Các kết quả của mục này được lấy từ bài báo trong [12]. 2.2.1. Xấp xỉ hữu hạn chiều
Chúng tôi xấp xỉ hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4) bởi
hAnh(xτα,n) +αUn(xτα,n−xn∗)−fδn, xn−xτα,ni ≥ 0, ∀xn ∈ Xn, (2.14) ở đây Anh = Pn∗AhPn, Un = Pn∗U Pn, xn∗ = Pnx∗, fδn = Pn∗fδ, Pn : X −→
thiết là bị chặn đều trên X, Pn∗ là toán tử liên hợp của Pn, Xn ⊂ Xn+1, ∀n
và Pnx−→ x, ∀x ∈ X.
Cũng giống như (2.4) bất đẳng thức biến phân (2.14) có duy nhất nghiệm kí hiệu là xτα,n˜ với mỗi α, τ >˜ 0 và n cố định. Trước hết ta sẽ chỉ ra rằng dãy nghiệm {xτα,n˜ } hội tụ đến x0 khi h, δ → 0và n → ∞.
Đặt γn(x) =k(I −Pn)xk, x∈ X; γn = max{γn(x0), γn(x∗)}.
Định lý 2.2.1. Nếu h/α, δ/˜ α˜ và γn(x)/α˜ → 0 khi α˜ → 0 và n → ∞ thì dãy nghiệm xτα,n˜ của (2.14) hội tụ đến x0 ∈ S0.
Chứng minh. Lấy x ∈ S0, xn = Pnx, từ (1.2) và (2.14) suy ra
mUkxτα,n˜ −xnks ≤ hUn(xτα,n˜ −xn∗), xτα,n˜ −xni +hUn(xn−x∗n), xn −xτα,n˜ i ≤ 1 ˜ αhAnh(xτα,n˜ )−fδn, xn −xτα,n˜ i +hUn(xn−x∗n), xn −xτα,n˜ i. (2.15)
Sử dụng tính đơn điệu của Anh và tính chất của phép chiếu Pn, từ (2.15) ta có mUkxτα,n˜ −xnks ≤ 1 ˜ αhAh(xn)−fδ, xn−xτα,n˜ i +hU(xn −x∗n), xn −xτα,n˜ i = 1 ˜ αhAh(xn)−A(xn) +A(xn)−A(x) +A(x)−f +f −fδ, xn−xτα,n˜ i +hU(xn −xn∗), xn −xτα,n˜ i. (2.16)
Kết hợp (2.2), (2.3), tính đơn điệu của A và (2.16) ta suy ra mUkxτα,n˜ −xnks ≤ 1 ˜ α hg(kxnk) +δ + ˜C0γn(x)kxn −xτα,n˜ k +kAx−fkγn(x) +hU(xn−x∗n), xn −xτα,n˜ i ≤ δ +hg(kx nk) + ˜C0γn(x) ˜ α kxn −xτα,n˜ k + (C0 +kAx−fk)γn(x) ˜ α +hU(xn −xn∗), xn −xτα,n˜ i, (2.17) ở đây C0 và C˜
0 là các hằng số dương. Bất đẳng thức này chứng tỏ dãy
xτα,n˜ bị chặn. Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử xτα,n˜ * x¯ ∈ X khi
h, δ → 0và n →+∞.
Từ (2.14) sử dụng tính chất đơn điệu của Anh, Un và tính chất của Pn với α
thay bởi α˜ ta nhận được
hAh(xn)−fδ, xn −xτα,n˜ i+ ˜αhU(xn−xn∗), xn−xα,nτ˜ i ≥ 0, xn ∈ Xn.
Trong bất đẳng thức này cho h, δ → 0và n→ +∞, trên cơ sở (2.2), (2.3), sử dụng tính hội tụ yếu của dãy xτα,n˜ ta có
hA(x)−f, x−x¯i ≥ 0, ∀x ∈ X.
Bất đẳng thức này tương đương với
hA(¯x)−f, x−x¯i ≥ 0, ∀x ∈ X
(Bổ đề Milty), tức là x¯ ∈ S0. Thay xn trong (2.17) bởi x¯n = Pnx¯ ta thấy dãy xτα,n˜ hội tụ mạnh đến x¯. Mặt khác, từ (2.17) suy ra
Thay x bởi tx¯+ (1 −t)x, t ∈ (0,1) trong bất đẳng thức này, chia cả hai vế cho (1−t) và sau đó chot dần đến 1 ta nhận được
hU(¯x−x∗), x−x¯i ≥ 0, ∀x ∈ S0,
nghĩa là
hU(¯x−x∗), x−x∗i ≥ hU(¯x−x∗),x¯−x∗i = kx¯−x∗k2.
Suy ra, kx¯−x∗k ≤ kx−x∗k, ∀x ∈ S0. Do tính lồi và đóng của S0, và tính lồi chặt của X, suy ra x¯ = x0.
2
2.2.2. Tốc độ hội tụ
Trong mục này chúng tôi nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều trên cơ sở tham số hiệu chỉnh chọn theo quy tắc sau. Quy tắc 2.2.1. Chọn α˜ = α(h, δ, n) ∼ (h+δ +γn)η, 0 < η < 1.
Giả thiết 2.2.1. Tồn tại số τ >˜ 0 thoả mãn
kA(y)−A(x)−A0(x)(y−x)k ≤ τ˜kA(y)−A(x)k, (2.18) với y thuộc một lân cận nào đó của x ∈ S0, A0(x) là đạo hàm Fréchet của
A tại x.
Tính chất (2.18) của toán tử A được Hanke, Neubauer và Scherzer [7] đưa ra khi phân tích sự hội tụ của phương pháp lặp Landweber cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến với τ <˜ 1/2. Bây giờ, giả thiết rằng
A0(x) là bị chặn đều vớix ∈ S0. Tốc độ hội tụ củaxτα,n˜ đếnx0 khih, δ → 0
Định lý 2.2.2. Giả sử:
(i) A là toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X vào X∗ và khả vi Fréchet tại lân cận nào đó của S0 với Giả thiết 2.2.1 tại x = x0;
(ii) tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho A0(x0)∗z = U(x0 −x∗); (iii) tham số α˜ = α(h, δ, n) được chọn theo Quy tắc 2.2.1. Khi đó, kxτα,n˜ −x0k= O((h+δ +γn)à1 +γà2 n ), à1 = min 1−η s , η 2s , à2 = min 1 s, ν s−1 .
Chứng minh. Thay xn bởi xn0 = Pnx0 trong (2.17) ta nhận được
mUkxτα,n˜ −x0nks ≤ δ +hg(kx n 0k) + ˜C0γn ˜ α kxn0 −xτα,n˜ k + (C0 +kAx0 −fk)γn ˜ α +|hU(x0 −x∗), xn0 −xτα,n˜ i| +|hU(xn0 −xn∗)−U(x0 −x∗), xn0 −xτα,n˜ i|. (2.19) Từ (1.3) suy ra |hU(xn0 −xn∗)−U(x0 −x∗), xn0 −xτα,n˜ i| ≤ C( ˜R)2νγnνkxn0 −xτα,n˜ k, (2.20) ở đây, R >˜ kx0 −x∗k. Sử dụng Giả thiết 2.2.1 và điều kiện (ii) ta có
|hU(x0 −x∗), xn0 −xα,nτ˜ i| ≤ |hU(x0 −x∗), xn0 −x0i| + |hz, A0(x0)(x0 −xτα,n˜ i|
≤ Rγ˜ n+ kzk(1 + ˜τ)kA(xτα,n˜ )−A(x0)k.
(2.21) Để đánh giá giá trị kA(xτα,n˜ ) − A(x0)k, ta thay xn bởi xn0 = Pnx0 trong
(2.14) với α = ˜α, sử dụng tính chất của phép chiếu Pn, ta nhận được
hAh(xτα,n˜ )−A(xα,nτ˜ ) +A(xα,nτ˜ )−A(xn0)
+A(xn0)−A(x0) +A(x0)−f + f −fδ, xn0 −xτα,n˜ i + ˜αhU(xτα,n˜ −x∗n), xn0 −xτα,n˜ i ≥ 0,
bất đẳng thức này tương đương với
hA(xτα,n˜ )−A(x0n), xτα,n˜ −xn0i ≤ hAh(xτα,n˜ )−A(xτα,n˜ ) +A(xn0)−A(x0) +f −fδ, xn0 −xτα,n˜ i
+ ˜αhU(xτα,n˜ −xn∗), xn0 −xτα,n˜ i
+hA(x0)−f, xn0 −x0 +x0 −xτα,n˜ i.
Sử dụng (2.2), (2.3), tính chất ngược đơn điệu mạnh củaA, từ bất đẳng thức trên ta suy ra mAkA(xτα,n˜ )−A(xn0)k2 ≤ hhg(kxτα,n˜ k) +δ + ˜αkxα,nτ˜ −xn∗k+ ˜C1γn i ì kxn0 −xτα,n˜ k+kA(x0)−fkγn. Do tính bị chặn của {xτα,n˜ } suy ra kA(xτα,n˜ )−A(xn0)k ≤ O(ph+δ + ˜α+γn). Hơn nữa, vì kA(xτα,n˜ )−A(x0)k ≤ kA(xτα,n˜ )−A(xn0)k+kA(xn0)−A(x0)k nên kA(xτα,n˜ )−A(x0)k ≤ O(ph+δ + ˜α+γn) +Ce1γn,
(2.21) và bất đẳng thức cuối cùng, (2.19) có dạng mUkxτα,n˜ −xn0ks ≤ δ +hg(kxn0k) + ˜C0γn ˜ α +C( ˜R)2 ν γnν kxn0 −xτα,n˜ k + (C0 +kAx0 −fk)γn ˜ α + ˜Rγn +kzk(˜τ + 1)Ce1γn+O(ph+δ + ˜α+ γn). (2.22) Sử dụng Quy tắc 2.1 và tính bị chặn của {xτα,n˜ } suy ra
mUkxτα,n˜ −xn0ks ≤ C1(h+δ +γn)1−η +C2γnν kxn0 −xτα,n˜ k +C3(h+δ +γn)1−η +C4γn+C5(h+δ +γn)η/2. ở đây Ci, i = 1,2,3,4,5 là các hằng số dương. áp dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức này ta nhận được
kxτα,n˜ −xn0k= O (h+ δ +γn)à1 +γà2 n . Suy ra kxτα,n˜ −x0k = O (h+δ +γn)à1 +γà2 n . 2
2.3. Kết quả tính toán thử nghiệmXét bài toán Xét bài toán
min
x∈H F(x) (2.23) trong không gian Hilbert thực H, với F là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới yếu trên H có dạng
F(x) = 1
ở đây A là một toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp xác định không âm trênH. VìF0(x) = Ax, nênx0 là nghiệm của bài toán (2.23) khi và chỉ khi x0 là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1) với f ≡ θ ∈ H. Từ Bổ đề 2.1.1 ta có A : H →H là một toán tử ngược đơn điệu mạnh. Hơn nữa A khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet là A. Điều kiện ii) của Định lý 2.1.2 trở thành
A(x0)∗z = x0, (x∗ = θ).
áp dụng kết quả trên chúng ta giải bài toán tìmx0 ∈ RM thỏa mãn
hA(x0), x−x0i ≥ 0, ∀x ∈ RM,
trong đó A= BTB là ma trận vuông cấp M với ma trận được xác định bởi
B = (bij)Mi,j=1, b1j = sin(2009), j = 1, ..., M, b2j = 1 2009sin(2009), j = 1, .., M, bij = 1 i+jsin(i)cos(j), i = 3, ..., M, j = 1, ..., M, M > 3. Ah = Ih+A là xấp xỉ của A, trong đó I là ma trận đơn vị cấp M.
Với toán tử A được cho như trên, x0 = (0,0, ...,0)T ∈ RM là nghiệm của bài toán (2.23) có chuẩn nhỏ nhất. Bây giờ áp dụng Định lý 2.1.2 với tham số α được chọn bởiα ∼ (h+δ)2/3, h = δ = 1
M2 để nhận được đánh giá rτα,M = kxτα,M −x0k.
Sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (2.16) như sau (xem [4]): cho trước z0 ∈ H, dãy {zm} được xác định bởi sơ đồ lặp zm+1 = zm−βm A(zm) +αm(zm −x∗) , (2.24)
ở đây x∗ là phần tử trong không gian Hilbert H, {αm} và {βm}là các dãy số dương, với tiêu chuẩn dừng của dãy lặp là
max
1≤j≤M|x(jm)−x(jm−1)| ≤10−5,
ở đây m là số lần lặp.
Bảng 2.1 được tính toán với αm = (1 +m)−1/4 và βm = (1 +m)−1/2. M α rα,Mτ 4 0.25 0.00043035 8 0.099213 0.00029142 16 0.039373 0.00025093 32 0.015625 0.00022259 64 0.0062008 0.00018165 Bảng 2.1
Bảng 2.2 được tính toán với αm = (1 +m)−1/8 và βm = (1 +m)−1/2. M α rα,Mτ 4 0.25 0.00019561 8 0.099213 0.00011663 16 0.039373 0.00009597 32 0.015625 0.000087559 64 0.0062008 0.000073737 Bảng 2.2
kết luận
Đề tài đã nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach phản xạ thực. Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4), thiết lập được sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều tới nghiệm chính xác của bài toán ban đầu và đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều. Cuối cùng chúng tôi đưa ra một ví dụ và kết quả số minh họa cho tốc độ hội tụ của phương pháp nghiên cứu.
Với những ứng dụng quan trọng trong thực tế, những vấn đề được trình bày trong đề tài hiện đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm, đi sâu nghiên cứu.
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh và Nguyễn Bường, Bài toán không chỉnh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005.
[2] Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003.
[3] Y. Alber and I. Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, 2006.
[4] A. B. Bakushinskii and A. G. Goncharskii, Ill-Posed Problems: The- ory and Applications, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, Boston, London, 1994.
[5] V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff International Publishing, Leyden The Netherlands, 1976.
[6] I. Ekeland and R. Temam, Convex analysis and Variational problems, Amstedam: North Holland, 1976.
[7] M. Hanke, A. Neubauer and O. Scherzer, A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems, Numerische Math- ematik, 72, pp. 21-37, 1995.
[8] D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An introduction to Variational In- equalities and Their Applications, Academic Press, 1980.
[9] F. Liu and M. Z. Nashed, Regularization of nonlinear ill-posed vari- ational inequalities and convergence rates, Set-Valued Analysis, 6, pp. 313-344, 1998.
[10] I. P. Ryazantseva, On solving variational inequalities with monotone operators method of regularization, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz. 23, 479- 483, 1983.
[11] Ng. T. T. Thuy, Ng. T. Mai and D. T. Huong, Convergence rates in regulaiation for monotone variational inequalities, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 50(2), pp. 58-61, 2009.
[12] Ng. T. T. Thuy, Ng. T. Thang and L. T. T. Thuy, Finite-dimensional approximation for ill-posed variational inequalities, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 53(5), pp. 51-55, 2009.