Trong phần này, ta xét L = sl(2,F) = a b c −a |a, b, c ∈ F với cơ sở chuẩn tắc : x = 0 1 0 0 , y = 0 0 0 1 , h= 1 0 0 −1 . Ta có :[h, x] = 2x,[h, y] = −2y,[x, y] = h. Theo Ví dụ 2.1.5 :L = sl(2,F)
là đại số Lie đơn. Với V là một L-môđun, theo Định lý Weyl ta có : V = ⊕λ∈FVλ, ở đó Vλ = {v ∈ V|h.v = λv}. Khi Vλ 6= 0, ta gọi λ là một trọng của h trên V và gọi Vλ là không gian trọng.
Bổ đề 2.4.1. Nếu v ∈ Vλ thì x.v ∈ Vλ+2 và y.v ∈ Vλ−2.
Chứng minh. có : h.(x.v) = [h, x].v+x.(h.v) = 2x.v+λx.v = (λ+ 2)x.v và h(y.v) = [h, y].v +y.(h.v) = −2y.v +λy.v = (λ −2)y.v.
Vλ 6= 0 sao cho Vλ+2 = 0. Khi đó, mọi véctơ khác không trong Vλ được gọi là véctơ cực đại của trọng λ.
Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng véctơ cực đại để phân lớp các biểu diễn bất khả quy của sl(2,F). Trước hết, ta xét các bổ đề sau :
Bổ đề 2.4.2. V là một L-môđun bất khả quy. Gọi v0 ∈ Vλ là một véctơ cực đại. Đặt v−1 = 0, vi = yi!i.v0(i ≥ 0). Khi đó :
a) h.vi = (λ−2i)vi, b) y.vi = (i+ 1)vi+1,
c) x.vi = i(λ−i+ 1)vi−1 (i ≥ 0).
Chứng minh. Từ bổ đề 2.2.5 ta có (1), còn (2) được suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh (3):
x.vi = x.y.vi−1 = [x, y]vi−1 + y.x.vi−1 = h.vi−1 +y.x.vi−1
= (λ−2(i−1))vi−1 + (λ−i+ 2)y.vi−2 = (λ−2i+ 2)vi−1 + (i−1)(λ−i2)vi−1 = i(λ−i+ 1)vi−1. Hệ quả 2.4.3. Ta có : λ = m = dimV −1 Theo phần (3) của bổ đề 2.4.2, ta có 0 = x.vm+1 = (m+ 1)(λ+ 1−(m+ 1))vm, nên λ = m = dimV −1.
Nhận xét 2.4.1. Kết quả trên đây cho thấy, các biểu diễn bất khả quy của sl(2,F) có thể được mô tả qua các trọng dưới đây và không gian trọng tương ứng của chúng.
Định lí 2.4.4. Cho L-môđun bất khả quy hữu hạn chiều với các véctơ vi được xác định như trong mệnh đề 2.4.2 và m+ 1 = dimV. Khi đó, ta có :
(1) Tương ứng với h, V là tổng trực tiếp các không gian trọng Vµ, µ =
m, m−2, ...,−(m−2),−m, ở đó m+ 1 = dimV và dimVµ = 1 với mọi µ.
(2) V có duy nhất một véctơ cực đại (sai khác một vô hướng khác không) có trọng là m (gọi là trọng cao nhất của V).
(3) Tác động của L lên V được xác định tường minh từ các công thức trong bổ đề 2.4.2. Đặc biệt, tồn tại nhiều nhất một L-môđun bất khả quy, sai khác một đẳng cấu của mỗi chiều m + 1, m ≥ 1.
Chứng minh. Phần (1) được suy ra từ bổ đề 2.4.3 và 2.4.4, còn phần (3) được suy ra từ phần (1), phần (2) và bổ đề 2.4.2. Ta chứng minh phần (2) : do V xác định duy nhất trọng cực đại λ(λ = dimV −1) nên véctơ cực đại của V là duy nhất, sai khác một vô hướng.
Hệ quả 2.4.5. Cho V là một L-môđun hữu hạn chiều, với L = sl(2,F). Khi đó các trị riêng của h trên V là các số nguyên và mỗi trị riêng xuất hiện cùng số đối của nó với cùng số lần. Hơn nữa, mọi phân tích của V thành tổng trực tiếp các môđun con bất khả quy có số lượng các hạng tử là dimV0 + dimV1.
Chứng minh. Trong trường hợp dimV > 0, từ định lý Weyl, ta viết V thành tổng trực tiếp các môđun con bất khả quy. Theo định lý trên, ta được một phần của hệ quả. Để chứng minh phần hai của hệ quả, ta chỉ cần thấy rằng mỗi L-môđun bất khả quy chỉ duy nhất xuất hiện với trọng 0 hoặc trọng 1 (nhưng không phải cả hai).