2 TÍNH XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN TỰA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN
2.4 Tính xấp xỉ của nền kinh tế thuần túy trao đổi
đổi
Xét nền kinh tế thuần túy trao đổi gồm n đại lý, mỗi đại lý được gán một chỉ số i ∈
I := {1, . . . , n} và l mặt hàng, mỗi mặt hàng được đánh số thứ tự
j ∈ J := {1, . . . , l}. Ta ký hiệu eij và xij lần lượt là số lượng mặt hàng j được sở hữu và tiêu thụ bởi đại lý i. Khi đó, ei := (ei1, . . . , eil ) ∈ Rl+ và xi := (xi1, . . . , xil ) ∈ Rl+ lần lượt là các véctơ đặc trưng cho lượng hàng hóa ban đầu và lượng tiêu thụ của đại lý
i và x := (x1, . . . , xn) ∈ Rn×l đại diện cho lượng tiêu thụ của thị trường. Giả sử rằng mỗi đại lý i đại diện cho sản phẩm j mà eij > 0 với mọi j ∈ J. Với mỗi sản phẩm j ∈ J, có giá không âm pj tương ứng. Ký hiệu p := (p1, . . . , pl)∈ Rl+ là véctơ giá và p thuộc tập
∑l
P := {p ∈ Rl+| pj = 1}.
j=1
Trong mô hình kinh tế thuần túy trao đổi, các đại lý tác động với nhau theo quy luật cung cầu nhằm xác định giá cả, số lượng hàng hoá và các dịch vụ trên thị trường. Khi đó, mỗi xi sẽ có hàm lợi nhuận ui : Rl+→ R tương ứng. Vì các đại lý đều mong muốn có tỷ suất lợi nhuận tối đa nên ta có bài toán tối ưu, với mọi i ∈ I và với mọi p ∈ P ,
tìm x¯i ∈ Mi(p) sao cho ui(¯xi) = max ui(xi),
xi∈Mi(p)
ở đó ánh xạ đa trị Mi : P ⇒ Rl+ được cho bởi công thức
Mi(p) := {xi ∈ Rl+| p, xi ≤ p, ei }
là tập ràng buộc về ngân sách của đại lý i ứng với giá p. ∏
Với p¯ ∈ P và x¯ ∈ i∈I Mi(¯p), véctơ (¯p, x¯) được gọi là điểm cân bằng cạnh tranh của nền kinh tế thuần túy trao đổi nếu
ui(¯xi) = max ui(xi), với mọi i ∈ I,
37 ∑
(¯xij − eij ) ≤ 0, với mọi j ∈ J.
i∈I
Ta có nhận xét, với mọi p ∈ P , nếu xˆ ∈ Rn×l sao cho, với mọi i ∈ I, xˆi là nghiệm của bài toán tối ưu
max ui(xi),
xi∈Mi(p)
thì luật cân bằng Walras thỏa mãn theo nghĩa mở rộng, cụ thể là ∑
p, (ˆxi − ei) ≤ 0.
i∈I
Khi bất đẳng thức này xảy ra dấu bằng thì luật cân bằng Walras thỏa mãn theo nghĩa hẹp, tức là
∑
p, (ˆxi − ei) = 0. (2.11)
i∈I
Với mọi i ∈ I, ta xét ánh xạ đa trị Gi : R+l ⇒ Rl được cho bởi công thức
Gi(xi) := { ¯i
(0, 1) nếu xi ∈ argminB+l (−ui), B
conv(N−aui (xi) ∩ Si(0, 1)) trong trường hợp ngược lại,
Đặt M(p) := (M1(p), . . . , Mn(p)), G(x) := (G1(x1), . . . , Gn(xn)) và u := (u1, . . . , un). Ký hiệu PEE(u, P × M) là bài toán tìm các điểm cân bằng cạnh tranh và P là tập nghiệm của PEE(u, P × M). Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân đa trị tương ứng với bài toán PEE(u, P × M) là QVI(G, P × M) được xác định như sau
tìm (¯p, x¯) ∈ P × M(¯p) và h ∈ G(¯x) sao cho
∑ ∑
hi, xi − x¯i + (ei − x¯i), p − p¯ ≥ 0, với mọi (p, x) ∈ P × M(¯p).
i∈I i∈I
Mối quan hệ tương đương giữa điểm cân bằng cạnh tranh và nghiệm của tựa bất đẳng thức biến phân đa trị được trình bày trong bổ đề sau, xem Định lý 3.2 trong [14].
Bổ đề 2.4.1. Giả sử rằng ui là liên tục và tựa lõm nửa chặt với mọi i ∈ I và (2.11) thỏa. Khi đó, (p, x) ∈ P × M(p) là cân bằng cạnh tranh của PEE(u, P × M) khi và chỉ khi (p, x) là nghiệm của QVI(G, P × M).
Ta xét dãy nền kinh tế thuần túy trao đổi PEE(uν , P × Mν ) xấp xỉ, ở đó Mν , uν được định nghĩa tương tự như M, u. Ký hiệu Pν là các tập các điểm cân bằng cạnh tranh của PEE(uν , P × Mν ).
Định lý 2.4.2. Giả sử rằng, với mỗi i ∈ I, các điều kiện sau đây thỏa (i) ui và uνi là liên tục và tựa lõm nửa chặt và (2.11) thỏa;
(ii) Gν có đồ thị bị chặn phần cuối và Gν hội tụ graph đến G;
(iii) Mν là lồi và Lipschitz trên P với cùng hằng số L thuộc [0, 1) và M bị chặn;
(iv) domM ⊆ domG và domMν ⊆ domGν với ν đủ lớn.
Khi đó, Pν P−K P. −−−→
Chứng minh. Từ (i), áp dụng Bổ đề 2.4.1, ta có (p, xν ) là nghiệm của PEE(uν , P × Mν ) khi và chỉ khi (p, xν ) là nghiệm của QVI(Gν , P × Mν ). Áp dụng Mệnh đề 4.2 trong [14] và (i), ta có Gν và G có giá trị lồi compắc. Theo Mệnh đề 1 trong [31], với mọi i ∈
I, Mi có giá trị lồi compắc và Miν −→c Mi trên P suy ra Mν −→c M trên P .
Do đó, các giả thiết của Định lý 2.2.5 thỏa mãn. Suy ra, Pν P−K P.
−−−→
Định lý 8.4 của A. Jofré và R. J. B. Wets [33] là trường hợp riêng của Định lý 2.4.2 cho nền kinh tế thuần túy trao đổi với lớp hàm lợi nhuận lõm.
Ví dụ 2.4.3. Chúng ta xét nền kinh tế thuần túy trao đổi gồm hai đại lý và hai mặt hàng. Giả sử rằng lượng hàng sở hữu bởi hai đại lý lần lượt là e1 = (6, 2) và e2 = (2, 4). Hàm lợi nhuận của mỗi đại lý lần lượt được cho như sau:
u1(x1) = x11.x12 và u2(x2) = x21.x22.
Vì u1 và u2 là các hàm Cobb-Douglas nên tựa lõm nửa chặt (xem [14]). Áp dụng giải thuật tìm điểm cân bằng Walras, ta tìm được giá cân bằng p¯ = (37, 47 ) và điểm cân bằng x¯ = ((133,134 ), (113, 114 )).
Do đó, P = {p ∈ R2+| p1 + p2 = 1}. Với p¯ = (37, 47 ), M1(¯p) = {x1 ∈ R2+| 3x11 + 4x12≤ 26} và M2(¯p) = {x2∈ R2+| 3x21 + 4x22≤ 22}. Với x¯1 = (133,134 ), ta có
39
La−u1 (¯x1) = (133 , 134 ) + R2+, N−au1 (¯x1) = −R2+ và G1(¯x1) = {h ∈ R2−| h21 + h22≤ 1, h1 +
h2≤ −1}. Với x¯2 = (113, 114 ), ta có La−u2 (¯x2) = (113,114 ) + R2+, N−au2 (¯x2) = −R2+
và G2(¯x2) = {h ∈ R2−| h21 + h22≤ 1, h1 + h2≤ −1}.
Ta kiểm tra rằng (¯p, x¯) là nghiệm của QVI(G, P ×M). Với h = ((−12, −12 ), (−12, −12 )) ∈ G(¯x) ta có, với mọi (p, x) ∈ P × M(¯p), h1, x1− x¯1 + h2, x2− x¯1 = 1 [8 − (x11 + x12 )] + 1 [6 − (x21 + x22 )] ≥ 0 2 2 và (e1− x¯1) + (e2− x¯2) = (0, 0). Do đó, ∑2 ∑2 hi, xi − x¯i + (ei − x¯i), p − p¯ ≥ 0, ∀(p, x) ∈ P × M(¯p). i=1 i=1
Hơn nữa chúng ta có thể xấp xỉ θi bởi một dãy các hàm tựa lõm nửa chặt hội tụ liên tục đến θi tương ứng với M
ν ¯
:= M ∩ B(0, ν). Khi đó, các điều kiện của Định lý 2.4.2 được đảm bảo nếu tập mức điều chỉnh của các hàm xấp xỉ thỏa điều kiện dưới trơn phù hợp. Vì vậy, các tập điểm cân bằng Walras của các nền kinh tế thuần túy trao đổi xấp xỉ sẽ hội tụ đến điểm cân bằng của bài toán gốc.