Phương pháp tam diện trùng theo - (LUẬN văn THẠC s- 123docz.net

Tam diện trùng theo là hệ trục toạ độ vuông góc, ký hiệu τνβ . Bề mặt

của lưỡi cắt và chi tiết được đặc trưng bởi một tam diện trùng theo tại mỗi điểm trên bề mặt đó như sau:

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

Dao βk Tam diện chi tiết β fi ν fi Chi tiết

Hình 2.2: Tam diện trùng theo

Trụcν hướng theo pháp tuyến của mặt cong, trụcτ- tiếp tuyến với mặt cong, trụcβ- tạo vớiτ vàν hệ trục toạ độ thuận.

Lưỡi cắt thường có dạng một mặt trụ hoặc mặt cầu mà có thể đặc trưng bởi tam diện vuông ký hiệuτkνkβk .

Bề mặt chi tiết được đặc trưng bởi tam diện vuông τfiν fiβfi tại mỗi điểm của nó. Chỉ số i chỉ vị trí của tam diệnτfiνfiβfi trên bề mặt cong của chi tiết. Như vậy với mỗi loại bề mặt thì sẽ có các tam diện khác nhau và trên một bề mặt tại các vị trí khác nhau sẽ có một tam diện khác nhau đặc trưng cho vị trí của nó.

Để thực hiện quá trình cắt gọt và tạo thành bề mặt thì lưỡi cắt mà đặc trưng bởi hệ toạ độ τkνkβk chuyển động theo một quy luật xác định trong hệ toạ độ chi tiết

X Y Z sao cho tại mỗi thời điểmτ ν β =τ ν β . Chính bởi điều này mà chúng

d d d k k k fi fi fi

ta gọi là các tam diện trùng theo.

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

2.1.2. Phương pháp ma trận truyền

Vị trí và hướng của trong hệ toạ độ dụng cụ được mô tả bởi ma trận

eBk . Vị trí và hướng của nó trong hệ toạ độ cơ sở được xác định bởi ma trận o Bk tính theo phương pháp ma trận truyền:

o B k

Vị trí và hướng củaτfiνfiβfi trong hệ toạ độ chi tiết làd Afi , trong hệ toạ độ cơ sở là

oAf

i =

Hình dạng bề mặt gia công đã được xác định, do đó tại mỗi điểm trên bề mặt ta có thể xác định được vị trí và hướng củaτfνf

dAfi . Mặt khác với mỗi dạng bề mặt gia công sẽ xác định một quy luật dịch chuyển lưỡi cắt, tức là hệ toạ độτkνkβk trên bề mặt gia công. Như vậy vị trí và hướng của tam diện trùng theoτkνkβk vàτfiν fiβfi

phương trình động học:

o A d

gọi ma trận xác định vị trí dAfi =d Bk =o Ad−1o Bee Bk

vế phải (4) được tính từ sơ đồ động học của MRM, Ta biểu diễn:

⎡C (t ) d ⎢ T Afi= ⎣ o dBk = oAd−1o Be

Các phần tử của C(t), r (t ) là hàm của thời gian t, các phần tử của C(q

),r (q) là hàm của các toạ độ suy rộng q = [q1 , q2 ,..., qn ]T .

Do trong các phần tử của ma trận cosin chỉ hướng C( q ), C(t) chỉ có 3 thành phần độc lập nên ta có thể chọn 3 phần tử tuỳ ý sao cho không cùng nằm trên một

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

hàng hay cột. Từ điều kiện trùng nhau của tam diện khi gia công và theo (2- 5), (2-6), ta có: ⎧ ( ) = ⎨ r q r ◊( q ) = C ⎩C ở đây: C◊(q) = [c11 (q), c22 (q), c33 ( q)]T C◊(t) = [c11(t), c22(t),c33(t)]T .

Hệ phương trình (2-7) gọi là các phương trình động học cơ bản của MRM cho phép giải bài toán động học thuận và ngược.

* Đối với bài toán thuận từ các toạ độ suy rộng q ta tính được r (q) và C◊ (q) từ hệ phương trình (2-7) ta có thể tính được r (t ) và C ◊ (t) từ đó có thể suy ra được vị trí rô bốt đang gia công tức là có thể xác định được biên dạng mà rô bốt đang gia công có một quy luật nhất định theo r (t ) và C◊ (t) .

* Đối với bài toán ngược khi biết được biên dạng cần gia công có các quy luật r (t ) và C◊ (t) . Thì bằng việc giải hệ các phương trình (2-7) ta có thể xác định chínhxác các giá trị toạ độ q từ đó có thể xác định được vị trí của rô bốt khi gia công biên dạng chi tiết đó.

2.2. Bài toán động lực học

Khi nghiên cứu động học của MRM ta chú ý rằng hệ các phương trình động học (2-7) chính là các ràng buộc chuyển động của cơ hệ, mà từ đó có thể xây dựng các liên kết chương trình hay còn gọi là các chuyển động chương trình của MRM.

Khi khảo sát động lực học của các cơ hệ chịu liên kết, như đã biết, các phương trình Newton – Euler, các phương trình Lagrange thường được sử dụng. Việc sử dụng các phương pháp nói trên là thuận lợi khi cơ hệ chịu các liên kết cơ học, ta gọi là các liên kết “cứng” hay “đóng kín”. Khi đó quy luật chuyển động của cơ hệ xác định từ điều kiện liên kết cơ học nói trên là một chương trình “cứng”. Với các cơ hệ chịu liên kết chương trình như MRM quy luật chuyển động xác định từ

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: PGS.TS. Phan Bùi Khôi

các liên kết chương trình không thể bị “cứng hoá” bởi vì nhiễu hoặc các sai lệch động học, động lực học sẽ là các nguyên nhân phá vỡ các quy luật chuyển động hiện thời. Khi đó cần xác định các lực điều khiển tương ứng một cách thích hợp sao cho tại mỗi thời điểm chuyển động của cơ hệ, các liên kết chương trình được bảo đảm. Việc sử dụng nguyên lý phù hợp là thuận lợi khi khảo sát bài toán động lực học của MRM.

2.2.1. Các chuyển động chương trình của MRM

Như đã trình bày, các chuyển động chương trình được xác định từ các sơ đồ động học của tay máy MRM, hình dạng bề mặt gia công và nguyên lý tạo hình bề mặt chi tiết. Hình dạng bề mặt gia công và nguyên lý cắt, mà ta gọi chung là các điều kiện công nghệ, có thể xác định tuỳ theo thực tế, để làm ví dụ có thể dẫn ra:

S j (r d ) = 0 ,j=1,2 x r =[x , y , z d d d d

mô tả quỹ đạo mà dọc theo đó lưỡi cắt thực hiện quá trình cắt gọt, (2-9) mô tả điều kiện về chuyển động tương đối giữa lưỡi cắt và bề mặt chi tiết, ví dụ: vận tốc cắt v(t) có thể là hàm theo t, hoặc là hằng số. Quy luật chuyển động cắt cho trong dạng (2-8), (2-9) là thực tế bởi vì ứng với mỗi dạng bề mặt gia công có dạng dụng cụ cắt tương ứng và chuyển động cắt của dao đối với chi tiết thường được xác định theo một đường cong biên dạng nào đó trên bề mặt chi tiết. Ngoài ra, vận tốc cắt gọt là yếu tố ảnh hưởng lớn đến chất lượng bề mặt gia công. Khi xác định được các thành phần của phương trình động học cơ bản (2-7) theo sơ đồ động học MRM và các điều kiện công nghệ (2-8), (2-9) ta sẽ nhận được các chuyển động chương trình của MRM. Khi chọn điều kiện công nghệ (2-8), (2-9) với vận tốc cắt là không đổi trong

quá trình cắt gọt, chuyển động chương trình (37) là hàm của Đạo hàm (2-7) theo t, ta nhận được:

Gq&+ h = 0

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: PGS.TS. Phan Bùi Khôi

ở đây G = [gij (q,q&)], h = [h1(q&,q),&h2 (q&,q),&..., hs (q, q&)]T &,i = 1,..s, j = 1,..n.

s – Số chuyển động (số liên kết) chương trình. n – Số toạ độ suy rộng khảo sát.

Với chú ý cần phải chọn các điều kiện đầu sao cho (2-9) và (2-7) là tương đương. Mặt khác det[Gαβ ] ≠ 0 , α,β = 1,..s, cần phải hiển nhiên được thảo mãn.

2.2.2. Hệ phương trình chuyển động tương thích của MRM

Khảo sát động lực học MRM chúng ta dẫn ra các tạo độ suy rộng: q = [qTd , qeT ]T = [qd1 , qd2 ,..., qdm, qem+1 , qem+2 ,...qen]T

các véc tơ vận tốc, gia tốc suy rộng sẽ là q&, &&q.

Theo nguyên lý phù hợp, phương trình chuyển động của MRM sẽ có dạng:

(2-11)

mà trong đó các thành phần của vector U = [U1,U2 ,..., Un ]T là các lực điều khiển làm sao cho chuyển động chương trình (2-11) được thực hiện; A – ma trận quán tính được xác định từ biểu thức động năng của hệ;ψ - được xác định từ ma trận A và hàm thế năng π, các thành phần của vector Q = [Q1 ,Q2 ,...,Qn ]T là lực suy rộng của các lực không bảo toàn đối với rô bốt MRM, đó có thể là các lực cắt khi gia công cơ, lực ma sát...

Kết hợp (2-10) và (2-11) ta có hệ phương trình động lực học tương thích của MRM: ⎧ &&=ψ+ Aq ⎨ &&=− ⎩ Gq Hệ (2-12) gồm các phương trình động lực học và chuyển động chương trình cho phép đồng thời để xác định các lực điều khiển buộc cơ hệ thực hiện chuyển động theo chương trình vạch ra khi thao tác công nghệ. Biểu thức động năng T của MRM không chứa rõ biến thời gian, ta có:

T = 1T 2 q& Aq& (2-13) HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009 Aq&&=ψ +Q +U

Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: PGS.TS. Phan Bùi Khôi còn các thành phần củaψ được tính: ψ = − n ∑ k l k, l=1 đại lượng (k,l ; j ) =

Việc tính toán động năng T, đối với MRM cũng như bài toán hệ nhiều vật, là khá khó khăn. Hiện nay người ta thường sử dụng phần mềm MAPLE để hỗ trợ cho việc tính toán và thu được kết quả nhanh. Ngoài ra, ở đây ta đưa ra một phép biến đổi toạ độ. Giả sử ta có thể chọn:

ξ= [ξ ,ξ ,...ξ, 1 2 T = ở đây, các phần tử của & & ξ=αq Các phần tử của ma trận α là hàm của khá thuận lợi. Khi đó ta có:

(2-16)

q việc tính α từ sơ đồ động học của MRM là T Do vậy: A=αT A0α để xác định vectorψ ta dẫn ra quá trình tính các phần tửψj ψ j ở đây ký hiệu: Aji - véc tơ cột j của ma trận

Thế năng của hệ được tính như sau:

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: PGS.TS. Phan Bùi Khôi Π = cos α0 2 trong đó: P = [ p1a , p2a a na , nb - tương ứng là số khâu, mia ,

Trong các tay máy chi tiết và dụng cụ x

j - tương ứng là toạ độ trọng tâm các khâu của tay máy chi tiết và dụng cụ trong hệ toạ độ cơ sở. Cũng như đối với việc tính động năng, khi tính thế năng, các toạ độ

xia , yjb có thể tính được nhờ phép biến đổi toạ độ đã dẫn ra.

Lực suy rộng Q được tính: Q =

Ở đódrf véc tơ định vị mũi dao (τfiνfiβfi

đã biết. N - véc tơ lực cắt xác định trong hệ toạ độ dụng cụ.

Trước khi trở lại hệ phương trình tương thích (2-12) ta xét thấy từ sơ đồ động

học, m = 3, n = 6, tức là rô bốt

q =[qTd , qeT ]T =[qd1 , qd2 , qd3 , qe4 , qe5 , qe6 ]T . Từ phương trình động học cơ bản kết hợp với điều kiện công nghệ ta xây dựng được chuyển động chương trình (2-9) trong trường hợp tổng quát là hệ 6 phương trình. Do vậy ma trận G cấp (6 x 6). Ta viết lại (2-12) trong dạng:

&&= ⎧ Aq ψ ⎨ &&=− ⎩ Gq ở đây E là ma trận đơn vị (6 x 6).

Cuối cùng ta nhận được hệ phương trình chuyển động tương thích của MRM với các đại lượng đã được xác định:

⎡ A

−

⎢

Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: PGS.TS. Phan Bùi Khôi

2.3. Thiết lập phương trình Động Học cho Robot Tác hợp phẳng: 2.3.1. Thiết lập các hệ trục toạ độ

Ta thiết lập các trục toạ độ như hình bên dưới cho các cánh tay mang dao và mang chi tiết riêng. Hệ toạ độ cho tay máy mang dao và chi tiết:

Hình 2.3: Hệ toạ độ cánh tay mang dao

Hình 2.4: Hệ toạ độ tay mang chi tiết

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

2.3.2. Các ma trận chuyển đổi giữa các hệ trục toạ độ

Dựa vào các hệ trục toạ độ vừa thiết lập ta có các ma trận truyền: Ma trận chuyển đổi từ hệ toạ độ

⎡cos(q1) ⎢ 0B1 = ⎢sin(q1) ⎢ ⎢ ⎣

Ma trận chuyển đổi từ hệ toạ độ B3 x y

Ma trận chuyển đổi từ hệ toạ độτ ν β về hệ toạ độ

(2-23)

(2-24)

e B

0A1

Ma trận chuyển đổi từ hệ toạ độ

(2-26)

⎡ cos(q3 )

(2-27)

2.3.3. Hệ phương trình liên kết động học

Theo phương pháp tam diện trùng theo thì tại mỗi vị trí khi gia công, dao và chi tiết tiếp xíc nhau, hệ toạ độτ kνkβk phải trùng với hệ toạ độτfiνfiβfi , do đó các ma trận biều diễn các hệ toạ độ này sẽ bằng nhau.

o A

Do vậy ta có các ma trận chuyển đổi từ hệ toạ độτf là ma trậnd Af d Nhân các ma trận trên ta có. ⎡−sin( ⎢ q2 dAf −cos( =⎢ q2 ⎢ ⎢ ⎣ (2-29) Với mỗi một chi tiết gia công thì hướng và vị trí của tam diện τfiνfiβfi hoàn toàn được xác định, do đó có thể tính được d Af .

⎡cos(α) d A ⎢sin(α) = ⎢ f ⎢ ⎢ ⎣

Trong đó α là góc hướng củaτ

xfi , yfi là toạ độ của điểm gốc toạ độτfiνfiβfi .

Đồng nhất hai ma trận ta sẽ thu được 16 phương trình, tuy nhiên trong mười sáu phương trình trên có các phương trình tự thoả mãn. Trong 9 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận gồm 3 hàng 3 cột phía trên bên trái. Do đó ta sẽ thu được một hệ gồm 3 phương trình.

⎧f1 = x+ l2 − l3 cos( q2 + q1 −q3) −l0 cos( q2 +q1) +l1 cos( q2) =0 ⎪ = f ⎨f2 ⎪ = −cos(α) −cos(q2 ⎩f3

Khi gia công các chi tiết cụ thể thì dao sẽ chuyển động trên một đường biên dạng nào đó trên chi tiết, mà đường biên dạng giả thiết được xây dựng từ một hàm toán học nào đó thể hiện bởi một phương trình cụ thể yfi = f( xfi ) hay y = f(x) ta có đồ thị của biên dạng như sau.

Chi tiÕt τ

α β

Hình 2.5: Biên dạng gia công

cos(α)= cos( 2 − β) =sin(β)= cos(β) .cos(β) =

Do vậy ta có hệ phương trình liên hệ giữa các toạ độ q1, q2 , q3 tiết có biên dạng y=f(x).

⎧ ⎪ = f1 ⎪ = ⎨ f2 ⎪ = − ⎪f3 ⎪ ⎩

khi gia công chi

(2-33)

Đây là hệ phương trình phi tuyến do đó không thể giải tường minh ra các ẩn q1, q2, q3 là các hàm của thời gian được. Do đó ta phải dùng phương pháp số để giải

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

hệ phương trình trên tại các giá trị cụ thể của x. tuỳ theo từng biên dạng. Đây là phương trình phi tuyến nên điều kiện đầu rất quan trọng trong việc hội tụ của nghiệm vì giải theo phương pháp số trong đó có dùng phương pháp để lặp ra nghiệm. Điều kiện đầu mà sai thì nghiệm giải ra không ổn định. Điều kiện đầu ở đây là các giá trị của q1, q2, q3 tại vị trí ban đầu, tức là các giá trị q1, q2, q3. Với mô hình rôbốt MRM việc xác định điều kiện đầu là rất khó vì giá trị của q1, q2, q3 không chỉ thoả mãn để cho dao và chi tiết tiếp xúc với nhau mà các tam diện đặc trưng cho các bề mặt của chúng phải trùng khít nên nhau. Mà chúng lại thay đổi với các biên dạng chi tiết gia công khác nhau.

Như vậy đối với bài toán thuận khi biết được vị trí làm việc của rô bốt tức là biết được các toạ độ suy rộng q1 , q2 , q3 dựa vào cấu trúc của rô bốt các l0 , l1 , l2 , l3 ta có thể tính được các gia trị x, f(x) và cos(α) từ đó có thể xác định được biên dạng mà rô bốt đang gia công ở đây x và f(x) là toạ độ

của một điểm trên biên dạng còn cos(α) là góc pháp tuyến tại điểm đó, do

đó biên dạng gia công hoàn toàn được xác định.

Cũng như vậy với bài toán ngược khi ta biết được biên dạng cần gia công, tức là biết được các giá trị x, f(x) và cos(α) của từng điểm trên biên dạng dựa vào phương trình (62) ta có thể giải ra được các q1 , q2 , q3 tương ứng, do đó có thể xác định vị trí của rô bốt.

HVTH: Nguyễn Đắc Dũng – CHCĐT 2009

Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: PGS.TS. Phan Bùi Khôi