Giả sử có n người tham gia một trò chơi. Người chơi thứ i có một tập chiến lược Ki các chiến thuật chơi của mình và một hàm thiệt hại
Fi : K1 ìK2 ì...ìKn −→ R phụ thuộc vào lựa chọn của tất cả người chơi. Tất nhiên, người chơi nào cũng muốn chọn một phương án trong tập chiến lược của mình sao cho thiệt hại của mình là nhỏ nhất. Nếu có phương án làm cho tất cả n hàm thiệt hại đạt cực tiểu thì cả n người chơi sẽ giữ nguyên chiến thuật của mình và trò chơi đạt trạng thái cân bằng tuyệt đối. Tuy nhiên việc tìm phương án đó, tương đương với việc tồn tại nghiệm chung của n bài toán tối ưu là khó và trong các tình huống thực tế thường không tồn tại ( trong các trò chơi, khi người chơi này thiệt hại ít
thì sẽ có người chơi khác thiệt hại nhiều). Vì vậy nhà toán học Mỹ John Nash đã đưa ra khái niệm về trạng thái cân bằng sau:
Ta gọi điểmx∗ = (x∗1, ..., x∗n) ∈ K1ìK2ì...ìKn là một điểm cân bằng Nash nếu với mọi i = 1,2, ..., n ta đều có:
Fi(x∗) ≤ Fi(x∗1, ..., x∗i−1, xi, x∗i+1, ..., x∗n)∀xi ∈ Ki.
Như vậy, khi đã ở trong trạng thái cân bằng Nash, hàm thiệt hại của mỗi người chơi có thể không đạt cực tiểu nhưng anh ta không thể làm giảm hơn nữa thiệt hại chỉ bằng cách đơn phương thay đổi chiến thuật chơi của mình trong khi các người chơi khác vẫn giữ nguyên chiến thuật. Do đó hoặc giữa các người chơi phải có sự hợp tác hoặc tất cả đều phải chấp nhận mức độ thiệt hại hiện có của bản thân.
Đặt K = K1 ìK2 ì...ìKn. Ta xác định hàm F : K ìK −→ R như sau: F(x, y) = n X i=1 (Fi(x1, ..., xi−1, yi, xi+1, ..., xn)−Fi(x)).
Dễ thấyx∗ là cân bằng Nash khi và chỉ khix∗ là nghiệm bài toán cân bằng
(EP).
Thật vậy, ta cần chỉ ra rằng:
F(x∗, y) ≥ 0,∀y ∈ K,
tương đương với
Fi(x∗1, ..., x∗i−1, x∗i, x∗i+1, ..., x∗p) ≤ Fi(x∗1, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗p),
với mọi yi ∈ Ki và với mọi i = 1,2, ..., p. Trước hết, ta chứng minh cho điều kiện đủ.
Giả sửx∗ ∈ K vàF(x∗, y) ≥ 0,∀y ∈ K, x∗ không là điểm cân bằng Nash, thì tồn tại j ∈ {1,2, ..., p} và y¯∈ Kj sao cho:
Fi(x∗1, ..., x∗i−1, x∗i, x∗i+1, ..., x∗p) > Fi(x∗1, ..., x∗i−1,y¯j, x∗i+1, ..., x∗p).
Khi đó ta lấy phương án:
¯
y = (x∗1, ..., x∗i−1,y¯j, x∗i+1, ..., x∗p) ∈ K
thì
trái với giả thiết F(x∗, y) ≥ 0,∀y ∈ K.
Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại. Giả sử x∗ là điểm cân bằng Nash, tức là: Fi(x∗1, ..., x∗i−1, x∗i, xi+1, ..., x∗p) ≤Fi(x∗1, ..., x∗i−1, yi, xi∗+1, ..., x∗p),∀i ∈ I,∀yi ∈ Ki. Suy ra k X i=1 Fi(x∗1, ..., x∗i−1, x∗i, x∗i+1, ..., x∗p) ≤ k X i=1 Fi(x∗1, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗p). hay là k X i=1 Fi(x∗1, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗p) − k X i=1 Fi(x∗1, ..., x∗i−1, x∗i, x∗i+1, ..., x∗p) = F(x∗, y) ≥0,∀y ∈ K.