Trước khi đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, ta nhắc lại định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1.1. (xem [9]) Toán tử đơn trị A : X → X∗ được gọi là
ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số mA > 0 thoả mãn
hA(x)−A(y), x −yi ≥ mAkA(x)−A(y)k2, ∀x, y ∈ D(A). (2.9) Nếu A là toán tử ngược đơn điệu mạnh thì A liên tục Lipschitz và
kA(x)−A(y)k ≤ 1
? Nhận xét: Một toán tử ngược đơn điệu mạnh thì không nhất thiết đơn điệu mạnh.
Ví dụ 2.1.1. (xem [9]) Cho H là một không gian Hilbert, M là một tập con lồi đóng của H. Toán tử PM chiếuH lên M là một toán tử không giãn, đơn điệu và thỏa mãn điều kiện
hPM(x)−PM(y), x−yi ≥ kPM(x)−PM(y)k2 ∀x, y ∈ H,
có nghĩa PM là toán tử ngược đơn điệu mạnh, nhưng PM không đơn điệu mạnh trừ khi M ≡ H.
Nếu A là một toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp, xác định không âm trên không gian Hilbert H thì A là toán tử ngược đơn điệu mạnh. Ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.1.1. (xem [9]) Nếu A : H → H là toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp trên không gian Hilbert H thì các điều kiện sau là tương đương:
i) ∃mA > 0 : hAx, xi ≥ mAkAxk2, ∀x∈ H;
ii) hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H;
iii) Tất cả các giá trị riêng của A đều không âm.
Để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh ta sử dụng bất đẳng thức Young (xem [1] và tài liệu dẫn):
a, b, c ≥0, k > t, ak ≤ bat +c =⇒ak = O(bk/(k−t) +c).
Định lý sau cho ta kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở tham số hiệu chỉnh được chọn thỏa mãn
Định lý 2.1.2. (xem [11]) Giả sử:
(i) A là một toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X vào X∗ và khả vi Fréchet tại lân cận nào đó của S0 với tính chất
kA(x)−A(x0)−A0(x0)(x−x0)k ≤ τ˜kA(x)−A(x0)k ∀x ∈ X,
(2.10) ở đây A0(x) là đạo hàm Fréchet của A tại x, và τ˜ là một hằng số dương;
(ii) tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho A0(x0)∗z = Us(x0 −x∗); (iii) tham số α = α(h, δ) được chọn sao cho α = α(h, δ) ∼ (h+ δ)η,
0 < η < 1. Khi đó, kxτα−x0k = O((h+δ)à), à = min 1−η s−1, η 2s−1 . Chứng minh. Từ (2.1)-(2.4) ta suy ra hA(xτα)−A(x0), xτα−x0i +αhUs(xτα −x∗)−Us(x0 −x∗), xτα−x0i ≤ hAh(xτα)−A(xτα), x0 −xταi +hf −fδ, x0 −xταi+αhUs(x0 −x∗), x0 −xταi ≤ hg(kxταk) +δkx0 −xταk +αhUs(x0 −x∗), x0 −xταi. (2.11)
Kết hợp tính chất ngược đơn điệu mạnh của toán tử A, tính đơn điệu của ánh xạ Us, từ (2.11) ta nhận được
kA(xτα)−A(x0)k2 ≤ 1
mA hg(kxταk) +δ +αkx0 −x∗ks−1
kx0 −xταk.
Mặt khác, từ (1.2), (2.10), tính đơn điệu của toán tử A và điều kiện (ii) suy ra mUkxτα−x0ks ≤ hg(kx τ αk) +δ α kx0 −xταk +hz, A0(x0)(x0 −xτα)i ≤ hg(kx τ αk) +δ α kx0 −xταk +kzk(1 + ˜τ)kA(xτα)−A(x0)k. (2.13)
Do tham số hiệu chỉnh α được chọn thỏa mãn α ∼ (h+δ)η, 0< η < 1 và dãy {xτα} bị chặn nên kết hợp (2.12), (2.13) ta được
mUkxτα−x0ks ≤ C1(h+δ)1−ηkx0 −xταk+C2(h+δ)η/2kx0 −xταk1/2,
trong đó C1, C2 là các hằng số dương.
áp dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức cuối cùng ta có đánh giá
kxτα(h,δ)−x0k = O (h+δ)à, à = min 1−η s−1, η 2s−1 . 2