riêng trong một số bài toán kinh tế. Đó là những bài toán liên quan đến hàm cận biên, hàm bình quân, bài toán tối ưu kinh tế như lợi nhuận kinh tế, doanh thu tối đa, chi phí tối thiểu.
2.1 Đạo hàm và giá trị cận biên. Mối quan hệ giữahàm bình quân và hàm cận biên hàm bình quân và hàm cận biên
2.1.1 Định nghĩa. [5]. Cho hàm số y =f(x) với x, y là các biến số kinh tế, gọi x0 là một điểm thuộc tập xác định của hàm số. Hàm số M y = f′
(x) được gọi là hàm cận biên. Giá trị M y(x0) =f′(x0)được gọi là giá trị cận biên của hàm sốf(x) tại điểm x0
(hay giá trị cận biên tại x0).
2.1.2 Nhận xét. [5]. 1) Tạix0 khi đối số x thay đổi một đơn vị thì giá trị hàm sốf(x)
thay đổi một lượng xấp xỉ bằngM y(x0) = f′(x0).
2) Nếu M y(x0) = f′(x0)> 0thì f(x) sẽ thay đổi cùng chiều với đối số x (nghĩa là f(x) tăng khi x tăng và f(x) giảm khi x giảm) và nếu M y(x0) =f′(x0) < 0 thì f(x)
sẽ thay đổi ngược chiều với đối sốx(nghĩa là f(x) tăng khi x giảm vàf(x) giảm khix tăng).
2.1.3 Ví dụ. Cho hàm kinh doanh R(Q) = 1400Q−Q2(Q≥0). a) Tìm hàm doanh thu biên M R(Q)?
b) Tại Q0 = 600, khi Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị?
c) Tính giá trị doanh thu biên tại Q0 = 710và giải thích ý ngĩa kết quả nhận được. Giải: Ta có
a)M R(Q) = R′(Q) = 1400−2Q(Q≥0). b)M R(600) = 1400−2.600 = 20 >0.
Vậy tạiQ0 = 600, khi Qtăng một đơn vị thì doanh thu sẽ tăng một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị.
c)M R(710) = 1400−2.710 =−20<0.
Vậy tại Q0 = 710, khi Q thay đổi một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi (ngược chiều) một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị (trong trường hợp này, khiQ tăng thêm một đơn vị thì doanh thu sẽ giảm một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị).
2.1.4 Ví dụ. Cho sản xuất ngắn hạn Q= 40√
L(L≥0)
a) Tìm hàm sản xuất cận biên của lao động M P L=Q′(L)?
b) Tại L0 = 100, nếu tăng thêm một đơn vị lao động thì sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu? Giải: Ta có a)M P L=Q′(L) = (40√ L)′ = √20 L. b)M P L(100) = √20 100 = 2 (đơn vị sản phẩm).
Vậy tạiL0 = 100, nếu L tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ tăng thêm 2 đơn vị. 2.1.5 Ví dụ. Cho hàm tổng chi phí C(Q) = 0,1Q2+ 0,4Q+ 120,(Q≥0)
a) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q)?
b) Tính chi phí biên tại mức sản lượngQ0 = 100và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được?
Giải: Ta có:
a)M C(Q) =C′(Q) = 0,2Q+ 0,4.
b)M C(100) = 0,2.100 + 0,4 = 20,4 (đơn vị sản phẩm).
xấp xỉ bằng 20,4 đơn vị , tuy nhiên vì 20,4 > 0 nên chi phí cũng sẽ thay đổi theo chiều với sản lượng.
2.1.6 Ví dụ. [6]. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên thị trường với hàm cầu Q= 1500−5p. Hãy tính doanh thu cận biên tại mức sản lượngQ0 = 650 và giải thích ý nghĩa.
Giải:
Căn cứ vào hàm cầu, để tiêu thụ được Q sản phẩm công ty phải bán với giá:p= 300−Q5. Hàm doanh thu là: R(Q) =p.Q= (300− Q5).Q= 300Q−Q
2
5 .
Doanh thu cận biên của công ty là: M R= 300− 25Q.