Bài 15: Cho tứ diện OABC cĩ ba cạnh OA; OB; OC đơi một vuơng gĩc. Gọi α β γ; ; lần lượt là các gĩc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC); (OCA) và (OAB).
Chứng minh rằng : cosα +cosβ +cosγ ≤ 3
Bài 16: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng tam giác tại tâm O, lấy điểm D sao cho
3 6
a
OD= . Gọi điểm giữa của BD và DC lần lượt là M, N. 1) Tính gĩc giữa các đường thẳng AM và BC
2) Tính tỷ số thể tích giữa các phần của khối ABCD được phân chia bởi thiết diện AMN 3) Tính thể tích khối ABCMN
Bài 17: Cho tứ diện OABC cĩ các cạnh OA = OB = OC = a và đơi một vuơng gĩc với nhau, gĩc OCB = α .
1) Chứng minh rằng tứ diện cĩ các cạnh đối vuơng gĩc và hình chiếu của O xuống mặt phẳng (ABC) là trực tâm của tam giác ABC
2) Tính thể tích V của tứ diện OABC. Xác định α để thể tích V =
24 3
3
a
3) Tìm tâm và bán kính R của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 18: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a. Cạnh SA = a và vuơng gĩc với đáy
1) Tính thể tích và diện tích tồn phần của tứ diện SBCD
2) Gọi MNPQ là thiết diện của hình chĩp và một mặt phẳng song song với mặt đáy. Trong đĩ M ở trên cạnh SA và AM = x. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x
3) Tính thể tích khối ABCDMNPQ theo a và x
Bài 19: Cho hình vuơng ABCD cạnh a và I là điểm giữa của cạnh AB. Qua I dựng đường vuơng gĩc với mặt phẳng hình vuơng và lấy điểm S sao cho 2IS =a 3.
1) Chứng minh rằng SAD là tam giác vuơng. 2) Tính diện tích xung quanh hình chĩp SABCD.
3) Tính thể tích hình chĩp SACD, từ đĩ tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD
Bài 20: Đáy của hình chĩp SABC là tam giác cân ABC cĩ AB = AC = a và B = C = α .Các cạnh
bên cùng nghiêng với đáy một gĩc β. 1) Tính thể tích hình chĩp SABC
2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chĩp với mặt phẳng qua đỉnh B và đường cao SO của hình chĩp.
Bài 21: Cho tam giác cân ABC (AB = AC = 2b; BC = 2a). Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy AS = a.
1) Tính thể tích hình chĩp SABC
2) Tính diện tích tam giác SBC và suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
3) Tìm trên AS điểm M sao cho thiết diện MBC chia hình chĩp thành hai phần cĩ thể tích bằng nhau.
Bài 22: Cho khối chĩp tam giác đều S.ABC cĩ chiều cao bằng h, gĩc ASB bằng 2α .
Tính thể tích khối chĩp
Bài 23: Cho khối chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân đỉnh B, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SB = a, gĩc giữa (SBC) và đáy bằng α (0<α< (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2
π
) a/ Tính thể tích khối chĩp
b/ Tìm α để thể tích khối chĩp lớn nhất
Bài 24: Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ khoảng cách từ A tới mp(SBC) bằng 2a, gĩc giữa mặt bên và đáy bằng α (0<α < 2 π ) a/ Tính thể tích khối chĩp b/ Tìm α để thể tích khối chĩp nhỏ nhất
Bài 25: Cho khối chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. mp(AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chĩp S.AB’C’D’
Bài 26: Cho tứ diện ABCD cĩ AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Tính thể tích khối tứ diện
Bài 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, biết cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối tứ diện ABC’A’
Bài 28: Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, diện tích một mặt bên bằng diện tích đáy. a/ Tính thể tích khối chĩp
b/ Lấy điểm M tùy ý ở miền trong khối chĩp. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M tới các mặt khối chĩp khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
Bài 29: Cho điểm M di động trên đường trịn đường kính AB. Trên đường thẳng vuơng gĩc với mp chứa đường trịn tại A, lấy điểm S. Mp (P) qua A vuơng gĩc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí M để thể tích khối chĩp S.AHK lớn nhất
Bài 30: Cho khối chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. C/m rằng mp(MNP) chia khối chĩp thành hai phần cĩ thể tích bằng nhau
Bài 31: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của C’B’,C’D’ a/ Dựng thiết diện tạo bởi mp(AMN) và khối lập phương
b/ Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mp(AMN)
Bài 32: Cho tứ diện ABCD. Kẻ đường cao AH (H∈(BCD))
a/ CMR nếu H là trực tâm của tam giác BCD và AB ⊥ AC thì AB⊥AD và AC⊥AD
b/ Giả sử BC = CD = DB; AB = AC = AD, K là chân đường vuơng gĩc kẻ từ H tới AD. Đặt AH = h, HK = d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo h và d.
Bài 33: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, biết độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5; khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều. Biết diện tích ∆A’BC bằng 8, gĩc giữa mp(A’BC) và đáy bằng 300. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ chiều cao bằng 2, đáy là hình bình hành cĩ gĩc BAD= 450. Các đường chéo AC’, DB’ lần lượt tạo với đáy gĩc 450 và 600.
Bài 36: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ tất cả các cạnh đều bằng a, Các gĩc A’AB, BAD, A’AD bằng nhau và bằng α (00<α <900). Tính thể tích khối hộp
Bài 37: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bên bằng 1; đáy là hình chữ nhật; AB = 3, AD = 7. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy gĩc 450 và 600. Tính thể tích khối hộp
Bài 38: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt bên (ABB’A’) bằng 7, diện tích mặt (ABB’A’) bằng 4. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 39: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, biết AB = 2, AA’ = 3, mp(AA’B) vuơng gĩc với mp(ABC), gĩc giữa (AA’C) và (ABC) bằng 600, gĩc A’AB nhọn. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 40: Cho tứ diện ABCD, biết AB = AC = BC = BD = a, AD = b, hai mặt (ACD) và (BCD) vuơng gĩc với nhau
a/ Chứng minh ∆ACD vuơng
b/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 41: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường thẳng (d) đi qua A và vuơng gĩc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kỳ trên (d), S khác A
a/ Biết SA = h, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b/ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua tâm mặt cầu nĩi trên. CMR khi S thay đổi trên (d) thì A’ thuộc một đường thẳng cố định
Bài 42: Cho tứ diện ABCD, biết BC = a; BD = b, gĩc CBD bằng α , AB⊥(BCD). Gọi B’, C’ lần
lượt là hình chiếu của B trên AC và AD. CMR các điểm B, C, D, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu và tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đĩ theo a, b, α .
Bài 43: Một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chĩp S.ABC và cĩ tâm I nằm trên đường cao SH của hình chĩp
a/ C/m S.ABC là hình chĩp đều
b/ Biết SI = R 3, tính độ dài đường cao SH.
Bài 44: Cho hai tia Ax, By chéo nhau và vuơng gĩc với nhau, AB là đường vuơng gĩc chung. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm C, D. Biết AB = a, AC = b, BD = c
a/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
b/ Khi C, D thay đổi trên Ax, By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh CD luơn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB
Bài 45: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vuơng cạnh a. a/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ
b/ Mp(α ) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo một dây cung cĩ độ dài bằng bán
kính đáy hình trụ. Tính diện tích các thiết diện tạo bởi mp(α) với hình trụ và khối cầu ngoại tiếp
hình trụ
Bài 46: Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy là R, gĩc giữa đường sinh và đáy bằng α. Mp(P) song
song với đáy hình nĩn, cách đáy hình nĩn một khoảng bằng h, cắt hình nĩn theo đường trịn (C) a/ Tính bán kính đường trịn (C) theo R, h, α
b/ Tính diện tích và thể tích phần hình nĩn nằm giữa đáy hình nĩn và mp(P)
Bài 47: Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy là R, chiều cao bằng 4R.
a/ Tính diện tích tồn phần hình trụ nội tiếp hình nĩn, biết bán kính đáy hình trụ bằng r
b/ Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nĩn theo R để diện tích tồn phần hình trụ đạt giá trị lớn nhất