Cho K1, K2 ⊂ K và ϕ : K1 ì K2 −→ X. Điểm (x∗1, x∗2) được gọi là điểm yên ngựa của ϕ nếu (x∗1, x2∗) ∈ K1 ìK2 và
ϕ(x∗1, x∗2) ≤ ϕ(x∗1, y2) ≤ ϕ(y1, x∗2),∀(y1, y2) ∈ K1 ìK2.
Xét ánh xạ F : K1 ìK2 −→ X xác định bởi
F(x, y) =ϕ(y1, x2)−ϕ(x1, y2).
Với x = (x1, x2), y = (y1, y2), điểm x = (x∗1, x∗2) là nghiệm của bài toán điểm yên ngựa nếu và chỉ nếu:
F(x∗, y) ≥0,∀y = (y1, y2) ∈ K1 ìK2.
Tức là x∗ là nghiệm của bài toán (EP).
Để ý rằng, trong tất cả các trường hợp riêng của bài toán cân bằng (EP)
nêu ở trên. Ta đều có:
Chương 3
Phư ơng pháp hiệu chỉnh điểm gần kề Ta nhắc lại bài toán cân bằng:
Tìm x¯ ∈ K sao cho:
F(¯x, y) ≥ 0,∀y ∈ K. (EP)
Việc giải chính xác nghiệm của một bài toán cân bằng nói chung không đơn giản vì với giả thiết F đơn điệu trênK thường dẫn tới nghiệm của bài toán cân bằng (EP) không là duy nhất và tính chất các nghiệm không ổn định theo nghĩa sai số nhỏ dẫn tới sai lệch lớn về nghiệm.
Một phương pháp tương đối tự nhiên được đưa ra là phương pháp bài toán phụ. Với ý tưởng là thay vì phải giải bài toán cân bằng ban đầu tương đối khó, ta xây dựng và giải một dãy các bài toán đơn giản hơn sao cho nghiệm của chúng xấp xỉ nghiệm của bài toán cân bằng (EP). Cụ thể là ta thêm vào song hàm F một song hàm đơn điệu mạnh H(x∗, y) để có được một bài toán cân bằng đơn điệu mạnh, với mục đích là tính ổn định và duy nhất nghiệm. Tuy nhiên, đối với mỗi họ bài toán phụ (AEP) đưa ra, để có được xấp xỉ đủ tốt ta cần hiệu chỉnh các tham số cần thiết. Nội dung chính của phương pháp hiệu chỉnh này là xây dựng dãy {xk} xấp xỉ nghiệm của bài toán cân bằng (EP) trong đó xk là nghiệm của bài toán phụ đơn giản hơn. Trước hết ta xét bài toán cân bằng phụ (AEP) sau: