Bổ đề 2.3.1. Cho φ : L → gl(V) là một biểu diễn của đại số Lie nửa đơn L. Khi đó, φ(L) ⊂ sl(V). Đặc biệt L tác động tầm thường lên mọi L-môđun con một chiều.
φ(L) = φ([L, L]) = [φ(L), φ(L)] ⊂ [gl(V),gl(V)] = sl(V).
Phần thứ hai của bổ đề được suy ra từ việc một ma trận 1× 1 có vết bằng 0 đồng nhất với ma trận 0.
Định lí 2.3.2. (Định lý Weyl) Cho φ : L →gl(V) là một biểu diễn hữu hạn chiều của đại số Lie nửa đơn L. Khi đó L-môđun V là khả quy đầy đủ.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh một L-môđun W có đối chiều một có phần bù là môđun con của V. Ta có L tác động tầm thường lên môđun có đối chiều một V /W = F, (theo Bổ đề 2.3.1). Khi đó, dãy
0→ W →V → F → 0 là dãy khớp các L-môđun.
Bằng quy nạp theo chiều của V, ta chỉ cần xét trường hợp W là bất khả quy. Giả sử W0 là môđun con khác không thực sự của W, khi đó :
0→ W/W0 → V /W0 →F →0
là dãy khớp các L-môđun. Bằng quy nạp, ta có dãy khớp này chẻ ra, tức là tồn tại môđun con một chiều của V /W0 là phần bù của W/W0, gọi nó là W00/W0 .
Do đó V /W0 = W/W0 ⊕W00/W0 và 0 → W0 → W00 → F → 0 là khớp. Bằng quy nạp, tồn tại một môđun con một chiều X bù với W0 trong W00 sao cho W00 = W0 ⊕ X. Vậy thì V = W ⊕ X từ W ∩ X = 0 và dimW +dimX = dimV.
Bây giờ giả sử W là bất khả quy. Gọi cφ là phần tử Casimir của φ. Từ c = cφ giao hoán với φ(L), clà tự đồng cấuL−môđunV. Nên c(W) ⊂ W và Kerc là một L−môđun con của V. Từ L tác động tầm thường lên V /W, c cũng tác động tầm thường lên V /W do nó là tổ hợp tuyến tính của các tích của φ(x) với x ∈ L. Do đó, c có vết 0 trên V /W. Theo Bổ đề Schur, c tác động vô hướng trên môđun con bất khả quy W. c 6= 0 do T rV(c) = dimc 6= 0. Do đó, Kerc là một L-môđun con một chiều giao với W bằng 0. Do đó, V = W ⊕Kerc.
Xét trường hợp tổng quát. Với W là một L-môđun con khác 0 thực sự của V. Khi đó 0 → W → V → V /W → 0. Xét không gian Hom(V, W)
các ánh xạ tuyến tính như một L-môđun. Gọi A là một không gian con của của Hom(V, W) bao gồm các ánh xạ sao cho thu hẹp lên W là phép nhân vô hướng : f : V → W thỏa f|W = λ1W, λ ∈ F. Khi đó A là một L-môđun con. Giả sử f|W = λ.1W, thì với x ∈ L, w ∈ W ta có:
(x.f)(w) =x.f(w)−f(x.w) = λ(x.w)−λ(x.w) = 0. Do đó (x.f)|W = 0. Gọi B là không gian con của A bao gồm các ánh xạ có hạn chế trên W bằng 0. Theo các tính toán ở phần trên, suy ra B là L-môđun con.A/B có chiều 1 do mỗi f ∈ A được xác định bởi modulo W bởi vô hướng f|W. Vậy chúng ta có dãy khớp các L-môđun : 0 →B → A→ F →0. Theo phần đầu của chứng minh, B có phần bù là một môđun con một chiều C của A. Gọi f : V →W, f(6= 0) ∈ C là phần tử sinh của môđun này. Bằng cách nhân vô hướng, ta có thể giả sử f|W = 1W.
Vậy L tác động tầm thường. Nên ∀x ∈ L, v ∈ V : 0 = (x.f)(v) =
x.f(v)−f(x.v). Do đó, Kerf là một L-môđun con của V. Do f(V) ∈ W và tác động như là 1W trên W nên V = W ⊕Kerf.