Các đặc trưng của vành thông qua tính chất đồng đều của môđun xyclic là vấn đề đã được nghiên cứu mở rộng trong 50 năm qua. Kết quả sau liên quan đến câu hỏi: Hãy mô tả các cấu trúc của các vành mà môđun phải xyclic là bất biến đẳng cấu?
Định lý 2.5.1. Cho R là một vành mà mọi R-môđun phải xyclic
là bất biến đẳng cấu. Khi đó, R ∼= S ×T với S là vành Artin nửa đơn
và T là vành vuông phải tự do sao cho hai iđêan phải đóng bất kỳ X và
Y của T với X ∩Y = 0, Hom(X, Y) = 0. Đặc biệt, tất cả lũy đẳng của
T là tâm. Chứng minh.
Theo chứng minh của Định lý 2.2.3, ta có sự phân tích
với A∼= B, B0 đẳng cấu với môđun con của B, C là không chính phương và trực giao với A ⊕ B ⊕ B0. Cho Z là iđêan phải trong A. Khi đó,
R/Z ∼= A/Z ⊕B ⊕B0 ⊕C là bất biến đẳng cấu (theo giả thiết). Theo Bổ đề 2.3.2, A/Z là B-nội xạ. Do đó, là A-nội xạ. Tương tự, tất cả phân tích của B, B0 và C là A-nội xạ.
A là môđun xạ ảnh xyclic mà tất cả các môđun thương là A-nội xạ (đặc biệt tựa nội xạ)[10, Corollary 9.3(ii)], A = U1 ⊕...⊕Un, với Ui là các môđun đều. Gọi U là môđun con xyclic bất kỳ của Ui, với i bất kỳ. VìU là tổng các môđun thương củaA, B, B0 và C nên U chứa một trong các môđun thương khác không của chúng gọi là U0. Suy ra U0 là A-nội xạ (theo chứng minh trên). Do đó, U0 là hạng tử trực tiếp trong Ui. Vì vậy, U0 = U = Ui. Do đó, Ui là đơn suy ra A⊕B ⊕B0 là nửa đơn. Vì
A⊕B⊕B0 và C là môđun xạ ảnh trực giao và có dạng nửa đơn nên tồn tại đồng cấu khác không giữa chúng. Hơn nữa, A⊕B ⊕B0 và C là các iđêan. Vì vậy ta có vành tổng trực tiếp R = S ⊕T với S = A⊕B ⊕B0
và T = C.
Cho X và Y là các iđêan phải đóng của T sao cho X ∩ Y = 0 và cho f : X −→ Y là đồng cấu bất kỳ, Y0 = f(X). Suy ra f : X|K −→ Y0
là đẳng cấu với K = Ker(f). Ta có X/K là môđun con đóng của T /K. Vì TT là không chính phương nên K ≤e X. Chọn U/K là phần bù của
X/K⊕((Y0⊕K)/K) trong T /K. Vì T /K là bất biến đẳng cấu (theo giả thiết) và X/K ∼= Y0 ∼= (Y0 ⊕K)/K nên theo Bổ đề 2.3.2, (Y0 ⊕K)/K
là đóng trong T /K. Theo Bổ đề 2.3.1, ta có
T /K = X/K ⊕(Y0⊕K)/K ⊕U/K.
Vì Y0 ∩(X +U) ⊆ Y0∩ K = 0 nên ta có T = Y0 ⊕(X +U).
Vì vậy,YT0 là xạ ảnh. Do đó, ánh xạf chẻ ra. VìK ≤e X nên ta cóf = 0. Vì vậy, Hom(X, Y) = 0. Đặc biệt, nếu TT = X ⊕Y thì XY = Y X = 0. Do đó, X và Y là các iđêan.
Mệnh đề 2.5.2. Cho môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện
(1) M là môđun xyclic với tất cả các môđun thương là bất biến đẳng cấu và sinh bởi các môđun con thương xyclic của nó.
(2) M là môđun bất biến đẳng cấu mà các môđun con thương 2-sinh là bất biến đẳng cấu. Khi đó, M = X ⊕Y với X là nửa đơn, Y là không chính phương.
Chứng minh.
Theo chứng minh của Định lý 2.3.3, ta có sự phân tích:
M = A⊕B ⊕B0 ⊕C với A ∼= B, B0 nhúng trong B, C là không chính phương và trực giao với A⊕B ⊕B0.
(1). Trong trường hợp này, giống như chứng minh của Định lý 2.5.1, tất cả các môđun thương của các môđun B(∼= A), B0 và C là A-nội xạ. Cho A0 là môđun thương của A và D là môđun con xyclic của A0. Vì
D sinh bởi M nên D = D1 +...+ Dn với mỗi Di là môđun thương của
B, B0 và C. Vì D1 là A-nội xạ do đó là A0-nội xạ nên D1 ⊕D10 = A0 với môđun con D01 nào đó của A0. Cho π : D1 ⊕D01 −→ D01 là xạ ảnh. Ta có D = D1 ⊕ (π(D2) + ...+ π(Dn). Mỗi π(Dk) là thương của B, B0 và
C. Do đó, π(Dk) là A-nội xạ. Suy ra π(Dk) là D01-nội xạ. Bằng quy nạp, ta thu được D là tổng trực tiếp của các môđun xyclic A-nội xạ. Khi đó,
D là A-nội xạ. Ta chứng minh mỗi môđun con thương xyclic của A là
A-nội xạ. Theo Mệnh đề 1.9.4, A là nửa đơn. Vì thế A⊕B⊕B0 là nửa đơn. Đặt X = A⊕B ⊕B0 và Y = C. Ta có (1).
(2). Cho D ≤ L là môđun con của A với L/D xyclic và T là môđun con xyclic của B. Theo giả thiết (L/D)⊕T là bất biến đẳng cấu. Do đó,
L/D là T-nội xạ. Khi đó, các môđun con thương xyclic của A là B-nội xạ. Do đó, là A-nội xạ. Theo Mệnh đề 1.9.4, A là nửa đơn.