CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3.4. Thuật toán và Sự hội tụ
Thuật toán sau đây dùng để giải bài toán bù phi tuyến bằng việc giải tương đương hệ phương trình phi tuyến
Ta sẽ ứng dụng phương pháp Newton khơng trơn để giải hệ phương trình phi tuyến này. Phương pháp này được tổng quát hóa bằng việc sử dụng hàmΨλ
trơn.
Nhấn mạnh rằng thuật toán thoạt đầu rất giống với phương pháp Newton cổ điển ứng dụng cho hệ phương trình trơn. Điểm khác biệt duy nhất là ta phải chọn phần tử H∈∂Φλ(x) thay vì chọn Jacobian cổ điển của Φλ tại x.
Thuật tốn (Phương pháp Newton nửa trơn) (S.0) (Khởi tạo) Chọn λ∈(0,4), x0 ∈Rn, ρ >0, β ∈(0,1), σ ∈(0,1/2), p >2, ≥0, và tập hợp k:=0. (S.1) (Điều kiện dừng) Nếu ∇Ψλ xk≤, dừng vòng lặp. (S.2) (Tìm kiếm phương án tính tốn)
Chọn phần từ Hk ∈∂Φλ(xk). Tìm một nghiệm dk ∈Rn của hệ tuyến tính
Hkd=−Φλ xk.
Nếu như hệ này khơng tìm được nghiệm hoặc nếu điều kiện giảm
∇Ψλ(xk)Tdk ≤ −ρdk
p
khơng thỏa mãn, đặt dk :=∇Ψλ(xk).
(S.3) (Tìm kiếm) Tính tk := maxβ`|`= 0,1,2, ... sao cho
Ψλ xk +tkdk≤Ψλ(xk) +σ∇Ψλ(xk)Tdk.
(S.4) (Thay thế nghiệm tìm được)
Đặt xk+1:=xk+tkdk, k ←k+ 1,và tiến hành quay lại bước (S.1) Tính chất tồn cục và địa phương của thuật tốn tóm tắt ở định lý sau.
Định lý 3.4.1. (a) Mỗi điểm tụ của dãy xk tạo thành từ thuật toán là một điểm dừng của Ψλ.
(b) Giả sử rằng x∗ là điểm tụ bị cô lập của dãy xk tạo bởi thuật toán trên. Vậy dãy xk hội tụ đến điểm x∗.
(c) Giả sử rằng x∗ là điểm tích lũy của dãy xk tạo bởi thuật toán sao cho x∗
(i) Dãy xk hội tụ đến x∗.
(ii) Hướng tìm kiếm dk được suy ra từ nghiệm của phương trình tuyến tính
Hkd=−Φλ(xk) ở bước (S.2) của thuật tốn trên.
(iii) Số lượng bước lặp tối đa tk = 1 được chấp nhận với mọi k đủ lớn. (iv) Tốc độ hội tụ của bài tốn là siêu tuyến tính.
(v) Ngồi ra, nếu F là ánh xạ LC1, tốc độ hội tụ là Q-bậc 2.
Chứng minh. Dựa trên các kết quả của mục 2 và 3, việc chứng minh sẽ giống như Định lý 3.1 trong De Luca, Facchinei and Kanzow [7] cho thuật tốn liên quan. Điểm khác biệt duy nhất đó là tính chất (b) trong Định lý, vì vậy ta phải đảm bảo rằng điều kiện R-chính quy trong phần (c) đó là điểm tụ bị cơ lập
x∗ của dãy xk .
Giả sử điều này không khả thi. Khi
Ψλ xk là dãy đơn điệu giảm, và khi điểm tụ x∗ cho bài toán bù phi tuyến, dẫn đến dãy Ψλ xk → 0. Do đó
mỗi điểm tụ của dãy xk là 1 nghiệm của bài toán bù phi tuyến. Tuy nhiên 1 nghiệm R - chính quy là nghiệm địa phương duy nhất, x∗ nhất thiết phải là điểm tụ bị cô lập của dãy xk . Nhưng ở mục (i) của phần (c) được suy ra từ (b).
Sử dụng Định lý 3.2.5 và 3.3.1, ta có thể chứng minh rằng các mục khác của Định lý giống với Định lý tương ứng trong [7] (hoặc [8,9]).
Ta biết rằng mục (a) và (b) của Định lý 3.4.2 chỉ cho ta một kết quả hội tụ toàn cục đến các điểm cố định của hàm Ψλ nhưng ta chỉ quan tâm đến việc tìm cực tiểu tồn cục của Ψλ và nghiệm của bài toán bù phi tuyến. Tuy nhiên, Định lý 3.3.4 cho một giả thiết khá yếu rằng những điểm cố định là nghiệm của bài tốn bù phi tuyến. Ta cũng nhấn mạnh rằng tính chất của P0-matrix dùng trong Định lý 3.3.4 là khả thi, cụ thể, số lượng lớp của hàm P0 càng lớn và đặc biệt hơn là các hàm F đơn điệu [12].
Sự tồn tại của điểm tụ và điểm dừng của Ψλ được nêu ở Định lý 3.3.6. Cuối cùng,ta nhấn rằng sự hội tụ tồn cục của Thuật tốn 4.1 cũng như mục (c) trong Định lý 3.4.2 không yêu cầu giả thiết không suy biến cho nghiệm
x∗.