Ta đã biết môđun giả nội xạ thì bất biến đẳng cấu. Trong [15], Lee và Zhou đã đặt ra câu hỏi: "Môđun bất biến đẳng cấu có là môđun giả nội xạ hay không?" Trước hết, chúng ta sử dụng các bổ đề sau để làm
rõ câu hỏi này.
Bổ đề 2.6.1 ([7, Lemma 7.5]). Cho M = A ⊕ B. Khi đó, A là
B-nội xạ nếu và chỉ nếu môđun con bất kỳ C của M với A∩C = 0 thì tồn tại môđun con D của M sao cho C ≤D và A⊕D = M.
Bổ đề 2.6.2. Giả sử M = A⊕B với A, B là trực giao lẫn nhau.
Đơn cấu f : C −→ M, với C là môđun con bất kỳ của M. Khi đó, (1) f(C ∩B)∩B là cốt yếu trong f(C ∩B).
(2) Nếu B là không chính phương thì f(C∩B)∩(C∩B) là cốt yếu trong cả f(C ∩B) và C ∩B.
Chứng minh.
(1). Cho C ≤ M và f : C −→ M là đơn cấu. Giả sử D ≤ f(C ∩B)
với D∩B = 0. Khi đó, D được nhúng (thông qua xạ ảnh A⊕B −→ A) đến A. Mà D cũng đẳng cấu với môđun con của C ∩ B. Suy ra D = 0
(vì trực giao). Do đó, ta có (1).
(2). Giả sử X là môđun con khác không của f(C ∩ B) với X ∩
(C ∩ B) = 0. Khi đó, theo (1) X ∩ B 6= 0 và (X ∩ B)2 nhúng trong
(X ∩ B) ⊕ (C ∩ B) ≤ B (mâu thuẫn với giả thiết B là không chính phương). Do đó, f(C ∩B)∩(C ∩B) là cốt yếu trong f(C ∩B). Tương tự, f(C ∩B)∩(C ∩B) cũng cốt yếu trong (C ∩B).
Định lý 2.6.3. Môđun M là bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu M
là giả nội xạ.
Chứng minh.
(⇐=). Ta đã biết môđun giả nội xạ là bất biến đẳng cấu trong [15].
(=⇒). Cho M là môđun bất biến đẳng cấu, C ≤M ; f : C −→ M
là đơn cấu. Theo Định lý 2.3.3, M = A⊕B với A là tựa nội xạ, B bất biến đẳng cấu không chính phương và A, B nội xạ lẫn nhau. Cho K là phần bù của f(C∩B)∩(C ∩B) trong B. Khi đó, theo Bổ đề 2.6.2 (2),
K ⊕(f(C ∩ B)∩(C ∩B)) là cốt yếu trong cả K ⊕(C ∩B) (do đó cốt yếu trong B) và trong K ⊕f(C ∩B). Suy ra (K ⊕f(C ∩ B))∩ A = 0
và K ⊕f(C ∩ B)⊕A là cốt yếu trong M.
Vì A là B-nội xạ nên theo Bổ đề 2.6.1, tồn tại môđun con B0 của
M sao cho f(C ∩ B)⊕K ≤ B0 và M = A⊕B0. Trong trường hợp này
B0 ∼= B. Theo lập luận trên f(C ∩B) ⊕K ≤e B0. Vì B bất biến đẳng cấu nên đẳng cấu f|C ⊕1K : (C ∩ B)⊕K −→ f(C ∩B) ⊕K mở rộng đến đẳng cấu f0 : B −→ B0. Do đó, f0|C∩B = f|C∩B.
Xét ánh xạ g : C + B −→f(C) +B xác định bởi
g(c+ b) =f(c) +f0(b)(c ∈ C, b ∈ B)
là một đồng cấu và là mở rộng của f.
Cho π : A⊕B −→ A xạ ảnh. Khi đó, B + C = B ⊕π(C). Chú ý rằng
π(C) = (B +C)∩A. Vì A và B là A-nội xạ nên M là A-nội xạ. Do đó,
g|π(C) : π(C) −→ M mở rộng đến g0 : A −→M. Rõ ràng, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
g0|π(C) = g0|(B+C)∩A = g|(B+C)∩A.
Ta xét ψ : M −→ M như sau:
ψ(a+ x) =g0(a) +g(x) với a ∈ A, x ∈ B +C. ψ là mở rộng của f. Do đó, M là giả nội xạ.
CHƯƠNG 3
VÀNH MÀ CÁC IĐÊAN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU
Chương này chúng tôi sẽ trình bày các vành mà mọi iđêan phải là bất biến đẳng cấu. Các vành như vậy gọi là a-vành phải. Một số kết quả chính của chương này là: Một a-vành phải là tổng trực tiếp của vành Artin nửa đơn chính phương đầy đủ và vành không chính phương phải. Vành R là Artin nếu và chỉ nếu vành ma trận Mn(R) là a-vành phải với
n > 1 nào đó. Mọi a-vành phải là ổn định hữu hạn. Mọi a-vành phải là
vành chính quy Von Neumann nếu và chỉ nếu nó là nửa nguyên tố. Mọi
a-vành phải nguyên tố là vành Artin đơn. Các kết quả này được tổng quan từ tài liệu [14].
3.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 3.1.1. (1) Vành R được gọi là a-vành phải nếu mọi
iđêan phải của nó là bất biến đẳng cấu.
(2) Vành R được gọi là q-vành phải nếu mọi iđêan phải cốt yếu là iđêan hai phía.
(3) Vành R được gọi là hữu hạn trực tiếp nếu với mọi x, y ∈ R, xy = 1 suy ra yx = 1.
(4) Vành R được gọi làvành ổn định hữu hạn nếu mọi vành ma trận
Mn(R) là hữu hạn trực tiếp.
(5) Vành R được gọi là tựa duo (quasi-duo) phải (trái) nếu mọi iđêan phải (trái) cực đại là iđêan hai phía.