7. Bố cục của luận văn
2.1.3. Các phép toán logic mờ
2.1.3.1. Phép hợp ̃
Cho hai tập mờ và trên tập vũ trụ U. Hợp của hai tập mờ này chính là một tập mờ ký hiệu là ̃ , mà hàm thuộc của nó định nghĩa theo điểm như sau:
̃ (2.4)
Trong trường hợp U là hữu hạn không đếm được,
̃ ∑
̃ ∑
∑ [ ] ⁄ (2.5)
Không hiệu quả quả
Hiệu quả Có hiệu quả Hiệu quả cao
20 40 60 80 100
0
1
0
Trong trường hợp U là tập liên tục,
̃ ̃ [ ] (2.6)
Ví dụ 2.2. Xét tập vũ trụ U = { } và hai tập mờ và được cho bởi bảng sau: Bảng 2.1: Ví dụ về tập mờ U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.0 0.0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 1.0 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0
Hãy xác định hợp của hai tập mờ trên.
Khi sử dụng cách biểu diễn tập mờ rời rạc, hợp của hai tập mờ và được thực hiện như sau:
̃ ̃ ̃ Bảng 2.2: Ví dụ kết quả hợp của tập mờ U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.0 0.0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 1.0 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 ̃ 1.0 0.9 0.8 0.6 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0
Tập ̃ thu được có những đặc điểm sau: Support ( ̃ ) = U. Nó là tập mờ chuẩn vì Hight ( ̃ ) = 1.
Core ( ̃ ) = {1, 9, 10}.
Count ( ̃ ) = ∑ ̃ = 7.8.
Như vậy, hợp của 2 tập mờ = , chúng ta sẽ suy ra được phép hợp chuẩn từ các hàm thành viên và như sau:
[ ] (2.7)
Tổng quát để tìm từ và ta sử dụng hàm hợp u là hàm hợp 2 ngôi trên tập cơ sở là khoảng đơn vị: u: [0, 1] x [0, 1] [0, 1]
Hàm thành viên có thể suy ra từ hàm hợp u như sau:
( ) (2.8)
Tuy nhiên, hàm hợp thường dùng là hàm hợp chuẩn và cụ thể được định nghĩa như sau:
Bên cạnh đó còn có một số hàm hợp khác chẳng hạn như: - Hàm hợp tổng: (2.10) - Hàm hợp đại số: (2.11)
2.1.3.2 Phép giao ̃
Cho hai tập mờ và trên tập vũ trụ U. Giao của hai tập mờ này là một tập mờ ký hiệu là ̃ , mà hàm thuộc của nó được định nghĩa theo điểm như sau:
̃ (2.12)
Hay, trong trường hợp U là hữu hạn hay đếm được, giao của hai tập mờ là:
̃ ∑
̃ ∑
∑ [ ]
Hay, trong trường hợp U là tập liên tục:
̃ ̃ [ ] (2.13)
Ví dụ 2.3. Xét hai tập mờ được cho bởi bảng 2.1, hãy xác định giá trị thành viên của phép toán này đối với hai tập mờ trên.
Như vậy, sau khi chúng ta thực hiện phép toán giao của hai tập mờ theo định nghĩa trên và kết quả đạt được như sau.
Bảng 2.3: Ví dụ kết quả giao của hai tập mờ
U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0 0.0 0.0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 1.0 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0
̃ 0.0 0.0 0.0 0.1 0.3 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0
Tập ̃ thu được có những đặc điểm sau: Support ( ̃ ) = U. Nó là tập mờ dưới chuẩn vì Hight( ̃ ) = 0.3 < 1.
Core ( ̃ ) = {5}.
Count ( ̃ ) = ∑ = 0.6.
Có thể nói, đối với phép giao của hai tập mờ và trên không gian vũ trụ U
cụ thể là = . Khi đó, theo phép giao chuẩn chúng ta suy ra được từ các hàm thành viên và như sau:
[ ] (2.14)
Tổng quát hơn để tìm từ các hàm thành viên của hai tập mờ và , ta sử dụng hàm giao i là hàm hai ngôi trên tập cơ sở là khoảng đơn vị:
Vậy, hàm thành viên của tập giao mờ từ hàm giao i chính là:
( ) (2.15)
Hàm giao thường dùng chính là hàm giao chuẩn và được xác định như sau:
(2.16) Bên cạnh đó, một số hàm giao khác chẳng hạn: - Hàm giao tích đại số: (2.17) - Hàm Bounded difference: (2.18) - Hàm Drastic intersection: { (2.19) 2.1.3.3 Phép lấy phần bù
Xét một tập mờ trên tập vũ trụ U. Phép lấy bù của tập , ký hiệu là , là một tập mờ với hàm thuộc được xác định bằng đẳng thức sau:
(2.20)
Tập mờ được biểu diễn ở các công thức có dạng sau: Trường hợp U là tập hữu hạn hay đếm được:
∑ = ∑ ( ) (2.21)
Trường hợp U là vô hạn hay tập liên tục:
( ) (2.22)
Ví dụ 2.4. Chúng ta xét hai tập mờ và được cho bởi bảng 2.1. Khi sử dụng cách biểu diễn tập mờ rời rạc, phép lấy phần bù của hai tập mờ và được thực hiện như sau.
Bảng 2.4: Ví dụ kết quả của phép lấy phần bù
U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.0 0.0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0.0 0.0 1.0 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 1.0 1.0
Có thể nói rằng, phép bù của tập mờ trên tập U, ký hiệu là ̅̅̅̅. Theo phép bù
chuẩn, ta suy ra ̅̅̅̅ từ như sau:
̅̅̅̅ (2.23)
Tổng quát hơn để tìm ̅̅̅̅ từ , ta dùng hàm bù c như sau: c: [0, 1] [0, 1]
Hàm thành viên của tập bù được xác định như sau:
̅̅̅̅ (2.24)
Tuy nhiên, hàm bù thường dùng chính là hàm bù chuẩn, cụ thể:
(2.25)