2 TÍNH XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN TỰA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN
2.2 Tính xấp xỉ của bài toán tựa bất đẳng thức biến phân đa trị
biến phân đa trị
Xét hai ánh xạ đa trị T : Bm ⇒ (Bm)∗ và K : Bm ⇒ Bm. Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân đa trị được định nghĩa như sau:
QVI(T, K) tìm x¯
¯ ¯
∈ K(¯x) sao cho ∃t
∈ T (¯x), ∀y ∈ K(¯x), t, y − x¯ ≥
0. Xét song hàm φˆ : Fix(K) × Bm → R ∪ {∞} tương ứng với QVI(T, K) được cho bởi công thức
φˆ(x, y) := sup t, y − x . (2.3)
t∈T (x)
Với mỗi x ∈ Fix(K) cố định, rõ ràng φˆ(x, ·) lồi trong Bm.
Để chứng minh kết quả chính của mục này, chúng ta cần một số kết quả bổ trợ sau đây.
Bổ đề 2.2.1. Xét bài toán QVI(T, K), nếu domK ⊆ domT và φˆ xác định bởi (2.3). Khi đó, ∂φˆ(x, ·)(x) = clconvT (x) với mọi x ∈ Fix(K) trong đó ∂ là dưới vi phân của hàm lồi.
Chứng minh. Trường hợp 1: T (x) lồi và đóng với mỗi x ∈ Fix(K) cố định. Vì φˆ(x, x) = 0, φˆ(x, y) − φˆ(x, x) = φˆ(x, y) ≥ t, y − x với mọi t ∈ T (x) và y ∈ Bm nên ta có
T (x) ⊆ ∂φˆ(x, ·)(x). (2.4) Để chứng minh chiều ngược lại của bao hàm này, ta giả sử t0 ∈/ T (x). Áp dụng định lý tách, tồn tại y¯∈ Bm sao cho
sup t, y¯ < t0, y¯ . (2.5)
t∈T (x)
Đặt y0 = x + y¯. Bất đẳng thức (2.5) trở thành
sup t, y0− x < t0, y0− x ,
27 nghĩa là φˆ(x, y0) − φˆ(x, x) < t0, y0− x . Mặt khác, vì t0∈/ ∂φˆ(x, ·)(x) nên ∂φˆ(x, ·)(x)⊆ T (x). (2.6) Kết hợp (2.4) và (2.6) ta có ∂φˆ(x, ·)(x) = T (x).
Trường hợp 2: Cho T (x) tùy ý với mỗi x ∈ Fix(K). Ta cần chứng minh
φˆ(x, y) = supt∈B t, y − x với mọi y ∈ Bm, ở đó B := clconvT (x). Thật vậy, với mỗi cặp x, y ∈ Bm,
T (x) ⊆ H := {t ∈ (Bm)∗| t, y − x ≤ φˆ(x, y)}.
Vì H là nửa không gian đóng nên B ⊆ H. Do đó, supt∈B t, y − x ≤ φˆ(x, y). Chiều ngược lại của bất đẳng thức hiển nhiên. Áp dụng kết quả của trường hợp 1, ta có ∂φˆ(x, ·)(x) =
B = clconvT (x).
Lưu ý rằng có nhiều công thức tổng quát cho dưới vi phân của cận trên nhỏ nhất theo điểm của các hàm phi tuyến với các giả thiết về tính chất compắc. Tuy nhiên, kết quả của bổ đề trên cho lớp hàm phi tuyến đặc biệt của chúng tôi không cần thêm điều kiện gì cho ánh xạ T .
Trong phần tiếp theo chúng ta xét song hàm có giá trị hữu hạn tương ứng với bài toán QVI(T, K) khi T và K có giá trị lồi đóng như sau, với x ∈ Fix(K) và y ∈ K(x),
φ(x, y) := sup t, y − x . (2.7)
t∈T (x)
Khi đó x¯ là điểm maxinf của φ ứng với Fix(K), K(·) là
x ∈ argmaxx∈Fix(K)[ inf φ(x, y)]. ¯ y∈K(x) Đặt { φ(¯x, x) với x ∈ K(¯x), φˆ(¯x, x) := ∞ ngược lại.
Quan hệ tương đương giữa nghiệm của tựa bất đẳng thức biến phân đa trị và điểm maxinf của song hàm tương ứng được trình bày trong định lý sau đây.
Định lý 2.2.2. Xét bài toán QVI(T, K), giả sử rằng domK ⊆ domT , K và T có giá trị lồi đóng. Khi đó,
(a) x¯ là nghiệm của bài toán QVI(T, K) nếu và chỉ nếu x¯ là điểm cực tiểu toàn cục của φ(¯x, ·) trên K(¯x);
(b) x¯ là nghiệm của bài toán QVI(T, K) nếu và chỉ nếu x¯ là điểm maxinf của φ ứng với Fix(K), K(·).
Chứng minh. (a) "Nếu". Với x¯ ∈ argrminK(¯x)φ(¯x, ·), ta định nghĩa hai tập sau
A := {(t, x) ∈ R × K(¯x) : t > φ(¯x, x) − φ(¯x, x¯)} và B := {0} × K(¯x).
Dễ thấy rằng, A và B là hai tập lồi và A ∩ B = ∅. Do đó, theo định lý tách tập lồi, tồn tại (µ0, p0)∈ R × (Bm)∗ \ {(0, 0)} sao cho
µ0t + p0, x ≤ µ00 + p0, y , ∀(t, x)∈ A, ∀y ∈ K(¯x). (2.8) Khi cho t → ∞, ta có thể thấy rằng µ0≤ 0. Nếu µ0 = 0 thì p0, x − y ≤ 0, ∀x, y ∈ K(¯x), khi đó p0, z ≤ 0 với mọi z ∈ K(¯x) − K(¯x). Vì K(¯x) − K(¯x) là không giancon nên p0
= 0, là điều vô lý. Do đó, µ0< 0. Chia hai vế (2.8) cho −µ0> 0 và dùng
ký hiệu p thay thế cho −p0 , khi đó ta có
µ 0 −t + p, x ≤ p, y , ∀x, y ∈ K(¯x). Khi cho t → φ(¯x, x) − φ(¯x, x¯), −[φ(¯x, x) − φ(¯x, x¯)] + p, x ≤ p, y , ∀x, y ∈ K(¯x). (2.9) Cho y = x¯, khi đó (2.9) trở thành −[φ(¯x, x) − φ(¯x, x¯)] + p, x ≤ p, x¯ , ∀x ∈ K(¯x). Suy ra φˆ(¯x, x¯) − φˆ(¯x, x) + p, x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Bm,
29
nghĩa là p ∈ ∂φˆ(¯x, ·)(¯x). Mặt khác, khi cho x = x¯, (2.9) trở thành
p, y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ K(¯x),
suy ra p ∈ −NK(¯x)(¯x). Do vậy,
p∈ ∂φˆ(¯x, ·)(¯x) ∩ (−NK(¯x)(¯x)).
Áp dụng Bổ đề 2.2.1, ∂φˆ(¯x, ·)(¯x) = T (¯x). Do đó, ∃p ∈ T (¯x) = ∂φˆ(¯x, ·)(¯x) sao cho p, y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ K(¯x), nghĩa là x¯ là nghiệm của QVI(T, K).
"Chỉ nếu". Ta có x¯ là nghiệm của QVI(T, K) tương đương với x¯ là nghiệm của VI(T, K(¯x)). Áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta có 0∈ ∂φˆ(¯x, ·)(¯x) + NK(¯x)(¯x)⇔ ∃p ∈ ∂φˆ(¯x, ·)(¯x) ∩ (−NK(¯x)(¯x)) { φˆ(¯x, x) − φˆ(¯x, x¯) ≥ p, y − x¯ , ∀y ∈ Bm, ⇔ p, y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ K(¯x) ⇒ φ(¯x, x) − φ(¯x, x¯) ≥ 0, ∀y ∈ K(¯x),
nghĩa là x¯ là điểm cực tiểu toàn cục của φ(¯x, ·) trên K(¯x).
(b) Với mỗi điểm bất động của K, ta có infy∈K(x)φ(x, y) ≤ φ(x, x) = 0. Áp dụng phần (a), x là điểm cực tiểu toàn cục của φ(x, ·) trên K(x) tương đương với
max inf φ(x, y) = 0. (2.10)
x∈ Fix(K) y∈K(x)
Ta có các kết quả tương đương như sau.
x¯ là nghiệm của QVI(T, K) ⇔ x¯ là điểm cực tiểu toàn cục của φ(¯x, ·) trên K(¯x)
x K) và inf φ(¯x, y) = 0
⇔ ¯∈ Fix( y K(¯x)
∈
⇔ x¯ ∈ Fix(K) và x¯ là max của inf φ(·, y) trên Fix(K)
y∈K(·)
⇔ x¯ là điểm maxinf của φ ứng với Fix(K), K(·).
Tiếp theo ta nhắc lại điều kiện đủ cho sự hội tụ các tập điểm bất động của các ánh xạ đa trị.
Bổ đề 2.2.3. (xem [61], Định lý 2.1) Cho C ⊆ Bm là tập compắc khác rỗng và các ánh xạ đa trị Gν , G đi từ C vào Bm. Giả sử rằng Gν và G có giá trị lồi compắc và Lipschitz trên C với cùng hằng số Lipschitz L ∈ [0, 1) và Gν →−c G trên C. Khi đó, Fix(Gν ) P −K Fix(G).
−−−→
Sau đây chúng ta xét điều kiện đủ cho sự hội tụ các miền hữu hiệu của các ánh xạ đa trị.
Bổ đề 2.2.4. Cho G và Gν , ν ∈ N, là các ánh xạ đa trị đi từ Bm vào Bm và Gν hội
tụ graph đến G. Khi đó, domGν P−K domG nếu Gν là ánh xạ lồi và G là ánh xạ bị −−−→
chặn hoặc Gν có đồ thị bị chặn phần cuối. Kết luận này vẫn đúng khi hội tụ graph được thay bởi hội tụ liên tục hoặc các dạng hội tụ này được thay bằng hội tụ trên
( ∪
ν∈N domGν ) ∪
domG.
Chứng minh. Xét P là phép chiếu từ Bm × Bm vào Bm sao cho domGν = P(gphGν ). Theo tính chất liên tục của P,
P(Liminfν gphGν ) ⊆ Liminfν P(gphGν ) và P(Limsupν gphGν ) ⊆ Limsupν P(gphGν ).
Ta chứng minh rằng bao hàm thức thứ hai ở trên xảy ra đẳng thức. Với mỗi x ∈
Limsupν P(gphGν ), tồn tại dãy con wνk ∈ gphGνk sao cho P(wνk ) → x khi k → ∞.
Xét Gν là ánh xạ lồi, áp dụng Định lý 4.25(a) trong [17], hội tụ graph của Gν trùng với hội tụ graph hoàn toàn. Do đó, dãy wνk phải bị chặn vì gphG bị chặn. Khi đó, tồn tại điểm tụ w ∈ Limsupν gphGν . Từ tính chất liên tục của P, P(w) = x. Vì
x được chọn tùy ý nên ta có P(Limsupν gphGν ) = Limsupν P(gphGν ). Suy ra Limsupν P(gphGν ) = P(gphG) ⊆ Liminfν P(gphGν ).
ν P − K ν P−K
Do đó, P(gphG )−−−→ P(gphG), nghĩa là domG −−−→ domG.
Trong trường hợp Gν có đồ thị bị chặn phần cuối, vì Gν hội tụ graph đến G nên dãy
wνk được xét trong trường hợp đầu cũng bị chặn và ta có chứng minh tương tự như trên.
Hơn nữa, vì hội tụ liên tục kéo theo hội tụ graph nên ta có kết luận tương tự cho các trường hợp còn lại.
31
Các xấp xỉ của QVI(T, K) có dạng như sau:
QVI(T ν , Kν ) tìm xν ∈ Kν (xν ) sao cho ∃tν ∈ T ν (xν ), ∀y ∈ Kν (xν ), tν , y − xν ≥ 0,
trong đó T ν : Bm ⇒ (Bm)∗ và Kν : Bm ⇒ Bm. Ta ký hiệu Q và Qν lần lượt là các tập nghiệm của QVI(T, K) và QVI(T ν , Kν ). Áp dụng Định lý 2.2.2(b), ta có Qν là tập các điểm maxinf của các song hàm có giá trị hữu hạn xác định bởi công thức sau
φν ( x, y ) := sup t, y − x t∈Tν (x) với x ∈ Fix(Kν ) và y ∈ Kν (x).
Điều kiện đủ cho Qν hội tụ Painlevé-Kuratowski đến Q được trình bày trong định lý sau đây.
Định lý 2.2.5. Với các bài toán QVI(T, K) và QVI(T ν , Kν ), giả sử rằng các điều kiện sau thỏa mãn
(i) T ν có giá trị lồi đóng, đồ thị bị chặn phần cuối và hội tụ graph đến T ; (ii) Kν , K là Lipschitz trên ( ∪
ν∈N Fix(Kν )) ∪
Fix(K) với cùng hằng số L ∈ [0, 1);
Kν là ánh xạ lồi có giá trị đóng, Kν c K trên Fix(Kν )
) ∪
Fix(K) và
(iii) K bị chặn; −→ ( ∪ν∈N
(iv) domK ⊆ domT và domKν ⊆ domT ν với ν đủ lớn. Khi đó, φ
ν
hội tụ lopside đến φ ứng với K
ν
, K và Q
ν P−K
−−−→ Q. Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.4, ta có domT
ν P − K ν P − K
−−−→ domT bởi (i) và domK −−−→ domK
bởi (iii). Từ các giả thiết (ii) và (iii), Bổ đề 2.2.3 chỉ ra rằng Fix(K
ν P − K
)−−−→ Fix(K). Ta cần chứng minh φν hội tụ lopside đến φ ứng với Kν , K (theo Định nghĩa 2.1.1, ta xem Kν và K lần lượt là các ánh xạ đi từ Fix(Kν ) vào Kν (Fix(Kν )) và từ Fix(K) vào
K(Fix(K)), tương ứng).
Trước tiên ta kiểm tra điều kiện (a) của Định nghĩa 2.1.1. Với mỗi xν ∈ Fix(Kν ) với
T ν (xν ) là ánh xạ đóng và tồn tại tập bị chặn B ⊆ (Bm)∗ chứa T ν (xν ) với mọi ν đủ ¯ν ( y ν ) ∈ T ν (x ν ) sao cho lớn. Do đó, tồn tại t φ ν (x ν , y ν ¯ν ν ), y ν − x ν ) = t (y ¯ν (yν ¯
và t ) (hoặc dãy con của nó) hội tụ đến t. Áp dụng Định lý 5.37 trong [67] về ¯
xấp xỉ của bao hàm thức, ta thấy rằng t phải là nghiệm đúng của bao hàm thức
x ∈ T−1(t¯ ), nghĩa là t¯ ∈ T (x). Do đó, limsupν φ ν (x ν , y ν ) = limsupν ¯ν (y ν), y ν − x ν ( t ¯ = t, y − x ≤ sup t, y − x t∈T (x) = φ(x, y) suy ra điều kiện (a) của Định nghĩa 2.1.1 thỏa mãn.
Để kiểm tra điều kiện (b) về hội tụ lopside, ta xét phần tử x¯ ∈ Fix(K). Với mỗi xν
∈ Fix(Kν ) mà xν → x¯ và mỗi yν ∈ Kν (xν ) sao cho yν → y, ta có y phải thuộc
¯
tập K(¯x). Vì T (¯x) compắc (theo giả thiết (i)), tồn tại t(y) ∈ T (¯x) sao cho ¯
φ(¯x, y) = t(y), y − x¯ .
Áp dụng lại Định lý 5.37 trong [67], ta có dãy x¯
ν ∈ Fix(K ν ¯ν∈ T ν(¯ x ν ) ) hội tụ về x¯ và t ¯ν ¯ ν ∈ K ν (x ν ) mà y ν → y, ta có sao cho t → t(y). Với mọi y
φ ν (¯ x ν , y ν ¯ν , y ν − x¯ ν . ) ≥ t
Khi lấy giới hạn theo liminf, ta được liminfν φ ν (¯ x ν, y ν ¯ν , y ν − x¯ ν ) ≥ lim infν ( t ¯ = t(y), y − x¯ = φ(¯x, y)
tức là điều kiện (b) của Định nghĩa 2.1.1 thỏa. Vậy φν hội tụ lopside đến φ .
Từ (iii), với các dãy x¯ν , x¯ được xét ở phần trên, mọi tập Kν (¯xν ) và K(¯x) đều được chứa trong một tập compắc nào đó của Bm với ν đủ lớn. Do đó, hội tụ lopside
33
của φν là chặt một phần. Tiếp theo, chúng ta áp dụng Định lý 2.2.2(b) để thay thế các tập nghiệm Qν , Q bằng các tập các điểm maxinf của φν và φ tương ứng. Vì hội tụ của dãy song hàm này là chặt một phần, Định lý 2.1.3(a) chỉ ra rằng Limsupν Qν ⊆ Q. Hơn nữa, vì Fix(Kν ) và Fix(K) đều được chứa trong một tập compắc nào đó của Bm với ν đủ lớn, điều kiện chặt hoàn toàn cũng thỏa mãn. Từ (2.10), supx∈Fix(K) infy∈K(x)φ(x, y) hữu hạn. Áp dụng Định lý 2.1.3(b), ta có
QνP−KQ.
−−−→
Theo sự hiểu biết của chúng tôi, các kết quả xấp xỉ đã được thiết lập cho các bài toán biến phân, xem [32, 33] hoặc cho bài toán cân bằng, xem [51] nhưng chưa công bố tương ứng cho các bài toán tựa biến phân. Định lý 2.2.5 là kết quả đầu tiên cho các bài toán tựa biến phân. Định lý 2.2.5 mở rộng Định lý 5.2 của A. Jofré và R. J. B. Wets [33] cho bài toán bất đẳng thức biến phân và Mệnh đề 5.4 của R. Lopez
[51] cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị bởi vì tập ràng buộc của các bài toán này không phụ thuộc vào biến quyết định.
Như đã trình bày trong phần giới thiệu, tựa bất đẳng thức biến phân đa trị là mô hình tổng quát của nhiều bài toán liên quan đến tối ưu. Sau đây, chúng ta trình bày các áp dụng cho trò chơi không hợp tác, mô hình kinh tế thuần túy trao đổi và mạng giao thông.