Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh định lý mô tả vành bất biến đẳng cấu không suy biến phải.
Định lý 2.4.1. Nếu R là vành bất biến đẳng cấu phải không suy
biến phải thì R ∼= S ×T với S và T là các vành có các tính chất sau:
(2) TT không chính phương,
(3) Tổng của các iđêan phải đóng của T là iđêan hai phía mà bất biến đẳng cấu như T-môđun phải,
(4) Iđêan nguyên tố bất kỳ P của T mà không cốt yếu trong TT,
T /P là thể.
Chứng minh.
(1), (2). Vì R là vành bất biến đẳng cấu phải nên theo Định lý 2.3.3,
R = eR⊕(1−e)R với lũy đẳng e ∈ R, eR là tựa nội xạ, (1−e)R không chính phương và Hom(eR,(1 − e)R) = 0 = Hom((1 − e)R, eR). Đặt
S = eR và T = (1−e)R là các iđêan. Do đó, S là tự nội xạ phải và TT
không chính phương. Vì vậy, ta có (1) và (2). (3). Theo Định lý 2.3.5, ta có (3).
(4). Cho P là iđêan nguyên tố của T mà không cốt yếu như một iđêan phải trongTT. GọiN là phần bù củaP trongTT. NếuN không đều thì có hai iđêan phải đóng khác không X, Y trong N sao cho X∩Y = 0. Mà X, Y là các iđêan nên XY = 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết nguyên tố của P. Do đó, N là iđêan phải đều của T. Ta chứng minh P
là môđun con đóng trong TT. Giả sử P0 là mở rộng cốt yếu của P. Khi đó, ta có P0N = 0. Do đó, P0 = P. Vì vậy, P là môđun con đóng trong
TT và P là phần bù của N trong TT. Vì N ⊕P/P là cốt yếu trong T /P
nên T /P là vành phải đều. Hơn nữa, N là T-môđun bất biến đẳng cấu đều không suy biến sao cho mọi đồng cấu khác không giữa hai môđun con bất kỳ là đẳng cấu giữa các môđun con cốt yếu và do đó nó mở rộng đến tự đẳng cấu của N. Vì thế, N là T /P-môđun tựa nội xạ đều không suy biến và do đó đồng cấu vành của N là vành chia. Vì T /P cốt yếu chứa iđêan phải không suy biến N ⊕ P/P nên T /P là vành phải đều nguyên tố và không suy biến phải (do đó là vành Goldie phải nguyên tố) với N ⊕P/P là iđêan phải cốt yếu tựa nội xạ. Mà N ⊕P/P là nội xạ nên P ⊕N = T. Vì EndT/P(N) là thể nên T /P là thể. Đặc biệt, N
Định lý 2.4.2. Nếu R là vành bất biến đẳng cấu phải, không suy biến phải nguyên tố thì R là tự nội xạ phải.
Chứng minh.
Nếu RR không đều thì RR có hai iđêan phải đóng khác không A
và B sao cho A ∩ B = 0. Mà A và B là các iđêan nên AB = 0 (mâu thuẫn giải thiết R nguyên tố). Vì vậy, RR đều, không suy biến và bất biến đẳng cấu. Bằng cách chứng minh tương tự như Định lý 2.4.1 thì R
là tự nội xạ phải.
Sau đây ta xét ví dụ chứng tỏ rằng kết luận của Định lý 2.4.2 là sai nếu ta lấy vành nửa nguyên tố thay cho nguyên tố.
Ví dụ 2.4.3. Cho S = Q
n∈N
Z2 và R = {(xn)n∈N: tất cả xn bằng một số a nào đó thuộc Z2 trừ một số hữu hạn}. Khi đó, R là vành giao hoán bất biến đẳng cấu và không tự nội xạ.
Hệ quả 2.4.4. Vành bất biến đẳng cấu phải đơn là tự nội xạ phải.
Hệ quả 2.4.5. Vành giả nội xạ phải đơn là tự nội xạ phải.