CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3.5. Kết quả tính tốn
Sau đây là một số bài toán nổi tiếng được áp dụng Thuật toán Newton nửa trơn ở chương 3 để tìm nghiệm gần đúng cho bài tốn bù phi tuyến được chạy thuật toán trên MATLAB với tất cả các điểm x0 là điểm bắt đầu từ bài toán MCPLIB của Dirkse and Ferris [12] và Ferris and Rutherford [13].
Ta sử dụng thêm ý sau để giúp thuật toán tối ưu hơn: Thay thế quy tắc đơn điệu Armijo từ bước (S.3) của Thuật tốn bằng kỹ thuật tìm kiếm đường khơng đơn điệu được đưa ra bởi Grippo, Lampariello và Lucidi [15] . Sau khi bổ sung ý trên vào thuật tốn. Ta có thể thốt khỏi vịng lặp nếu có điều kiện sau:
k > kmax,Φ(xk)< hoặc tk < tmin.
Ta sẽ sử dụng quy định giá trị các biến sau:
ρ= 10−8, β = 0.5, σ = 10−4, p= 2.1,
và
kmax = 200, tmin= 10−12, = 10−12.
Tiếp đến ta sẽ tiến hành chọn bất kỳ λ∈(0,4). Nhưng đặc biệt với λ = 2,
hàm ϕλ(a, b) sẽ trở thành hàm Fischer và cho ta tốc độ hội tụ toàn cục tốt nhất khi mà chọn λ gần về 0 cho kết quả nhanh hơn chứ không tốt nhất.
Thay vì suy nghĩ để chọn λ hợp lí. Ta có thể sử dụng một thuật tốn để thay đổi λ vào mỗi lần lặp bằng những bước sau:
(a) Đặt λ= 2 ở bước lặp đầu tiên.
(b) Nếu như Φ(xk)≥γ1, đặt λ:= Φ(xk), hoặc chọn λ= minc1 Φxk, λ
(c) Nếu như Φ(xk)≥γ2, đặt λ= min{c2, λ}
Dùng phương pháp này, ta có thể giảm giá trị của các hàm sau các bước lặp bằng cách giảmλ khi ta tiến gần đến nghiệm của bài toán bù phi tuyến. Với các giá trị γ1= 10−2, γ2 = 10−4, c1= 10, c2 = 10−8.
Dưới đây là bảng các giá trị của các bài toán áp dụng phương pháp Newton nửa trơn với số chiều lớn:
Bài toán n SP k F−ev. F0−ev. Φ(xf) ∇Φ xf
G N
powell 16 1 9 11 10 1.5e-18 4.2e-9 0 9 powell 16 2 11 14 12 1.5e-23 9.2e-11 0 11 powell 16 3 20 21 21 3.7e-13 8.6e-6 1 19 powell 16 4 10 11 11 2.2e-15 1.1e-6 1 9 scarfanum 13 1 8 11 9 7.6e-20 1.3e-8 0 8 scarfanum 13 2 10 17 11 4.4e-17 2.9e-7 0 10 scarfanum 13 3 8 11 9 7.7e-15 4.9e-6 0 8 scarfanum 14 1 6 8 7 7.0e-19 1.8e-17 0 6 scarfbnum 39 1 19 24 20 1.0e-26 4.3e-11 0 19 scarfbnum 39 2 25 36 26 5.8e-28 1.2e-11 1 24 scarfbnum 40 1 20 29 21 1.4e-15 1.3e-5 0 20 scarfbnum 40 2 28 36 29 1.4e-14 4.1e-5 4 24 sppe 27 1 7 8 8 3.1e-14 1.2e-6 0 7 sppe 27 2 8 40 9 6.7e-13 6.8e-6 2 6 tobin 42 1 9 11 10 1.3e-13 2.1e-6 0 9 tobin 42 2 14 15 15 2.2e-13 3.0e-6 0 14
Với các kí hiệu được cho ở bảng dưới
bài toán: Tên bài toán trong MCPLIB n: Số lượng biến
SP: Giá trị điểm bắt đầu cho ở MCPLIB k: Số lần lặp
F−ev.: Giá trị của hàm F
F0−ev.: Giá trị của hàm Jacobian
Φ(xf) Giá trị của hàmΦ(xf)tại điểmx=xf
∇Φ xf Giá trị của hàmk∇Φ (x)ktại điểmx=xf
G: Số lần đạo hàm Gradient N: Số lần lặp Newton
KẾT LUẬN
Sau một thời gian tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của ThS. Phan Quang Như Anh thì bài luận văn của em đã hồn chỉnh.
Khóa luận của em tập trung nghiên cứu về : "Phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán bù phi tuyến". Sau cùng em đã đạt được các kết quả sau:
1. Phát biểu bài tốn bất đẳng thức biến phân, tìm hiểu được sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của bài tốn.
2. Trình bày phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán bù phi tuyến cũng như mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán bù phi tuyến trong Rn. Thơng qua đó đưa ra một số ví dụ cụ thể cho việc tìm nghiệm gần đúng của bài tốn.
Tuy nhiên do kiến thức chưa đủ rộng và sâu nên nội dung thực hiện cịn nhiều hạn chế và sai sót. Rất mong được sự góp ý và xây dựng của quý thầy cơ và các bạn sinh viên để khóa luận được hồn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Giải tích lồi, Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội năm 2000.
[2] Toán cao cấp, Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Viết Đức. Nhà xuất bản Đà Nẵng năm 2009.
[3] Đạo hàm Newton và phương pháp Newton nửa trơn, Phạm Q Mười, Ngơ Thị Thanh Bình, Tạp chí khoa học cơng nghệ Đại học Đà Nẵng số 8 (69) trang 157-161 năm 2013.
[4] Các phương pháp tối ưu và ứng dụng, Phạm Ngọc Anh, Nhà xuất bản thông tin và truyền thông.
Tiếng Anh
[5] A new class of semismooth Newton-type methods for nonlinear comple- mentarity problems, Christian Kanzow and Kleinmichel, Jannuary 14, 1997 (revised September 16, 1997)
[6] J.J. MORE AND W.C. RHEINBOLDT: On P - and S-functions and re- lated classes of n-dimensional nonlinear mapping. Linear Algebra and ít Applications 6, 1973.
[7] T. De Luca, F. Facchinei and C. Kanzow: A semismooth equation approach to the solution of nonlinear complementarity problems. Mathematical Pro- gramming 75, 1996.
[8] F. Facchinei, A. Fischer and C. Kanzow: Inexact Newton methods for semis- mooth equations with applications to variational inequality problems. In: G. Di Pillo and F. Giannessi (eds.): Nonlinear Optimization and Applica- tions. Plenum Press, New York, NY, 1996.
[9] C. Kanzow: Semismooth Newton-type Methods for the Solution of Nonlin- ear Complementarity Problems. Habilitation Thesis, Institute of Applied Mathematics, University of Hamburg, Hamburg.
[10] J.-S. Pang: Newton’s method for B-differentiable equations. Mathematics of Operations Research 15, 1990.
[11] M.C. Ferris and J.-S. Pang: Engineering and economic applications of com- plementarity problems. SIAM Review, to appear.
[12] M.C. Ferris and C. Kanzow: Recent developments in the solution of non- linear complementarity problems. Preprint, in preparation.
[13] S.P. Dirkse and M.C. Ferris: MCPLIB: A collection of nonlinear mixed complementarity problems. Optimization Methods and Software 5, 1995, pp.123–156.
[14] F.H. Clarke: Optimization and Nonsmooth Analysis. John Wiley and Sons, New York, NY, WI, August 1983 (reprinted by SIAM, Philadelphia, PA, 1990).
[15] L. Grippo, F. Lampariello and S. Lucidi: A nonmonotone linesearch tech- nique for Newton’s method. SIAM Journal on Numerical Analysis 23, 1986, pp. 707–716.
[16] F. Facchinei, A. Fischer and C. Kanzow: A semismooth Newton method for variational inequalities: The case of box constraints. In: M.C. Ferris and J.-S. Pang (eds.): Complementarity and Variational Problems. State of the Art. SIAM, Philadelphia, PA, 76–90.