Cho L là một đại số Lie. Để thuận tiện, thay vì sử dụng ngôn ngữ các biểu diễn, ta sử dụng một ngôn ngữ tương đương, là ngôn ngữ các môđun.
Định nghĩa 2.2.1. Cho L là một đại số Lie. Không gian véctơ V cùng với một phép toán L ×V → V, ký hiệu : (x, v) 7→ x.v hay xv được gọi là L−môđun nếu các điều kiện sau được thỏa mãn : ∀x, y ∈ L;v, w ∈
V;a, b ∈ F
a) (ax+by).v = a(x.v) +b(y.v). b) x.(av+ bw) = a(x.v) +b(x.w). c) [x, y].v = x.(y.v)−y.(x.v).
Nhận xét 2.2.1. Nếu φ : L → gl(V) là một biểu diễn của L thì V là một L-môđun với phép toán : x.v = φ(x)v. Ngược lại, nếu V là một L-môđun thì φ(x)v = x.v xác định một biểu diễn.
Định nghĩa 2.2.2. Nếu W ⊂ V là một L-môđun thì ta gọi W là một
L-môđun con của V.
Nhận xét 2.2.2.
a) Để kiểm tra W ⊂ V có phải là một L- môđun con của V hay không, ta chỉ cần kiểm tra Lw ⊂ W,∀w ∈ W hay không.
b) Khi W là một L- môđun con của V thì không gian véctơ thương V /W cùng với tác động của L :x.(v +W) = xv+W là một L- môđun, gọi là L- môđun thương. Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra phép toán L×V /W →V /W, x.(v+W) 7→ x.v+W được định nghĩa tốt. Điều này đúng do nếu v−v0 ∈ W thì x.(v−v0) ∈ W, vì W là một L- môđun. Định nghĩa 2.2.3. Một đồng cấu giữa các L - môđun V và W là một ánh xạ tuyến tính φ : V → W thỏa mãn : φ(x.v) = x.φ(v),∀x ∈ F, v ∈ V. Định nghĩa 2.2.4. L-môđun V được gọi là bất khả quy nếu nó có đúng 2 L-môđun con (là 0 và chính nó). Tổng trực tiếp giữa các L-môđun V1, V2, ..., Vt là tổng trực tiếp giữa các không gian véctơ V1⊕V2⊕...⊕Vt cùng với tác động của L : x.(v1, v2, ..., vt) = (x.v1, x.v2, ..., x.vt). Một L- môđun V được gọi là khả quy hoàn toàn (hay khả quy đầy đủ) nếu V là tổng trực tiếp của các L -môđun con bất khả quy.
Bổ đề 2.2.5. Trong trường hợp V hữu hạn chiều, V là khả quy đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi L-môđun con W của V đều có phần bù, tức là tồn tại L-môđun con W0 sao cho : V = W ⊕W0.
Chứng minh. Thật vậy, nếu V khả quy hoàn toàn thì V có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp cácL-môđun con bất khả quy:V = V1⊕V2⊕...⊕Vt.. Với W là một L-môđun con của V , do giao của hai môđun con là một môđun con, nên Wi = W ∩Vi, i = 1, t là một L-môđun con của Vi. Mà Vi là L-môđun bất khả quy nên Wi bằng 0 hoặc Vi. Vậy nên W là tổng trực tiếp của một số các L-môđun Vi và phần bù của W trong V là tổng trực tiếp của các môđun bất khả quy còn lại. Ngược lại, nếu mọi môđun con của V đều có phần bù thì ta sẽ chứng minh V là khả quy hoàn toàn bằng quy nạp theo chiều của V.
Xét một L- môđun con W khác 0 của V có chiều nhỏ nhất. Khi đó, W là một L-môđun bất khả quy. Theo giả thiết, tồn tại L- môđun con của W’ của V là phần bù của W. Áp dụng gải thiết quy nạp cho W’ có chiều nhỏ hơn V ta được W’ là tổng trực tiếp của các L- môđun con bất khả quy. Do đó V cũng là tổng trực tiếp của các L-môđun con bất khả quy hay V là khả quy hoàn toàn.
Ví dụ 2.2.1. Với L = Fx là đại số Lie một chiều, L-môđun V cho bởi biểu diễn φ : L → gl(2) với φ(x) =
0 1 0 0
không khả quy hoàn toàn. Thật vậy, giả sử v1, v2 là một cơ sở của không gian véctơ V . Từ ma trận xác định φ(x) ta có v1 là véctơ riêng ứng với trị riêng 0. Nên Fx là một L-môđun con của V . Thật vậy, giả sử M = F, v = av1+bv2 là L-môđun con bù với Fv1 tức là Fv1 ⊕M. Từ v1, v là một cơ sở của V nên b 6= 0. Nhưng φ(x)(av1 + bv2) = bv1 nên M không phải là môđun con. Vậy V không khả quy hoàn toàn.
Bổ đề 2.2.6. (Bổ đề Schur): Cho φ : L → gl(V) là một biểu diễn bất khả quy. Khi đó, chỉ duy nhất các tự đồng cấu của V giao hoán với tất cả φ(x) với mọi x ∈ L là các vô hướng.
Chứng minh. Nếu f : V → V là một đồng cấu L -môđun. Do F là một trường đóng đại số nên f có giá trị riêng k ∈ Fvà khi đóKer(f−k.id) 6= 0. Mà Ker(f −k.id) là một L -môđun con của V và V là bất khả quy nên Ker(f −k.id) =V hay f −k.id = 0. Do đó, nếu f : V → V là một tự đồng cấu của V mà f ◦φ(x) = φ(x) ◦f,∀x ∈ L thì f = c.id, c ∈ F
nào đó.
Ví dụ 2.2.2. Bản thân đại số Lie L là một L-môđun (đối với biểu diễn liên hợp ad) với các L-môđun con của nó là các iđêan. Khi đó, đại số Lie L là đơn nếu L bất khả quy như một L-môđun và là nửa đơn nếu L khả quy hoàn toàn.
Ví dụ 2.2.3. Với V là một L-môđun thì không gian đối ngẫu V∗ cũng trở thành một L-môđun với phép toán: (x.f)(v) = −f(x.v) với f ∈
([xy].f)(v) = −f([xy].v) = −f(x.y.v−y.x.v) = −f(x.y.v) +f(y.x.v) = (x.f)(y.v)−(y.f)(x.v) = −(y.x.f)(v) + (x.y.f)(v) = ((x.y −y.x).f)(v).
Ví dụ 2.2.4. Với V và W là hai L-môđun, ký hiệuV ⊗FW là tích tenxơ trên F. Tích này cũng trở thành một L-môđun với phép toán
x.(v ⊗w) =x.v ⊗w +v ⊗x.w với x ∈ L, v ∈ V, w ∈ W do :
[xy].(v⊗w) = [xy].v⊗w+ v⊗[xy].w
= (x.y.v −y.x.v)⊗w +x⊗(x.y.w −y.x.w)
= (x.y.v⊗w+v⊗x.y.w)−(y.x.v⊗w+v⊗y.x.w) = (x.y −y.x)(v⊗w).
Ví dụ 2.2.5. Với V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường F, ta có đẳng cấu giữa V∗ ⊗V → End(V) cho bởi (f ⊗v)(w) =f(w)v. Khi V là một L-môđun, ta có End(V) trở thành một L-môđun với tác động : (x.f)(v) = x.f(v)−f(xv), với x ∈ L, f ∈ End(V), v ∈ V.
Tổng quát hơn, nếu V, W là hai L−môđun thì HomF(V, W) cũng là một L-môđun với tác động : (x.f)(v) = x.f(v)−f(x.v)
Với L là một đại số Lie nửa đơn và φ : L →gl(V) là một biểu diễn, ta xét dạng song tuyến tính đối xứng β(x, y) = T r(φ(x)φ(y)) trên L. Từ [x, y]z = xyz −yxz, x[y, z] = xyz −xzy và T r(y(xz)) = T r((xz)y)
ta được T r([x, y]z) = T r(x[y, z]). Ta có Kerφ là một iđêan của L và nếu φ là biểu diễn trung thành thì β(x, y) là không suy biến. Theo tiêu chuẩn Cartan : Kerβ là một iđêan giải được của L. Do L là nửa đơn nên Kerβ = 0.
Bây giờ, ta xét L là đại số Lie nửa đơn, β là một dạng song tuyến tính đối xứng kết hợp trên L. Đặt {x1, x2, ..., xn} là một cơ sở của L và xác định {y1, y2, ..., yn} ⊂ L là hệ véctơ độc lập tuyến tính thỏa β(xi, yi) =δi,j. (*). Tồn tại duy nhất,{y1, y2, ..., yn} thỏa (*) là cơ sở đối ngẫu tương ứng qua β, tức là Với x ∈ L, giả sử [x, xi] = P
[x, yi] = P
jbijyj. Theo tính kết hợp của β ta có : aik = P jaijδjk = P jaijβ(xj, yk) = β([x, xi], yk) =−β([xi, x], yk) = −β(xj, yk) = −P j bkjβ(xi, yi) = −bki.
Vớiφ :L →gl(V)là một biểu diễn củaL, ta đặtcφ(β) =P
iφ(xi)φ(yi) ∈
End(V). Khi đó, với x, y, z ∈ gl(V), từ [x, yz] = [xy]z+ y[xz], ta có:
[φ(x), cφ(β)] = P i[φ(x), φ(xi)]φ(yi) + P iφ(xi)[φ(x), φ(yi)] = P i,j ai,jφ(xj)φ(yi) +P i,jbijφ(xi)φ(yi) = 0.
Do đó cφ(β) là một tự đồng cấu của V giao hoán với φ(L). Khi φ là biểu diễn trung thành thì dạng vếtβ(x, y) = T r(φ(x)φ(y)) là không suy biến.
Định nghĩa 2.2.7.
(1) L− môđun V được gọi là trung thành nếu φ : L →gl(V) đơn cấu (tức Kerφ = 0).
(2) Cố định một cơ sở x1, x2, ..., xn của L thì cφ = cφ(β) được gọi là phần tử Casimir của φ với T r(cφ) = P
iT r(φ(xi), φ(yi)) =
P
iβ(xi, yi) = dimL. Khi φ là biểu diễn bất khả quy, theo Bổ đề Schur, cφ là vô hướng (= dimL/dimV) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
Nhận xét 2.2.3. Nếu L là nửa đơn nhưng φ không là biểu diễn trung thành thì ta luôn có L = Kerφ ⊕ L0. Khi đó hạn chế của φ lên L0 là biểu diễn trung thành và phần tử Casimir của φ được xác định bằng phần tử Casimir của hạn chế này, hơn nữa, nó cũng giao hoán với φ(L)
vì φ(L) =φ(L0).