Cho r là một khối trên l−ợc đồ khối R = (id; A1, A2, ..., An), ở đây ta giả thiết rằng r là một khối gồm một tập hữu hạn các phần tử. Cũng t−ơng tự nh− đại số quan hệ trong mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ, ở đây các phép toán của đại số quan hệ lại đ−ợc áp dụng cho các khối; bên cạnh đó còn có thêm phép toán mới đ−ợc xây dựng đó là tích Đề-các theo tập chỉ số [6].
Đối với các phép hợp, giao và trừ thì hai khối tham gia phải là khả hợp (nghĩa là chúng có cùng một l−ợc đồ khối).
2.4.1. Phép hợp
Cho hai khối r và s khả hợp, khi đó hợp của r và s, kí hiệu là r ∪ s, là một khối gồm các phần tử thuộc khối r hoặc thuộc khối s đã cho. Ta có:
r ∪ s = {t ⎜t ∈ r hoặc t ∈ s}.
2.4.2. Phép giao
Cho hai khối r và s khả hợp, khi đó giao của r và s là một khối, kí hiệu là r ∩ s, là một khối mà các phần tử của nó thuộc đồng thời cả hai khối r và s đã cho. Ta có: r ∩ s = {t ⎜t ∈ r và t ∈ s}.
2.4.3. Phép trừ
Cho hai khối r và s khả hợp, khi đó hiệu của r và s là một khối, kí hiệu là r - s, là một khối mà các phần tử của nó thuộc r nh−ng không thuộc s. Ta có: r - s = {t ⎜t ∈ r và t ∉ s}.
Ta có mối quan hệ giữa phép giao và phép trừ: r ∩ s = r - (r - s).
2.4.4. Tích Đề-các
Cho l−ợc đồ khối R = (id; A1, A2, ..., An), S = (id; B1, B2, ..., Bm), ở đây {A1, A2, ..., An} ∩ {B1, B2, …, Bm} = ∅.
Khi đó tích Đề-các của hai khối r(R) và s(S) là một khối, kí hiệu r ì s, khối này có khung R S = (id; Aì 1, A2, ..., An, B1, B2, …, Bm), mỗi phần tử thuộc khối này là một bộ gồm n + m ánh xạ, trong đó n ánh xạ đầu có dạng một phần tử thuộc r, còn m ánh xạ sau có dạng một phần tử thuộc s.
Biểu diễn hình thức của tích Đề-các có dạng : r ì s = {t ⎜t(R) ∈ r và t(S) ∈ s},
trong đó t = (t1, t2, ..., tn, tn+1, ..., tn+m), t(R) = (t1, t2, ..., tn) và t(S) = (tn+1, ..., tn+m).
2.4.5. Tích Đề-các theo tập chỉ số
Cho R = (id; A1, A2, .., An), S = ( id’; A1, A2, ..., An). Khi đó tích Đề- các của hai khối r(R) và s(S) theo tập chỉ số là một khối, kí hiệu r s, khối này có khung R S = {id
id
ì
id
ì id’; A1, A2, ..., An}, với id id’ là kí hiệu tích rời rạc của hai tập chỉ số id và id’. Mỗi phần tử thuộc khối này là một bộ gồm n ánh xạ (t1, t2, ..., tn) với ti: id id’ → Ai với i = 1.. n, mỗi ánh xạ này đ−ợc cảm sinh từ hai ánh xạ thứ i t−ơng ứng của r và s.
Cụ thể hơn, giả sử có 2 phần tử là tr ∈ r và ts∈ s: tr = (t1 r , t2 r , ..., tn r), ts = (t1 s , t2 s , ..., tn s),
khi đó ta có ánh xạ cảm sinh của tr và ts, phần tử cảm sinh của tr và ts , kí hiệu là trs.
Gọi j1: id → id id’ ; j2: id’ → id id’ là các phép nhúng thì ta đ−ợc: trsj1∈ r và trsj2 ∈ s và r ìids = {t | tj1 ∈ r và tj2 ∈ s.
2.4.6. Phép chiếu
Cho l−ợc đồ khối R = ( id; A1, A2, ..., An), r là một khối trên R. Khi đó ta gọi P = (id’; Ai1, Ai2, ..., Aih) là l−ợc đồ con của l−ợc đồ R nếu id’ ⊆ id, Aij ∈ {A1, A2, ..., An}, j = 1 .. h.
Một phép chiếu của khối r trên l−ợc đồ con P, kí hiệu ΠP(r) là một khối có l−ợc đồ P và mỗi phần tử thuộc khối này dạng:
(ti1, ti2, ..., tih) , trong đó: tij ∈ {t1, t2, ..., tn} với j = 1..h id’ và (t1, t2, ..., tn) ∈ r.
Biểu diễn hình thức của phép chiếu có dạng:
ΠP(r) = {(ti1, ti2, ..., tih) ⎜tij ∈ {t1, t2, ..., tn}, j = 1 .. h, (t1, t2, ..., tn)∈r}. id’
2.4.7. Phép chọn
Cho l−ợc đồ khối R = (id; A1, A2, ..., An) và khối r(R).
Cho một phép chọn nghĩa là ta xây dựng một tập con các phần tử của khối đã cho thỏa mãn biểu thức F cho tr−ớc. Biểu thức F đ−ợc diễn tả bằng một tổ hợp Boole của các toán hạng, mỗi toán hạng là một phép so sánh đơn giản giữa hai biến là hai giá trị điểm của hai ánh xạ thành phần nào đó, hoặc giữa một biến là giá trị điểm của một ánh xạ thành phần và một hằng. Các phép so sánh trong F là <, =, >, ≥, ≤, ≠, còn các phép toán logic trong F là: ∨, ∧, ơ.
Biểu diễn hình thức của phép chọn có dạng: σF(r) = {t ∈ r ⎜ F(t)}, trong đó F(t) là giá trị của biểu thức Boole F tại phần tử t ∈ r.
2.4.8. Phép kết nối
Cho l−ợc đồ khối R = (id; A1, A2, ..., An) và S = (id; B1,B2, ..., Bm), cùng với hai khối r(R) và s(S) t−ơng ứng. Gọi T = (id ; C1,C2, ..., Cp), trong đó:
Phép kết nối của 2 khối r và s, kí hiệu r s là khối t(T) định nghĩa nh− sau: t(T) = {t ⎜∃ tr ∈ r và ts ∈ s sao cho t(R) = tr, t(S) = ts}.
Phép kết nối này cũng gọi là phép kết nối tự nhiên của hai khối r(R) và s(S), đôi khi sử dụng kí hiệu r * s.
Đặc biệt, khi các khối r(R) và s(S) có tập chỉ số id trong l−ợc đồ khối của chúng chỉ gồm một phần tử thì các khối này trở thành các quan hệ và phép kết nối tự nhiên của hai khối lại trở thành phép kết nối tự nhiên của hai quan hệ trong mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ.
Nếu hai tập {A1, A2, …, An} và {B1, B2, ..., Bm} không giao nhau thì r * s trở thành tích Đề-các của hai khối đã cho.
Ta có thể mở rộng khái niệm kết nối nh− sau:
Giả sử Aik∈ {A1, A2, ..., An}, Bik ∈ {B1, B2, ..., Bm} và
dom(Aik) = dom(Bik), 1 ≤ k ≤ h (ở đây Aik và Bik không nhất thiết phân biệt). Khi đó kết nối của r và s theo Ai1, Ai2, ..., Aih và Bi1, Bi2, ..., Bih là khối t(T), khối này đ−ợc định nghĩa là:
t(T) = {t ⎜∃ tr ∈ r và ts ∈ s sao cho t(R) = tr, t(S) = ts, trik = tsik, 1 ≤ k ≤ h}, trong đó tr = (tr1, tr2, …, trn ), ts = ( ts1, ts2, ..., tsm).
Thay cho kí hiệu r s ở đây ta kí hiệu rõ hơn: t(T) = r [trik = tsik ,1 ≤ k ≤ h] s.