiến, tối đa hóa được thông lượng đường truyền nhằm nâng cao chất lượng dịch vụ trong khi vẫn đảm bảo lợi nhuận thu được (xem [48, 49]). Để đạt được điều này nhà cung cấp mạng có thể khai thác một chức năng của lớp MAC (Media Access Control) của hệ thống mạng OFDMA đó là chức năng phân bổ tài nguyên vô tuyến. Theo đó, tài nguyên vô tuyến được phân bổ cho người dùng sao cho tối đa được thông lượng đường truyền. Một số công trình liên quan đến vấn đề này được nghiên cứu gần đây (xem [50, 51, 52, 53]...). Trong các công trình này, bài toán tối ưu tài nguyên mới chỉ được xem xét dưới góc độ của người kĩ sư vô tuyến, thực hiện triển khai theo kinh nghiệm cá nhân. Một số tiếp cận theo hướng heur istic1 đã được đề xuất, tuy nhiên chất lượng của nghiệm thu được rất khó để đánh giá. Trong luận án này, chúng tôi bước đầu xây dựng mô hình toán học cho bài toán được quan tâm - bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD. Tiếp đó chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận toàn cục dựa trên tối ưu DC với kĩ thuật hàm phạt được nhúng trong một sơ đồ nhánh cận để giải bài toán trên. Các kết quả thử nghiệm số cho thấy tính hiệu quả của thuật toán đề xuất.
2.1.1 Mô tả bài toán
Giả sử trên một mạng không dây OFDMA/TDD có K người dùng, chia sẻ M
kênh con (sub-channel) và N khe thời gian (time slot). Khi người dùng nào đó cần sử dụng dịch vụ, anh ta cần được cấp phát một lượng tài nguyên phù hợp. Nếu trong cùng thời điểm hoặc tại cùng một khe thời gian có nhiều hơn một người dùng thì có thể xảy ra những xung đột. Xem minh họa ở Hình 2.1.
Kí hiệu bijk , 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N, 1 ≤ k ≤ K là lượng dữ liệu mà người dùng k
cần gửi đi nếu anh ta được cung cấp kênh con i tại khe thời gian j. Bài toán
đặt ra là tìm cách phân bổ tài nguyên vô tuyến cho khung OFDMA/TDD này sao cho băng thông được sử dụng một cách hiệu quả nhất (xem [54]). Tức là tổng lượng dữ liệu được truyền đi lớn nhất.
Việc truyền dữ liệu phải thỏa mãn hai điều kiện:
• Tại một thời điểm (đặc trưng bởi một khe thời gian) và một kênh con nào đó sẽ có tối đa một người dùng (điều này để tránh xung đột giữa các người dùng).
• Tài nguyên (dữ liệu) cấp cho các người dùng sẽ có dạng hình chữ nhật (theo tiêu chuẩn IEEE802.16e của mạng WiMAX).
1Từ này có thể được dịch ra tiếng Việt là "trực cảm".
26