CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
2.2.Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Định nghĩa 2.2.1. [4] Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của không gian Rn và một ánh xạ F :C →Rn. Ánh xạ F được gọi là
(a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hằng số β >0, nếu
hF (x)−F (y), x−yi ≥βkx−yk2 ∀x, y ∈C,
(b) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên C, nếu
hF (x)−F (y), x−yi>0 ∀x, y ∈C, x6=y,
(c) đơn điệu (monotone) trên C, nếu
hF (x)−F(y), x−yi>0 ∀x, y ∈C,
(d) γ-giả đơn điệu mạnh (strongly pseudomonotone) trên C, nếu với mỗi
x, y ∈C,
hF (y), x−yi ≥0⇒ hF (x), x−yi ≥γkx−yk2,
(e) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C, nếu với mỗi x, y ∈C,
(f) tựa đơn điệu (quasimonotone) trên C, nếu với mỗi x, y ∈C,
hF (y), x−yi>0⇒ hF (x), x−yi ≥0,
(g) tựa đơn điệu hiển (explicilty quasimonotone) trên C, nếu với mỗi x, y ∈
C,
hF (y), x−yi>0⇒ hF (z), x−yi ≥0 ∀z ∈x+y
2 , x
.
Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.2.1: (a) ⇒
(b)⇒(c)⇒(e)⇒(f)⇐(g)⇐(e)⇐(d),(a)⇒(h)⇒(e).
Trong trường hợp tổng quát, chiều ngược lại nói chung là khơng đúng. Ta xét một vài kết quả dưới đây.
Mệnh đề 2.2.2. [4] Cho C là một tập con, lồi khác rỗng của Rn. Nếu
F :C →Rn là ánh xạ tựa đơn điệu và affine (hay F(x) =M x+q, M là một ma
trận vng cấp n), thì F là tựa đơn điệu hiển trên C.
Chứng minh. Giả sử hF (y), x−yi>0hayhM y+q, x−yi>0. Khi đó, theo
tính tựa đơn điệu, ta có hM y+q, x−yi ≥0. Đặt xλ =λy+ (1−λ)x. Suy ra rằng
hM xλ+q, x−yi=λhM y+q, x−yi+ (1−λ),hM x+q, x−yi>0 ∀λ∈(0,1].
Do vậy, hệ thức này cũng đúng với mọi λ∈ 0,12. Bằng cách làm tương tự, ta có mối quan hệ sau.
Mệnh đề 2.2.3. [4] Cho C là một tập còn, lồi, mở và khác rỗng của Rn. Nếu F :C →Rn là ánh xạ tựa đơn điệu và affine (hay F(x) = M x+q, M là một
ma trận vng cấp n), thì F là giả đơn điệu trên C.
Ánh xạ F là giả đơn điệu mạnh trên C, nhưng F có thể khơng đơn điệu mạnh thậm chí khơng đơn điệu trên C trong ví dụ dưới đậy.
Ví dụ 2.2.4. Cho
C :={x∈Rn :kxk ≤a}, F (x) = (β− kxk)x ∀x∈Rn,
ở đây 0< β2 < α < β. Khi đó, F là giả đơn điệu mạnh với hằng số γ =β−α trên
C và F không đơn điệu trên C.
hx, y−xi ≥0. Khi đó :
hF (y), y−xi= (β− kyk)hy, y−xi
≥(β− kyk) (hy, y−xi − hx, y−xi)
≥(β−α)ky−xk2
=γky−xk2.
Như vậy, F là giả đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên C. Nhưng F lại
khơng đơn điệu mạnh, thậm chí F khơng đơn điệu trên C. Thật vậy, chọn hai phần tử trong C là x=β2,0,0, ...,0∈C. Khi đó: hF (x)−F (y), x−yi= β 2 −α 3 <0.
Như vậy, F khơng đơn điệu trên C.
Bài tốn 2.1 Một trường hợp riêng điển hình của bài tốn V I(F, C)là bài toán qui hoạch lồi khả vi
min{g(x) :x∈C},
(2.2.1)
ở đây g : C →R là một hàm lồi khả vi trên C. Thật vậy, x∗ là nghiệm của bài toán (2.2.1) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán tối ưu khơng ràng buộc
min{g(x) +δC(x) :x∈Rn},
trong đó δC là hàm chỉ trên C. Áp dụng điều kiện tối ưu cho bài tốn lồi khơng
ràng buộc và tính chất ∂δC(x) = NC(x), ta được
0∈∂(g+δC) (x∗) = 0 ∈ ∇g(x∗) +NC(x∗).
Hay
−∇g(x∗)∈NC(x∗)⇔ h∇g(x∗), x−x∗i ≥0 ∀x∈C.
Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngồi trênC tại điểmx∗,x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(∇g, C).
Bài toán 2.2 Bài toán bù phi tuyến NCP
Giả sử C = R+n := x= (x1, ..., xn)∈Rn :xi≥0 ∀i= 1, n và ánh xạ F : C →
Rn. Bài toán bù phi tuyến được phát biểu dưới dạng
Tìm x∗ ∈C sao cho F(x∗)∈C và hF (x∗), x∗i= 0.
Định lý 2.2.5. [4] Điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bù phi tuyến nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
x∗∈Rn+, F(x∗)∈Rn+ và hF (x∗), x∗i= 0. Khi đó,
hF (x∗), x−x∗i=hF (x∗), xi − hF (x∗), x∗i=hF (x∗), xi ≥0∀x∈Rn+.
Mặt khác, giả sử x∗ ∈Rn
+ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Đặt:
ei = (0, ...,0,1,0, ...,0), y =x∗+ei,
trong đó 1 là vị trí thứ i. Khi đó,y∈Rn
+ và 0≤ F (x∗), x∗+ei−x∗=F (x∗), ei=Fi(x∗). (2.2.2) Do vậy, F(x∗) = (F(x∗), ..., Fn(x∗))∈Rn+. Từ bất đẳng thức hF (x∗), x−x∗i ≥0 ∀x∈Rn+, và x= 0∈Rn+, suy ra hF (x∗), x∗i ≤0.
Nhưng x∗ ∈Rn+ và theo chứng minh trênF(x∗)∈Rn+, ta cóhF (x∗), x∗i ≥0.
Như vậy là
hF (x∗), x∗i= 0.
Định nghĩa 2.2.6. [4] Trong bài toán bất đẳng thức biến phân, với mỗi
x∈C và λ >0, xét ánh xạ FCnat:C →Rn được xác định bởi
FCnat(x) = x−PRC(x−λF(x)).
Ánh xạ FCnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C. Mối
quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh xạ giá tự nhiên FCnat được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 2.2.7. [4] Điểm x∗ là một nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ FCnat, hay 0 = FCnat(x∗).
Chứng minh. Theo định nghĩa nghiệm x∗ của bài toán bất đẳng thức biến phân và λ >0, ta có
hλF(x∗), y−x∗i ≥0 ∀y∈C.
Hay
hx∗−[x∗λF(x∗)], y−x∗i ≥0∀x∈C.
Theo tính chất (ii), bất đẳng thức này tương đương với
hay x∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên FCnat.
Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân được chứng minh đều dựa vào định lí điểm bất động Brouwer.
Định lý 2.2.8. [4] Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của một không gian Rn, và một ánh xạ liên tục F : C → Rn. Khi đó bài tốn bất đẳng thức biến phân có nghiệm.
Chứng minh. Theo tính chất 1.4 (i), ánh xạ PrC là một ánh xạ không giãn trên C. Do vây, với mỗi λ > 0, phép chiếu PrC(I−λF) :C → C là một ánh xạ liên tục. Từ C là một tập lồi compact khác rỗng và PrC(I−λF) liên tục, theo Mệnh đề 2.2.7 và Tính chất 1.7.4, tồn tại duy nhất không điểm x∗ ∈ C của ánh xa giá tự nhiên FCnat sao cho 0 = FCnat(x∗). Áp dụng tính chất 1.4 (iii) với
x=x∗−λF(x∗),
hy−PrC(x∗−λF(x∗)), x∗−λF(x∗)−PrC(x∗−λF(x∗))i ≤0.
Kết hợp điều này với
PrC(I−λF) (x∗) = x∗,
suy ra:
hy−x∗, x∗−λF(x∗)−x∗i ≤0.
Với giả thiết λ >0, ta có:
hF (x∗), y−x∗i ≥0 ∀y∈C.
Vậy, x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Định lý 2.2.9. [4]Cho C là một tập cịn lồi, đóng và khác rỗng của không gian Rn, và một ánh xạ liên tục F : C → Rn. Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại r >0 sao cho bài toán bất đẳng thức biến phânV I(F, C ∩B(0, r))có một nghiệm xr thỏa mãn r >kxrk Chứng minh. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phânV I(F, C) có một nghiệm x∗∈C. Chọn
R thỏa mãn r >kxrk. Khi đó:
hF (x∗), y−x∗i ≥0 ∀y∈C.
Như vậy bài tốn V I(F, C∩B(0, r)) có nghiệm x∗.
V I(F, C∩B(0, r)) thỏa mãn hxrh < r. Khi đó, với mỗi y ∈ C, tồn tại ≥ 0 đủ nhỏ sao cho z =xr+(y−xr)∈C∩B(0, r). Theo định nghĩa của nghiệm xR của bài tốn V I(F, C∩B(0, r)), ta có xr ∈C và
0≤ hF (xr), z−xri=εhF (xr), y−xri ∀y∈C.
Điều này có nghĩa rằngxr là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Hệ quả 2.2.10. [4] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một khơng gian Rn, và một ánh xạ liên tục F :C →Rn thoả mãn điều kiện bức, hay tồn tại x0 ∈C sao cho
F (x)−F x0, x−x0
kx−x0k →+∞ khi kxk →+∞,∀x∈C.
Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân có nghiệm.
Chứng minh. Chọn H và R sao cho H >F x0, r >x0 và
F(x)−F x0, x−x0≥Hx−x0 ∀ kxk ≥r, x ∈C. Khi đó, F (x), x−x0≥Hx−x0+F x0, x−x0 ≥Hx−x0−F x0 x−x0 = H−F x0 x−x0>0∀ kxk ≥r. (2.2.3)
Theo Định lý 2.2.8, tồn tại nghiệm xR của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C ∩B(0, R)). Hay:
F(xR), xR −x0=−F (xR), x0−xR ≤0.
Kết hợp điều này với (2.2.3), ta có kxRk 6=R và do đó kxRk< R. Như vậy, xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Theo định lý 2.2.9 bài tốn bất đẳng thức biến phân có nghiệm.
2.3. Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phânBài tốn 2.3 Bài tốn cân bằng mạng giao thơng.