Đầu tiên bằng cách lấy:
F(x, y) = sup
ξ∈T(x)
hξ, y −xi,∀y, x ∈ K.
mà T ⇒ X là một toán tử đơn điệu, vấn đề của việc tìm kiếm không điểm của T là tương đương với việc tìm nghiệm của bài toán cân bằng (EP). Do F là đơn điệu, thỏa mãn:
∀(x, y) ∈ K ìK : F(x, y) +F(y, x) ≤0
và F được xác định (ζ, x) ∈ X ìK:
F(y, x) ≤ h−ζ, y−xi,∀y ∈ K,
nghĩa là
0 ≤F(x, y) +h−ζ, y−xi,∀x ∈ K.
Cần chú ý rằng F là hàm đơn điệu, lồi theo đối số thứ hai và có tính chất bán liên tục trên theo đối số thứ nhất.
Bây giờ ta xét K = X, bài toán (AEP) trở thành:
ε sup
ξ∈T(xk+1)
Do tính đơn điệu của F ta có thể viết:
− sup
ξ∈T(x)
ξ, xk+1−x+ε−1xk+1−xk, x−xk+1 ≥0.
Tương đương với:
ε−1(xk −xk+1)−ξ, xk+1 −x ≥ 0,∀ξ ∈ T(x).
Từ T là đơn điệu cực đại, ta có được:
1 ε(x k −xk+1) ∈ T(xk+1). Từ đó suy ra: xk+1 = (I +εT)−1(xk). 3.3.3 Vấn đề cân bằng Nash.
Trong trường hợp này, bài toán (AEP) có dạng sau:
εX
i∈I
(fi(xik+1)−fi(xk+1) +h(xk+1)i −(xk)i, xi−(xk+1)ii) ≥ 0.
Nếu cho một số i ∈ I mà ta chọn x ∈ K thỏa mãn xi = xik+1, khi đó:
ε(fi(xik+1, xi)−fi(xk+1) +h(xk+1)i −(xk)i, xi −(xk+1)ii) ≥ 0. ∀i ∈ I, xi ∈ Ki, Có thể viết lại theo vi phân riêng như sau:
1
ε((xk)i −(xk+1)i) ∈ ∂ifi(xk+1),∀i ∈ I.
Đó là:
(xk+1)i = arg minxi∈Ki{f(xik+1, xi) + 1
Kết Luận
Như đã nói ở trên, mục đích chính của bản luận văn này là nhằm giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất về bài toán cân bằng trong không gian Hilbert. Bài toán cân bằng là bài toán tổng quát vì có thể được nghiên cứu và tiếp cận theo những cách khác nhau thông qua các bài toán quen thuộc như: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động Kakutani... Nội dung của luận văn chủ yếu trình bày về việc hiệu chỉnh bài toán cân bằng theo phương pháp điểm gần kề.
Ngoài ra, bản luận văn còn giới thiệu nguyên lý bài toán phụ, được dùng để giải các bài toán cân bằng phụ nảy sinh trong phương pháp hiệu chỉnh theo kỹ thuật điểm gần kề.
Trong bản luận văn này đã chứng minh chi tiết một số định lý đã được phát biểu và chứng minh sơ lược trong [8], đồng thời chỉ ra cho ta sự nới lỏng điều kiện ràng buộc giữa các hệ số tựa Lipschitz và hệ số đơn điệu mạnh. Câu hỏi đặt ra là liệu còn có các điều kiện nào khác cũng cho ta tính chất tương tự?
Do kiến thức của bản thân và việc nghiên cứu khoa học còn nhiều hạn chế nên trong luận văn còn nhiều thiếu sót. Tác giả mong muốn có thể nghiên cứu sâu hơn về hướng đi này. Rất mong nhận được sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo cùng bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn.
tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (1999), Giải tích lồi, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật.
[2] Lê Dũng Mưu (1999), Nhập môn các phương pháp tối ưu, Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật.
[3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.
[4] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học. Tiếng Anh
[5] N.Hadjisavvas, S.Komlosi, S.Schaible (2005), Handbook of Gener- alized Convexity and Generalize Monotonicity, Springer Press.
[6] Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer.
[7] G. Mastroeni (2003), Gap Function for Equilibrium Problems, Jour- nal of Global Optimization 27, 411- 426.
[8] A. Moudafi (1999), Proximal Point Algorithm Extended to Equilib- rium Problems, Journal of Natural Geometry, 91- 100.
[9] R.T. Rockafellar (1976), Monotone Operators and Proximal Point Algorithm, Siam J. Control Optimization, 877-898.