Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định

Bài toán 21:

Cho đường tròn tâm O và 1 đường thẳng d nằm ngoài (O). Một điểm S chạy trên d. Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm). Chứng minh rằng khi S chạy trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định.

Giải:

Xét cực và đối cực đối với đường tròn tâm O. Gọi I là cực của d. Vì d cố định nên I cố định.

Mà S thuộc d nên đường đường đối cực của S sẽ đi qua cực của d hay đường đối cực của S sẽ đi qua I.

-51-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Lại có AB là đường đối cực của S.

Suy ra AB đi qua điểm I cố định.

Bài toán 22: (Trích bài thi học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2004-2005)

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) cố định bán kính R. Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên (O) sao cho 3 điểm A, B, O không thẳng hàng. Xét một điểm C nằm trên đường tròn (O), C không trùng với A và B. Dựng đường tròn (O1) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC ở C, dựng đường tròn (O2) đi qua

B và tiếp xúc với đường thẳng AC ở C. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C. Chứng minh rằng:

a, CDR

b, Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn (O) sao cho C không trùng với A và B.

Giải:

-52-

SVTH: Nguyễn Thị Thương Tương tự O C OO2 P 1

Suy ra OO1CO2 là hình bình hành nên OO1 2 đi qua trung điểm của OC. Mà OO1 2 đi qua trung điểm của CD nên OO1 2POD

Lại có OO1 2 CD Nên ·ODC900 Do đó CD OC  R (đpcm). b, Ta có:        1 , 1   2 , 2  , , , 2 O A O C O C O B DA DB DA DC DC DB          2 CA CB, OA OB, mod    A, D, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Ta thấy OD, AB, tiếp tuyến tại C của (O) lần lượt là các trục đẳng phương của từng cặp đường tròn (ADOB) và (COD),(O) và (ADOB),(O) và (COD).

Do đó 3 đường nói trên đồng quy ở một điểm S.

Xét cực và đối cực đối với (O).

Ta có đường đối cực của S phải đi qua C và vuông góc với OS nên CD chính là đường đối cực của S.

Vì S thuộc AB cố định nên CD sẽ đi qua cực của AB là một điểm cố định (đpcm).