Bài toán chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy

Bài toán 17:

Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp. Tiếp điểm của (I) trên BC, CA,AB lần lượt là D, E, F. Gọi M, N, P lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF, BC), (DF, CA), (DE,AB). Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

Giải:

Xét cực và đối cực đối với (I)

Ta có EF là đường đối cực của A

Vì EF qua M  Đường đối cực của M đi qua A (theo định lý 1). (1) Mặt khác, vì D là tiếp điểm, MDC

 Đường đối cực của M sẽ đi qua D (2) Từ (1) và (2)  AD là đường đối cực của M.

Tương tự: ta chứng minh được

BE là đường đối cực của N

CF là đường đối cực của P

Xét tam giác ABC có E, F, D lần lượt nằm trên AC, AB, BC và

. . 1

FA DB EC

FB DC EA   (vì AF=AE, BF=BD, CD=CE theo tính chất tiếp tuyến) Nên theo định luật Ceva AD, BE, CF đồng quy

-48-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Bài toán 18: (Định lý Brianchon)

Chứng minh rằng nếu một hình lục giác ngoại tiếp một đường tròn (các cạnh của lục giác tiếp xúc với đường tròn) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của lục giác đó đồng quy tại một điểm ( điểm này được gọi là điểm

Brianchon) Giải:

Giả sử ABCDEF là một lục giác ngoại tiếp đường tròn. Các cạnh AB, BC,CD,DE, EF, FA lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại các điểm A1, B1, C1, D1,

E1, F1.

Các đường thẳng A1B1, B1C1, C1D1, D1E1, E1F1, F1A1 theo thứ tự là đường đối cực của các điểm B, C, D, E, F, A.

Theo định lý Pascal, lục giác A1B1C1D1E1F1 nội tiếp đường tròn nên có ba cặp cạnh đối diện A1B1 và E1D1, B1C1 và E1F1 , C1D1 và F1A1cắt nhau theo những giao điểm thẳng hàng.

Gọi OAB1 1E D G1 1, BC1 1E F H1 1, C D1 1F A1 1

Ta có BE, CF, AD lần lượt là các đường đối cực của điểm O, G, H mà O, G, H là các cực nằm trên một đường thẳng. Do đó theo định lý 2 suy ra AD, BE, CF đồng quy.

-49-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Bài toán 19:

Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại

D,E, F. Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt tại

M, P, N. Chứng minh rằng AM, BP, CN đồng quy.

Giải:

Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF và ABC.

Gọi H, K, L lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (NP, EF), (MN, FD), (MP, DE)

Theo bài 17, ta có H, K, L thẳng hàng (*)

Lại có DM, FN, EP đồng quy ( theo chứng minh trong bài 17) Nên HMEF 1 (theo bài 6 chương II)

Do đó, M thuộc đường đối cực của H đối với (O).

Mặt khác, EF là đường đối cực của A, HEF

 A thuộc đường đối cực của H đối với (O)

 MA là đường đối cực của H đối với (O). (1) Tương tự:

BP là đường đối cực của K đối với (O) (2)

CN là đường đối cực của L đối với (O) (3) Từ (1), (2), (3) và (*)  AM, BP, CN đồng quy (theo định lý 2).

-50-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Bài toán 20:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt lại CD ở P, đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt lại AB ở Q. Chứng minh rằng AC, PQ, BD

đồng quy. Giải:

Gọi S  ABCD, d là đường đối cực của S đối với (O),

I  ACBD.

Theo bài 13  I d (1) Lại có :

 SM SQ. SC SD. SA SB. và M là trung điểm của đoạn AB

nên theo hệ thức Maclaurin suy ra SQAB 1  S và Q liên

hợp đối với (O)  Q nằm trên đường đối cực của S hay Q d (2)

 SP SN. SA SB SD SC.  . và N là trung điểm của đoạn CD suy ra

SPDC 1  S và P liên hợp đối với (O)  P nằm trên đường đối cực của

S hay Pd (3)

Từ (1), (2) và (3)  Q, I, P thẳng hàng

 AC, BD, QP đồng quy tại I. (đpcm)