Tại điểm hàm bình quân đạt cực trị thì My − Ay =⇒ My = Ay (đường cận biên gặp đường bình quân tại điểm đường bình quân đạt cực trị).
2.3.2 Tìm mức sản lượng Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi nhuận tối đa
lợi nhuận tối đa
2.3.3 Ví dụ. Cho biết hàm tổng chi phí làC(Q) =Q3−120Q2+ 60Q,(Q > 0). Hãy định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất.
Giải: Ta có: C(Q) = Q3−120Q2+ 60Q,(Q >0)⇒AC(Q) =Q2−120Q+ 60. AC′ = 2Q−120⇒AC′ = 0 ⇔2Q−120 = 0⇒Q= 60. AC′′= 2 >0(∀Q >0).
Vậy AC(Q) đạt cực tiểu khi Q= 60. VìAC(Q)có duy nhất điểm cực tiểu với Q >0 , nên nó cũng đạt giá trị nhỏ nhất khi Q= 60.
2.3.4 Ví dụ. [5]. Cho hàm chi phí là C(Q) = 4Q3+ 5Q2 + 500,(Q >0) và hàm cầu đảo làp= 11160−Q . Hãy định mức sản lượng Q cho lợi nhuận cực đại.
Giải: Từ p= 11160−Q⇒R(Q) = p.Q= 11160Q−Q2. Do đóπ(Q) = R(Q)−C(Q) = −4Q3 −6Q2+ 11160Q−500,(Q >0). π′(Q) = −12Q2−12Q+ 11160⇒π′(Q) = 0⇔ −12Q2−12Q+ 11160 = 0 ⇒Q1 = 30, doQ >0 π′′(Q) =−24Q−12⇒π′′(30) =−732<0.
Vậy tại mức sản lượngQ= 30 hàm lợi nhuận đạt cực đại.
2.3.5 Ví dụ. Cho hàm tổng chi phí là C(Q) = Q3 −8Q2+ 57Q+ 150,(Q ≥0). Hãy định mức sản lượng Q để chi phí nhỏ nhất.
Giải:
Từ C(Q) = Q3−8Q2 + 57Q+ 150,(Q≥0)⇒C′(Q) = 3Q2−16Q+ 57,(Q≥0). Ta có ∆ = (−16)2−4.3.57 =−428<0và a= 3 >0.
Suy ra C′(Q)>0,(∀Q≥0).
Vậy C(Q) luôn tăng với ∀Q≥0, nên C(Q) đạt giá trị nhỏ nhất khi Q= 0.
2.3.6 Ví dụ. Cho hàm tổng lợi nhuận là π(Q) =−13Q3 + 14Q2+ 60Q−54,(Q≥0). Hãy định mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất.
Từ π(Q) = −13Q3+ 14Q2+ 60Q−54,(Q≥0)⇒π′ (Q) = −Q2+ 28Q+ 60,(Q≥0). Ta có π′(Q) = 0 ⇒Q= 30 (do Q≥0). π′′ (Q) =−2Q+ 28⇒π′′ (30) =−32<0.
Vậy tại mức sản lượngQ= 30 hàm lợi nhuận đạt cực đại.
2.3.7 Ví dụ. Cho biết hàm doanh thu và hàm sản xuất của một nhà sản xuất như sau R(Q) = 1400Q−7,5Q2, C(Q) = Q3−6Q2+ 140Q+ 750. Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận tối đa.
Giải:
Hàm lợi nhuận của nhà sản xuất trong trường hợp này là π(Q) =R(Q)−C(Q) =−Q3−1,5Q2+ 1260Q−750,(Q >0). π′(Q) = −3Q2−3Q+ 1260.
π′(Q) = 0⇒ −3Q2−3Q+ 1260 = 0⇒Q1 = 20, Q2 =−21 (loại Q2 =−21). π′′(Q) =−6Q−3.
Suy ra π′′(20) =−123<0.
Vậy mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất làQ= 20.
2.3.8 Ví dụ. [6]. Cho biết hàm chi phí cận biên M C = 3Q2−6Q+ 132 và hàm cầu đối với sản phẩm Q= 148−2
3p. Hãy xác định mức sản lượng Q tối ưu của nhà sản xuất. Giải:
Căn cứ theo cầu của thị trường để tiêu thụ lượng Q sản phẩm, nhà sản xuất phải bán với giá:p= 222−1,5Q.
Tổng doanh thu của nhà sản xuất tại mức sản lượng Q là
R(Q) =pQ= (222−1,5Q)Q. Doanh thu cận biên làM R = 222−3Q.
Ta có π(Q) = R(Q)−C(Q). π′(Q) = R′(Q)−C′(Q). π′ (Q) = M R−M C =−3Q2+ 3Q+ 90. π′(Q) = 0⇒ −3Q2+ 3Q+ 90 = 0⇒Q1 = 6, Q2 =−5(loại Q2 =−5). π′′(Q) =−6Q+ 3. Suy ra π′′(6) =−33<0.
2.3.9 Ví dụ. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Cho hàm chi phí làC(Q) = Q3−19Q2+ 333Q+ 10,(Q >0)và hàm cầu đảo là p= 300−Q . Hãy định mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận cực đại.
Giải: Từ p= 300−Q⇒R(Q) =p.Q= 300Q−Q2. Do đóπ(Q) = R(Q)−C(Q) = −Q3+ 18Q2−33Q−10,(Q >0). π′(Q) = −3Q2+ 36Q−33⇒π′(Q) = 0⇔ −3Q2+ 36Q−33 = 0. Suy ra Q1 = 11, Q2 = 1. π′′(Q) =−6Q+ 36.
Suy ra: π′′(11) =−30<0,π(Q)đạt cực đại ( thỏa mãn yêu cầu bài toán) vàπ(1) = 30>0, π(Q) đạt cực tiểu (không thỏa mãn yêu cầu bài toán). Vậy tại mức sản lượngQ= 11 xí nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
2.3.10 Ví dụ. Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm trên thị trường với hàm chi phí C(Q) = Q2+ 2000Q+ 5000000.
a) Tại mức sản lượng Q= 3500, hãy xác định các chỉ tiêu: C(Q), chi phí khả biến VC (Variable Cost) và chi phí cố định FC (Fixed Cost).
b) Tại mức sản lượng Q= 2500, hãy xác định các chỉ tiêu: AC và MC. c) Xác định mức sản lượng có chi phí trung bình thấp nhất.
Giải:
a) Ta có: C(Q) = Q2 + 2000Q+ 5000000. (1) F C = 5000000. (2)
V C =Q2+ 2000Q. (3)
ThayQ= 3500 vào (1), (2) và (3) ta được: C= 24250000. F C = 5000000. V C = 19250000. b) Ta có:AC = C(Q) Q =Q+ 2000 + 5000000 Q (4) M C =C′(Q) = 2Q+ 2000(5)
ThayQ= 2500 vào (4) và (5) ta được: AC = 6500và M C = 7000. c) Ta có: C(Q) = Q2 + 2000Q+ 5000000.
Suy ra AC = C(Q)
Q =Q+ 2000 +
5000000
Q . AC đạt cực tiểu khi AC ’ = 0 kéo theo1−5000000
Q2 = 0 ⇔Q2 = 5000000 ⇒Q≃2236,1. TạiQ≃2236,1 ⇒AC = 6472,14 và M C = 6472,14.
Vậy MC = AC (MC đi qua điểm cực tiểu của AC). Tại đây AC thấp nhất.
2.3.11 Ví dụ. Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm trên thị trường với hàm chi phí C(Q) = Q2+ 180Q+ 140000.
a) Nếu giá thị trường là p= 1200, xí nghiệp nên sản xuất một mức sản lượng nào để đạt lợi nhuận tối đa? Mức lợi nhuận đó là bao nhiêu?
b) Tại mức giá trên ở mức sản lượng nào xí nghiệp hòa vốn? Giải: a) Ta có C(Q) = Q2+ 180Q+ 140000 và R(Q) =p.Q= 1200Q. π(Q) =R(Q)−C(Q) =−(Q2+ 180Q+ 140000−1200Q). Suy ra π(Q) =−Q2+ 1020Q−140000. Ta lại có π′(Q) = −2Q+ 1020 và π′(Q) = 0⇒ −2Q+ 1020 = 0⇔Q= 510. π′′(Q) =−2<0⇒π đạt cực đại.
Vậy tại mứcQ= 510 xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, với mức lợi nhuận π(510) =−5102+ 1020.510−140000 = 120100. b) Xí nghiệp hòa vốn khi
C(Q) =R(Q)
Q2+ 180Q+ 140000 = 1200Q
⇔Q2−1020Q+ 140000 = 0
⇔Q1 ≃856,6;Q2 ≃163,4.
Vậy với mức giá bằng 1200, xí nghiệp hòa vốn tại hai mức sản lượng Q1 ≃856,6;
Q2 ≃163,4.
2.3.12 Ví dụ. Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm trên thị trường với hàm chi phí và hàm cầu như sauC(Q) =Q2+ 240Q+ 45000;p= 1200−2Q.
a) Xác định mức giá và mức sản lượng mà nhà sản xuất đạt lợi nhuận tối đa? Tính tổng lợi nhuận đạt được?
b)Tại mức sản lượng nào doanh thu của doanh nghiệp đạt cao nhất? Giải: a) Ta có C(Q) = Q2+ 240Q+ 45000. R(Q) =p.Q= (1200−2Q)Q= 1200Q−2Q2. π(Q) =R(Q)−C(Q) =−2Q2+ 1200Q−(Q2+ 240Q+ 45000). Suy ra π(Q) =−3Q2+ 960Q−45000. Ta lại cóπ′(Q) =−6Q+ 960. π′(Q) = 0⇒ −6Q+ 960 = 0⇔Q= 160. π′′(Q) =−6<0⇒π đạt cực đại.
Vậy tại mứcQ= 160 nhà sản xuất đạt lợi nhuận tối đa, với mức lợi nhuận π(160) =−3.1602+ 960.160 + 45000 = 31800.
b) Doanh thu của doanh nghiệp đạt cao nhất khi M R= 0
⇔1200−4Q= 0 ⇔Q= 300.
Vậy tại mức sản lượngQ= 300 doanh thu của doanh nghiệp đạt tối đa.