3.1.1 Ví dụ. Cho sản xuất biên của lao động: M P L = √15
L. Hãy tìm hàm sản xuất ngắn hạn Q=f(L), biết Q(144) = 4000. Giải: Ta có: Q=f(L) = ∫ 15 √ LdL= 30L 0.5+C; Q(144) = 30.1440.5+C = 4000⇒C = 3640. Suy ra Q= 30.L0.5 + 3640. 54
3.1.2 Ví dụ. [6]. Giả sử chi phí cận biên (Marginal Cost) ở mỗi mức sản lượng Q là M C = 25−30Q+ 9Q2 và chi phí cố định (Fixed Cost) FC = 55. Hãy xác định hàm tổng và chi phí khả biến (Variable Cost).
Giải:
Hàm tổng chi phíC(Q)là nguyên hàm của hàm chi phí cận biên C(Q) =
∫
(25−30Q+ 9Q2)dQ= 25Q−15Q2+ 3Q3+C.
Chi phí cố định là phần chi phí không phụ thuộc vào sản lượngQ tức là ở mức Q= 0, do đóF C =C(0). Suy ra C = 55. Vậy
C(Q) = 55 + 25Q−15Q2+ 3Q3.
Chi phí khả biến là chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q và bằng hiệu của tổng chi phí và chi phí cố định. Do đó
V C(Q) =C(Q)−F C = 25Q−15Q2+ 3Q3.
3.1.3 Ví dụ. [6]. Cho hàm doanh thu cận biên (Marginal Revenue) ở mỗi mức sản lượng Q là
M R= 60−2Q−2Q2.
Hãy xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất. Giải:
Hàm tổng doanh thuR(Q)là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên R(Q) =
∫
(60−2Q−2Q2)dQ= 60Q−2Q2− 23Q3+C. Hiển nhiên khi Q= 0 doanh thu bán hàng là R(0) =C = 0. Vậy
R= 60Q−2Q2− 23Q3.
Gọi p = p(Q) là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q = D(p). Ta có R=p(Q).Q. Từ đây ta suy ra
p(Q) = R
Q = 60−Q− 2
3Q
3.1.4 Ví dụ. [6]. Chi phí cận biên ở mỗi sản lượng Q là M C = 12.e0,5Q và chi phí cố định FC = 36. Tìm hàm tổng chi phí. Giải: Ta có C(Q) = ∫ M C = ∫ 12e0,5QdQ= 12. 1 0,5.e 0,5Q+C. Chi phí cố định là chi phí ở mức Q = 0, do đó FC = C(0). Suy ra
24.e0,5.0+C = 36⇒C = 12. Vậy C(Q) = 24.e0,5Q+ 12.
3.1.5 Ví dụ. [5]. Doanh thu cận biên ở mỗi sản lượng Q làM R = 40Q−16.e0,4Q. Tìm hàm tổng doanh thu.
Giải:
Ta có hàm doanh thu cận biênM R = 40Q−16.e0,4Q. Do đóR(Q) = ∫
M R=∫
(40Q−16.e0,4Q)dQ= 20.Q2−40.e0,4Q+C. Hiển nhiên khi Q = 0 doanh thu bán hàng R(0) = 0⇒C = 40. Vậy hàm tổng doanh thuR(Q) = 20.Q2−40.e0,4Q+ 40.
3.2 Hàm quỹ vốn và hàm đầu tư
Giả sử lượng đầu tư I ( tốc độ bổ sung vốn) và quỹ vốn K là các hàm số củabiến thời gian t, tức là: I = I(t), K =K(t). Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ