Sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bài toán (2.1) được chứng minh trong định lý sau (xem [3]).
Định lý 2.1.1. Với mỗi α > 0, h > 0và fδ ∈ X∗, bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4) có duy nhất nghiệm xτα. Ngoài ra, nếu h+δ
α , α → 0 thì
{xτα} hội tụ đến phần tử x0 ∈ S0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất.
Chứng minh. DoX∗ là không gian lồi chặt nên Us là một ánh xạ h-liên tục. Vì vậy, Ah+αUs cũng là một toán tử đơn điệu và h-liên tục từ X vào X∗. Mặt khác, do Us là toán tử bức nên với mỗi α > 0toán tử Ah+αUs cũng là một toán tử bức. Thật vậy, ta xét h(Ah+ αUs)(x), xi = hAh(x) +αUs(x), x−θi = hAh(x)−Ah(θ), x−θi +hAh(θ), x−θi +αhUs(x), xi. (2.5) Từ |hAh(θ), x−θi| ≤ kAh(θ)kkx−θk ta suy ra hAh(θ), x−θi ≥ −kAh(θ)kkxk.
Kết hợp định nghĩa của Us và tính đơn điệu của toán tử Ah, từ (2.5) ta có
h(Ah+αUs)(x), xi kxk ≥ αkxks − kAh(θ)kkxk kxk = αkxks−1 − kAh(θ)k. (2.6) Vì s ≥ 2 nên từ (2.6) ta nhận được lim kxk→+∞ h(Ah+αUs)(x), xi kxk = +∞.
Hơn nữa, toán tử Ah+αUs đơn điệu mạnh vì
h(Ah+αUs)(x)−(Ah+αUs)(y), x−yi
= hAh(x)−Ah(y), x−yi+ αhUs(x)−Us(y), x−yi ≥ αmUkx−yks.
Theo Định lý 1.3.1 ở Chương 1, bất đẳng thức biến phân (2.4), với mỗi
Bây giờ, ta chứng minh {xδα} hội tụ đến nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất. Thật vậy, từ (2.1) và (2.4), với mọi x0 ∈ S0 ta có:
hA(xτα)−A(x0), xτα−x0i
+αhUs(xτα−x∗)−Us(x0 −x∗), xτα −x0i ≤ hAh(xτα)−A(xτα), x0 −xταi
+hf −fδ, x0 −xταi+αhUs(x0 −x∗), x0 −xταi.
(2.7)
Mặt khác, từ (1.2), (2.2), (2.3) và tính chất đơn điệu của toán tử A, (2.7) có dạng mUkxτα −x0ks ≤ hUs(xτα −x∗)−Us(x0 −x∗), xτα−x0i ≤ hg(kx τ αk) + δ α kx0 −xταk +hUs(x0 −x∗), x0 −xταi. (2.8)
Bất đẳng thức (2.8) chứng tỏ dãy {xτα}giới nội. VìX là không gian Banach phản xạ, cho nên tồn tại một dãy con của {xτα} hội tụ yếu đến một phần tử
x1 nào đó của X. Không giảm tổng quát, ta giả thiết rằng xτα * x1, khi
h+δ
α , α → 0. Trong bất đẳng thức (2.4) cho h, α, δ → 0, sử dụng tính đơn điệu, h-liên tục của Ah, Us và tính hội tụ yếu của dãy {xτα} ta được
hA(x)−f, x−x1i ≥ 0, ∀x ∈ K.
Vì K là một tập con lồi đóng nên thay x trong bất đẳng thức cuối cùng bởi
ty + (1−t)x1 với ∀y ∈ K, t ∈ (0; 1), sau đó chia cả hai vế cho t rồi cho
t →0 ta nhận được
hA(x1)−f, y −x1i ≥ 0, ∀y ∈ K.
α, h+δ
α → 0ta suy ra
0≤ mUkx1 −xks ≤ hUs(x−x∗), x−x1i, ∀x ∈ S0.
Lại thay x trong bất đẳng thức này bởi tx1 + (1−t)x, 0 < t < 1, chia cả hai vế cho (1−t) rồi cho t → 1ta nhận được
hUs(x1 −x∗), x−x1i ≥ 0, ∀x ∈ S0,
nghĩa là
hUs(x1 −x∗), x−x∗i ≥ hUs(x1 −x∗), x1 −x∗i = kx1 −x∗ks.
Từ đây suy ra kx1−x∗k ≤ kx−x∗k, ∀x ∈ S0. Vì tập nghiệm S0 của (2.1) là một tập lồi đóng và X là không gian Banach lồi chặt nên x1 = x0.Cũng từ (2.8) suy ra dãy nghiệm {xτα} hội tụ mạnh đến x0.
2